2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.3圆的方程试题理北师大版

1、第九章 平面解析几何 9.3 圆的方程试题 理 北师大版基础知识自主学习知识梳理圆的定义与方程定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆方程标准2 2 2(x a) + (y b) =r(r0)圆心（a,b）半径为丄一般x+y+Dx土Ey+F= 0充要条件：D+E2 4F0一DE圆心坐标：（一2,）半径r=1/DF土E24F【知识拓展】1 确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为（1）根据题意，选择标准方程或一般方程；（2）根据条件列出关于a,b,r或D E、F的方程组；（3）解出a、b、r或D E F代入标准方程或一般方程.2.点与圆的位置关系点和圆的位置

2、关系有三种.圆的标准方程（xa）2+ （yb）2=r2,点Mxo,y。）222（1）点在圆上：（xoa） + （y。一b） =r；点在圆外：（xoa）2+ （y。b）2r2；222（3）点在圆内：（x。一a） 土 （y。一b） 0.(V)2 2(4)方程x+ 2ax+y= 0 一定表示圆.(x)若点Mxo,yo)在圆x2+y2+Dx+Ey+F= 0 外，则x2+y2+Dx)+Ey)+F 0.(V)R考点自测-1.(教材改编)将圆x2+y2 2x 4y+ 1 = 0 平分的直线是()A.x+y 1 = 0C.xy+ 1 = 0答案 C解析圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入检验选项C 满足.2

3、.已知圆 C：(x 3)2+ (y 4)2= 1 和两点Am,0), 0m0)(m0)，若圆C上存在点 P, 使得/APB=90,则m的最大值为()A.7答案则圆心C的坐标为(3,4)，半径r= 1,且|AB= 2m因为/APB=90，连接OP卄1易知 IOP= 2lAB=m要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离.因为 |OC=+ 4 = 5,B.x+y+ 3= 0D. xy+ 3= 0解析根据题意，画出示意图,3所以 |OPmax= |OC+r= 6 , 即m的最大值为 6.3.(2015 北京)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()2 2A.(x 1) + (y 1) = 1

4、B.(x+ 1)2+ (y+ 1)2= 1C. (x+ 1)2+ (y+ 1)2= 22 2D. (x 1) + (y 1) = 2答案 D解析 圆的半径r=12+ 12=2,A圆的方程为(x 1)2+ (y1)2= 2.4.(教材改编)圆C的圆心在x轴上，并且过点A 1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为答案（x 2）2+y2= 10解析 设圆心坐标为C（a,0）,点A 1,1）和B（1,3）在圆C上，ICA= |CB，即J a+ + 1=1；a + 9,解得a= 2,圆心为 Q2,0）,半径 |CA= .?+12+1=10,圆C的方程为（x 2）2+y2= 10.5.（2016 浙江）已知

5、a R,方程a2x2+ （a+ 2）y2+ 4x+ 8y+ 5a= 0 表示圆，则圆心坐标是，半径是_ .答案（一 2, 4）5解析 由已知方程表示圆，则a2=a+ 2,解得a= 2 或a= 1.当a=2 时，方程不满足表示圆的条件，故舍去.当a= 1 时，原方程为x2+y2+ 4x+ 8y 5= 0,化为标准方程为（x+ 2）2+ （y+ 4）2= 25,表示以（一 2, 4）为圆心，半径为 5 的圆.4题型分类深度剖析题型一求圆的方程5例 1 (1)(2016 天津)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M0,5)在圆C上，且圆心到直线 2xy= 0 的距离为丝5则圆C的方程为_ .52 2X

6、 y(2)(2015 课标全国I) 一个圆经过椭圆+v=1 的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，164则该圆的标准方程为 _.22(3225答案(1)(x 2) +y= 9(2)x2+y=-解析(1)因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a0,解得a= 2,所以圆C的半径r= |CM=4 + 5 = 3,2 2所以圆C的方程为(X 2) +y= 9.(2)由题意知圆过(4,0) , (0,2) , (0， 2)三点，(4,0) , (0， 2)两点的垂直平分线方程为y+ 1 = 2(x 2),3i3y5令y= 0，解得x= 2，圆心为 2， 0，半径为2思维升华(1)直接法：根据圆

7、的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.(2)待定系数法1若已知条件与圆心(a, b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b, r的方程组，从而求出a, b，r的值；2若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程， 依据已知条件列出关于D EF的方程组，进而求出D E、F的值.能咗门时 (2016 湖北八校联考)已知圆C关于y轴对称，经过点A(1,0)，且被x轴分成两段弧，弧长之比为1 : 2,则圆C的标准方程为 _答案x2+ (y#)2=4解析圆C关于y轴对称，.可设C(0 ,b),设圆C的半径为r,则圆C的标准方程为x2+ (yb)2=r2,所以圆心到

