2018年高考数学二轮复习专题五第1讲直线与圆案文

1、第 1 讲直线与圆高考定位1.直线方程、圆的方程、两直线的平行与垂直、直线与圆的位置关系是本讲高考的重点；2.考查的主要内容包括求直线 (圆)的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系 判断、简单的弦长与切线问题，多为选择题、填空题真題S1BI考点整合I明若向扣要点真题感悟2 21.(2016 全国 n 卷)圆x+y-2x 8y+13= 0 的圆心到直线ax+y 1 = 0 的距离为 1，贝 UaA.3C. 3D.2解析 圆x2+y2 2x 8y+ 13= 0 化为标准方程为(x 1)2+ (y 4)2= 4,故圆心为(1 , 4).答案 A2.(2016 山东卷)已知圆M x2+y2 2ay

2、=0(a 0)截直线x+y= 0 所得线段的长度是22, 则圆M与圆 N：(x 1)2+ (y 1)2= 1 的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离2 2 2 2 2解析 圆M x+y 2ay= 0(a0)可化为x+ (ya) =a,2a2a由题意，d= ，所以有a= + 2，解得a= 2.所以圆M x2+ (y 2)2= 22,圆心距为_2,半径和为 3，半径差为 1,所以两圆相交.答案 B2 23. (2016 全国I卷)设直线y=x+ 2a与圆 C：x+y 2ay 2 = 0 相交于A B两点，若|AB=2 萌，则圆C的面积为 _ .解析 圆C的标准方程为x2+ (ya)2=a

3、2+ 2,圆心为C(0 ,a)，点C到直线y=x+B.4由题意得,a2+1=1,解得a= 3.a2= 2,所以圆C曇又由 IAB= 2 需，得+|a22=a2+ 2,解得-2 -2a的距离 为d=10a+2a|=V2的面积为n(a+ 2) = 4n.答案 4n4. (2017 天津卷)设抛物线y2= 4x的焦点为F,准线为I.已知点C在I上，以C为圆心的圆-3 -与y轴的正半轴相切于点A若/FAC=120,则圆的方程为 _.解析 由题意知该圆的半径为 1，设圆心C( 1,a)(a0)，则A(0 ,a).又F(1 , 0)，所以AC=( 1, 0) ,AF= (1 , a).由题意知AC与AF的

4、夹角为 120,得 cos 120 = - = 1，解得a= J3.1xTT?2v所以圆的方程为(x+ 1)2+ (y 3)2= 1.答案(x+ 1)2+ (y 3)2= 1考点整合1. 两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线丨1,丨2的斜率k1,k2存在，则I1/I2?k1=k2,I1丄丨2?k1k2= 1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在2. 两个距离公式3. 圆的方程(1)圆的标准方程：(xa)2+ (yb)2=r2(r0)，圆心为(a, b)，半径为r.圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F= 0(D2+E2 4F 0)，圆心为 iD,E，半径为r=D+E2

5、4F2.4. 直线与圆的位置关系的判定(1)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：dr?相离.(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式 0?相交； = 0?相切； 0,b0).点P(2 , 3)在直线I上.2 3a+b= 1，贝Vab= 3a+ 2b2/6ab,故ab24,当且仅当 3a=2b(即a=4,b= 6)时取等号.1因此SAAOB=2ab12,即卩SAAOB的最小值为 12.答案 (1)A12探究提高1.求解两条直线平行的问题时，在利用A Ba AB= 0 建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性2.求直线方程时应根据条

6、件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率 不存在的情况是否符合题意.【训练 1】(1)(2017 贵阳质检)已知直线I仁 m+y+ 1 = 0,I2： (m 3)x+ 2y 1 = 0,则“m=1”是“丨1丄I2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件已知I1,丨2是分别经过A(1 , 1) ,B(0， 1)两点的两条平行直线，当I1,丨2间的距离最大时，则直线11的方程是_.解析(1) “I1丄12”的充要条件是“mmr3) + 1X2= 0?n= 1 或m= 2”，因此“m= 1”是“I1丄I2”的充分不必要条件.当直线AB与丨1,

7、丨2垂直时，丨1,丨2间的距离最大.1 1 A(1,1),B(0，1) , kAB=-03=2.1两平行直线的斜率k=勺1-5 -直线I1的方程是y 1 = (x 1)，即x+ 2y 3 = 0.答案(1)A(2)x+ 2y 3= 0热点二圆的方程【例 2 1】(1)(2016 天津卷)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M0, ,5)在圆C上,-6 -且圆心到直线 2xy= 0 的距离为 響，则圆C的方程为 _2 2x y(2015 全国I卷)一个圆经过椭圆 花+才=1 的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_ .解析(1) 圆C的圆心在x的正半轴上，设C(a, 0)，且a0.

8、圆C的半径r= |CM=(2 0)2+( 05)2= 3，因此圆C的方程为(x 2)2+y2= 9.由题意知，椭圆顶点的坐标为 (0 , 2) , (0， 2) , ( 4, 0) , (4 , 0).由圆心在x轴的正半轴上知圆过顶点(0 , 2) , (0， 2) , (4 , 0). 设圆的标准方程为(xm)2+y2=r2,m+ 4=r2, 则有S4-m)2=r2,一f 32225所以圆的标准方程为 ix+y= 4.答案(1)(x 2)2+y2= 9(2)x I +y2=25探究提高1.直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程2.待定系数法求圆的方程：(1)

9、若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关，则设圆的标准方程， 依据已知条件列出关于a,b,r的方程组，从而求出a,b,r的值；(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D, E,F的方程组，进而求出D, E, F的值温馨提醒解答圆的方程问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质【训练 2】(1)(2017 河南部分重点中学联考)圆心在直线x= 2 上的圆与y轴交于两点A(0 ,4) ,B(0， 2)，则该圆的标准方程为 _.圆心在直线x 2y= 0 上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得的弦的长为 2 ,3,则圆C的标准方程为 _ .解析(1)易知圆心的

10、纵坐标为 一4_2= 3，所以圆心坐标为(2 , 3).则半径r= , (2 0)2+ ( 3) ( 2) 2= .5,则圆心C到直线 2xy= 0 的距离d=，解得a= 2.解得25才|2a 0|-7 -故所求圆的标准方程为(x 2)2+ (y+ 3)2= 5.-8 -设圆心 ja, 2 (ao)，半径为a.由勾股定理得(西)2+=a2,解得a= 2.所以圆心为(2 , 1)，半径为 2, 所以圆C的标准方程为(X 2)2+ (y 1)2= 4.2 2 2 2答案(1)(x 2) + (y+ 3) = 5(2)(X 2) + (y 1) = 4.热点三直线与圆的位置关系 命题角度 1 圆的切

11、线问题【例 3 1】(2017 郑州调研)在平面直角坐标系xOy中，以点A(1 , 0)为圆心且与直线mxy 2m-1= 0(me R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 _.解析 直线mx- y 2m-1 = 0 恒过定点R2, 1)，当AP与直线mx- y 2m-1 = 0 垂直，即 点P(2 , 1)为切点时，圆的半径最大，半径最大的圆的半径r= :(1 2)2+(0 + 1)2=；2.故所求圆的标准方程为(x 1)2+y2= 2.答案(x 1)2+y2= 2命题角度 2 圆的弦长相关计算2【例 3 2】(2017 全国川卷)在直角坐标系xOy中，曲线y=x+mx-2 与x轴交于A

12、,B两点，点C的坐标为(0 , 1).当m变化时，解答下列问题：(1)能否出现ACBC的情况？说明理由；证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.(1)解 不能出现ACL BC的情况，理由如下:设A(X1, 0),B(X2, 0)，贝UX1,X2满足方程x2+mx2= 0, 所以X1X2= 2.又C的坐标为(0 , 1),所以不能出现ACLBC的情况.由(1)可得X1+X2= m,所以AB的中垂线方程为x= m故AC的斜率与BC的斜率之积为1X11X2证明BC的中点坐标为X2i,1 1X22，可得BC的中垂线方程为y- =X2X2 .-9 -mx= 2， 联立丿1/ X2、y-2=x2