8、直线2xy= 0 的距离d=2a _ 5一 556题型二与圆有关的最值问题2O例 2 已知点(x,y)在圆(X 2) + (y+ 3) = 1 上.求x+y的最大值和最小值.解 设t=x+y,贝U y= x+1,t可视为直线y= x+1在y轴上的截距, x+y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与 圆相切时在y轴上的截距.由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径,解得 t = ：.；2 1 或 t =2 1.x+y的最大值为2 1，最小值为 2 1.引申探究1.在本例的条件下，求-的最大值和最小值.x解-可视为点(x,y)与原点连线的斜率，x的最大值和最小值

9、就是与该圆有公共点的过原点 的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率.设过原点的直线的方程为y=kx,由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2吁3|yjk+ 1=1，解得k= 2 + 或k= 2 23!.所以y的最大值为2 + Zf,最小值为2 2 .在本例的条件下，求.x2+y2+ 2x 4y+ 5 的最大值和最小值.解x2+y2+ 2x 4y+ 5= ,x+12+y22,求它的最值可视为求点(x,y)到定点(1,2)的距离的最值，可转化为圆心(2 , 3)到定点(一 1,2)的距离与半径的和或差.又圆心到定点(一 1,2)的距离为.34,所以.x2+y2+ 2x 4y+

10、5 的最大值为.34+ 1,最小值为，34 1.思维升华与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略2 . 2 21 +b=r,依题意，得1|l b| = qr,解得于是圆C的标准方程为43,b=2z.X+ (y43.|2 +7(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解.(2)与圆上点(x,y)有关代数式的最值的常见类型及解法形如u= 型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；形如t=ax+by型的最值问题， 可转化为动直线的截距的最值问题；形如(xa)2+ (y-b)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a,

11、b)的距离平方的最值问题.汎-已知实数x,y满足方程x2+y2 4x+ 1= 0.求：(1)丫的最大值和最小值；xyx的最小值；x2+y2的最大值和最小值.解 如图，方程x2+y2 4x+ 1 = 0 表示以点(2,0)为圆心，以3 为半径的圆.设-=k,即y=kx，则圆心(2,0)到直线y=kx的距离为半径，即直线与圆相切时，斜率取得x最大值、最小值.设yx=b,贝 Uy=x+b,当且仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时，在y轴上的截距b取最小值,、|2 0 +b|厂由点到直线的距离公式，得=3,V2即b= 2 6,故(yx)min= 26.(3)x2+y2是圆上的点与原点的距离的平方，故连

12、接OC与圆交于B点，并延长交圆于C,贝 U(x2+y2)max= |OC|2= (2 + 羽)2= 7+4 帝,8(x2+y2)min=|OB2= (2 .3)2= 7 4.3.题型三 与圆有关的轨迹问题9例 3(2016 潍坊模拟)已知圆x2+y2= 4 上一定点A(2,0),耳 1,1)为圆内一点，上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程；若/PBQ=90,求线段PQ中点的轨迹方程.解(1)设AP的中点为Mx,y),由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x 2,2y).因为P点在圆x2+y2= 4 上，所以(2x 2)2+ (2y)2= 4,故线段AP中点的轨迹方程为(x 1)2+y2= 1.

13、设PQ的中点为Nx,y)，在 RtPBQ中|PN=IBM设O为坐标原点，连接ON则ONL PQ所以 |OP2= |ON2+ |PN|2= ION2+ |BN2,所以x2+y2+ (x 1)2+ (y 1)2= 4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2xy 1 = 0.思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法(1) 直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2) 定义法，根据圆、直线等定义列方程；几何法，利用圆的几何性质列方程；代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.应心(2016 天津模拟)设定点M 3,4)，动点N在圆x2+y2= 4 上运动,10

14、为两边作平行四边形MON，求点P的轨迹.P, Q为圆OM ON解如图所示,由于平行四边形的对角线互相平yo+ 4， 2 .11又N(x+ 3,y 4)在圆上，故(x+ 3)2+ (y 4)2= 4.因此所求轨迹为圆：(X+ 3)2+ (y 4)2= 4,21 利用几何性质巧设方程求半径典例 在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2 6x+1 与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程.思想方法指导本题可采用两种方法解答，即代数法和几何法.2(1) 一般解法(代数法)：可以求出曲线y=x 6x+1 与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一 般式，代入点的坐标求解析式.(2) 巧妙解法(几何法)：利用圆的性质