13、x-,又x2+mx 2=0,m1由解得x= 2，y=2即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值探究提高1.研究直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题2.与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长 2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理【训练 3】（1）（2017 泉州质检）过点 R 3，1），Qa，0）的光线经x轴反射后与圆x2+y2=1相切，则a的值为_.（2016 全国川卷）已知直线I:x3y+ 6= 0 与圆x2+y2= 12 交于 A,B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C, D两点，贝 U |C

14、D=_ .解析点P（ 3, 1）关于x轴的对称点为P（ 3, 1）,所以直线P Q的方程为x（a+ 3）ya= 0. 依题意，直线P Q与圆x2+y2= 1 相切.2.12+( a+ 3)3由圆x2+y2= 12 知圆心 Q0, 0)，半径r= 2 3,6圆心(0 , 0)到直线X. 3y+ 6= 0 的距离d-= 3, IAB= 2 12 32= 2 3.过C作C巳BD于E如图所示，则|CE= 1AB= 2 3.所以过A,B,C三点的圆的圆心坐标为pm+ 92| a|-m，故圆在y轴上截得的弦长为-10 -直线l的方程为x 3y+ 6 = 0,直线l的倾斜角/BP亠 30,从而/BDP=60

15、,因此 |CD=sinl6 =爲 03 = 4. 答案-5(2)4-11 -旧纳总结思维升华I场规律陆失误1. 解决直线方程问题应注意：要注意几种直线方程的局限性点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线.(2) 求直线方程要考虑直线斜率是否存在.(3) 求解两条直线平行的问题时，在利用ABAzB= 0 建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性2. 求圆的方程两种主要方法：(1) 直接法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出圆心坐标、半径，进而求出圆的方程(2) 待定系数法：先设出圆的

16、方程，再由条件构建系数满足的方程(组)求得各系数，进而求出圆的方程3.直线与圆相关问题的两个关键点(1)三个定理：切线的性质定理、切线长定理和垂径定理.(2)两个公式：点到直线的距离公式4.直线(圆)与圆的位置关系的解题思路(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题 途径，减少运算量.研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离与半径的比较来实 现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线 斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式，过圆外一点求解切线段长

17、可转化为圆心到 圆外点距离，利用勾股定理计算 .专題W练对接高考求轟丈皿哉考一、选择题21.(2017 昆明诊断)已知命题p：“ m= 1”，命题q：“直线xy= 0 与直线x+my= 0 互 相垂直，则命题p是命题q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要解析 “直线xy= 0 与直线x+mny= 0 互相垂直”的充要条件是1x1 +2(1) m= 0?m 1.命题p是命题q的充分不必要条件.|AX)+By+q；A+B2，弦长公式 IAB= 2r2d2(弦心距d).-12 -答案 A2.过点(3 , 1)作圆(x1)2+y2=r2的切线有且只有一条，则该切线

18、的方程为()-13 -A.2X+y 5= 0B.2X+y 7 = 0C.x 2y 5= 0D.x 2y 7 = 0解析依题意知，点(3 , 1)在圆(x 1)2+y2=r2上，且为切点1圆心(1 , 0)与切点(3 , 1)连线的斜率为 2，所以切线的斜率k= 2.故圆的切线方程为y 1 = 2(X 3)，即 2x+y 7 = 0.答案 B3.(2017 济南调研)若直线xy+m= 0 被圆(x 1)2+y2= 5 截得的弦长为 2 3，则m的值为( )A.1B. 3C.1 或一 3D.2解析圆(x 1)2+y2= 5 的圆心C(1 , 0)，半径r=5.又直线xy+m= 0 被圆截得的弦长为

19、 2 3.圆心C到直线的距离d=r2(；3)2=.2,答案 C4.(2015 全国H卷)已知三点A(1 ,0) ,B(0 , 3) ,C(2 ,3)，则ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.3因此|1 0+m12+( 1)2 , m= 1 或 m= 3.解析设圆的一般方程为 1+ D+F=0,3+3E+ F= 0,II_7+ 2D+3E+F= 0,2 2x+y+Dx+Ey+F=0,D=2,E=-毎，F=1,4 ABC外接圆的圆心为21-14 -答案 B5.(2017 衡水中学模拟)已知圆 C: (x 1)2+y2= 25,则过点F(2 , 1)的圆C的所有弦中, 以最长弦和最短弦为对角线的四

20、边形的面积是()A.10 31B.9 21C.10 23D.9 11解析易知最长弦为圆的直径10,又最短弦所在直线与最长弦垂直，且IPQ =、2,最短弦的长为 2r2- |PC2= 2 25-2 =223,1故所求四边形的面积S= 2 10X2_ 23= 10 23.答案 C二、填空题6._ (2017 广安调研)过点(1 , 1)的直线I与圆(x 2)2+ (y 3)2= 9相交于A,B两点，当|AB| =4 时，直线I的方程为.解析 易知点(1 , 1)在圆内，且直线I的斜率k存在，则直线I的方程为y 1 =k(x 1)，即kxy+1k= 0.又|AB= 4,r= 3,圆心(2 , 3)到

21、I的距离d=32 22=5.|k2|厂1因此2.八2= 5，解得k= 2pk+( 1)斗2直线I的方程为x+ 2y 3 = 0.答案x+ 2y 3= 07.(2017 北京卷)已知点P在圆x2+y2= 1 上，点A的坐标为(一 2, 0) ,O为原点，则AO- AP勺最大值为_ .解析 法一由题意知，AO=(2 , 0)，令 Rcosa, sina)，则AF= (cosa+ 2, sina).AO- AF= (2 , 0) (cosa+ 2, sina) = 2cosa+ 46,故AO- AP的最大值为 6.法二-由题意知，AO=(2 , 0)，令P(x,y), 1wxw1,则AO- AP=(

22、2 , 0)(x+ 2,y) = 2x+ 4w6,故AO- AP勺最大值为 6.答案 68.(2017 荷泽二模)已知圆C的方程是x2+y2 8x 2y+ 8 = 0,直线I:y=a(x-15 -3)被圆C截 得的弦长最短时，直线_I方程为 . . 2 2解析 圆C的标准方程为(x 4) + (y 1) = 9,圆C的圆心C(4 , 1)，半径r= 3.-16 -又直线I:y=a(x 3)过定点R3, 0),则当直线y=a(x 3)与直线CP垂直时，被圆C截得的弦长最短1 0因此akcp=a= 1，-a= 1.4 3故所求直线I的方程为y= (x 3)，即x+y 3= 0.答案x+y 3= 0

23、三、解答题9.已知点A(3 , 3) ,B(5 , 2)到直线I的距离相等，且直线I经过两直线Ii： 3xy 1 = 0 和l2：x+y 3 = 0 的交点，求直线I的方程.|3x一y一 1 = 0,解 解方程组得交点P(1 , 2).x+y 3= 0,若点A,B在直线I的同侧，贝UI/AB工3 21而kAB= 3 5 一2，由点斜式得直线1I的方程为y 2= yx 1),即x+ 2y 5 = 0.5y 2 2-2I的方程为x 1即x 6y+ 11 = 0.综上所述，直线I的方程为x+ 2y 5= 0 或x 6y+ 11 = 0.10.(2015 全国I卷)已知过点A(0 , 1)且斜率为k的直线I与圆 C：(x 2)2+ (y 3)2= 1 交 于M N两点.(1)求k的取值范围；若OM ONh12,其中0为坐标原点，求|MN解(1)由题设，可知直线I的方程为y=kx+ 1,因为I与c交于两点，所以|2