15、，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算，显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题.规范解答解 一般解法(代数法)曲线y=x2 6x+ 1 与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3 + 2 2,0) , (3 2 2, 0)，设圆的方程是x2+y2+Dx+ Ey+F= 0(&+E2 4F0),1+E+F=0,| D= 6,则有j+ 2 22+D .1+ 2 寸 2 +F= 0, 解得E= 2,故圆的方程是x2+y2 6x 2y+ 1= 0.巧妙解法(几何法)曲线y=x2 6x+ 1 与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3

16、+ 2 2,0) , (3 2 2, 0) 故可设C的圆心为(3 ,t),x xo 3y yo+ 4，从而彳Xo=x+ 3,yo=y 4.但应除去两点9 1221 28点P在直线0M上的情况).F= 1,12则有 32+ (t 1)2= (2 . 2)2+12,解得t= 1.则圆C的半径为，32+t12= 3,所以圆C的方程为(x 3)2+ (y 1)2= 9.13课时作业1. （2016 南昌检测）圆心在y轴上，且过点（3,1）的圆与x轴相切，则该圆的方程是（）答案 B解析 根据题意，设圆心坐标为（0 ,r），半径为r，则 32+ （r 1）2=r2,解得r= 5,可得圆2 2的方程为x+y

17、 10y= 0.故原方程表示两个半圆.3 .若直线ax+ 2by 2= 0（a0,b0）始终平分圆x2+y2 4x 2y 8 = 0 的周长，则1+曽的最小值为()A. 1 B . 5 C . 4 2 D . 3+ 2 2 答案 D解析由题意知圆心 Q2,1）在直线ax+ 2by 2 = 0 上,2a+ 2b 2= 0,整理得a+b= 1,1212b2aa+b=(a+b)(a+b)=3+a+石b2abX丁3+邮,b2a厂厂当且仅当a=，即b= 2 ,2,a= ,2 1 时，等号成立.1 2a+b的最小值为3+2 2.4 .点P(4 , - 2)与圆x2+y2= 4 上任一点连线的中点的轨迹方程

18、是()2 2A.x+y+ 10y= 02 2B.x+y- 10y= 02 2C. x+y+ 10 x= 02 2D. x+y 10 x= 02. （2016 昆明一模）方程|x|A. 个圆C.半个圆答案 Df x|12+解析由题意得II X| 10,1=y所表示的曲线是（）B.两个圆y1=1,即x-12+y|2=1,x 1,f x+l2+y12= 1,或x 0,9.已知 D 是由不等式组 i|x+3y0所确定的平面区域，则圆x2+y2= 4 在区域D内的弧如图所示,17动点D满足 I Ctp= 1,则 I3時3內OD的最大值是 _答案-.7 +1解析设D(x,y)，由6D=(x 3,y)及|

19、CtD= 1 知(x-3)2+y2= 1,即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆，又OAF血&A( 1,0) + (0 ,3) + (x,y) = (x1,y+ ：3),j OAF OBF OD= Jx +y+ “ .；3问题转化为圆(x 3)2+y2= 1 上的点与点P(1 , 3)间距离的最大值.圆心 Q3,0)与点P(1 , 3)之间的距离为.3 12+ U+：32= 7,，x 12+y+ 3 2 的最大值为 7+ 1.11 已知圆C经过 R4 , 2),Q 1,3)两点，且在y轴上截得的线段的长为4 .3 半径小于 5.(1) 求直线PQ与圆C的方程；若直线I/PQ且I与圆C交于

20、点A,B,且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程.解(1)由题意知直线PQ的方程为x+y 2 = 0.设圆心C(a,b),半径为r,13由于线段PQ的垂直平分线的方程是y 2=x 2 ,即y=x 1,所以b=a 1.由圆C在y轴上截得的线段的长为 4.3 ,知r2= 12 +a2,222可得(a+ 1) + (b 3) = 12+a,由得a= 1 ,b= 0 或a= 5 ,b= 4.当a= 1,b= 0 时，r2= 13 ,满足题意，当a= 5 ,b= 4 时，r2= 37 ,不满足题意.故圆C的方程为(x 1)2+y2= 13.(2) 设直线I的方程为y= x+ nmm 2),A(X1, m-X,耳, m-X2).18由题意可知OAL OB即OA-OB=0 , X1X2+ (m- x( m-X2) = 0 ,192化简得2XIX2m(xi+X2) +m= 0.y=x+n,22X+y= 132X22 叶 1)x+m 12 = 0,n12X1+X2=m+ 1,X1X2=2,代入，得吊一 12m-(1 +n) +吊=0,.m= 4 或 m= 3，经检验都满足题意，.直线I的方程为x+y 4 = 0 或X+y+ 3= 0.12.在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在X轴上截得的线段长为 2 2，在y轴上截得的线 段长为 2 3.(1)求圆心P的轨