(完整word版)高中数学圆锥曲线试题(含答案),推荐文档

1、第1页/共 20 页理 数圆锥曲线1. （2014 大纲全国,9,5 分）已知双曲线 C 的离心率为 2,焦点为 Fi、F2,点 A 在 C 上若|FiA|=2|F2A|,则第2页/共 20 页cos / A2Fi=()丄 _L 返 返A.；B. C. | D.答案1.A严 A-|再 A|6解析1.由题意得 解得 |F2A|=2a,|FiA|=4a,C又由已知可得=2,所以 c=2a,即|FiF2|=4a,疗 A|切圻耳曲叩仝 i 邑哎_ cos /2Fi=王巧 杆月 =2 * 2E如 =4.故选 A.2. （2014 大纲全国,6,5 分）已知椭圆 C:厂+ =1（ab0）的左、右焦点为 F

2、i、F2,离心率为：，过F2的直线 l 交 C 于 A、B 两点若 AFB 的周长为 4 ，则 C 的方程为（）ITTTItTX VXX FX VrirtrA. + =1 B. +y2=1 C.： ：+ - =1DJ + =1答案2.A解析2.由题意及椭圆的定义知X /+=1,选 A.3. (2014 重庆,8,5 分)设 F1、F2分别为双曲线-=1(a0,b0)9P 使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1| |PF2|=tab,则该双曲线的离心率为 (459A. B. CD.3答案3.B的左、右焦点，双曲线上存在一点） c=1,2=2,C的方程为第3页/共 20 页解析驳设|PFd=m

3、,|PF2|=n,依题意不妨设 mn0,于是9m + ti rn-nm- n= ?m=3n455 a=n,b= n?c=1n, e=，选 B.x y0k9,则曲线 一 =1 与曲线-=1 的（）答案4.A解析4. / 0k0,25-k0.又 25+(9-k)=34-k=(25-k)+9,它们的焦距相等，故选 A.2X5. （2014 福建,9,5 分）设 P,Q 分别为圆 x2+（y-6）2=2 和椭圆丨+y2=1 上的点，则 P,Q 两点间的最大距离是（）A.5 B. +C.7+ D.6答案5.Df1、fflt 一 n 舍去L3J4. （2014 广东,4,5 分）若实数 k 满足A.焦距相

4、等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等WM 与 -=1 均表示双曲线第4页/共 20 页解析5.设 Q（Jcos0,sin 圆心为，M,由已知得 M（0,6）,贝 U|MQ|=第5页/共 20 页=.I -I：X卩.6.（2014 山东,10,5 分）已知 ab0,椭圆 C1的方程为：+=1,双曲线 C2的方程为：=1,C1J3与 C2的离心率之积为，则 C2的渐近线方程为A.x 土 - y=0B.x y=0答案6.A-r vC.x 2y=0D.2x y=0解析6.设椭圆r-e1e2=，所C1和双曲线J/-胪?C2的离心率分别为4， 即e1禾口 e2,贝 U e1=,e2= = .因

5、为故双曲线的渐近线方程为b_Vjy= x= - x,即 x-y=0._ry7.（2014 天津,5,5 分）已知双曲线八打=1（a0,b0）的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线 I 上,则双曲线的方程为（A. _ 21】=1 B. & =1C.25 100=13卫 3/D.I00-25=1故|PQ|max=5+=6第6页/共 20 页答案9. D答案7.A解析7.由题意得=2 且 c=5.故由 c2=a2+b2，得 25=a2+4a2,则 a2=5,b2=20,从而双曲线方程为X2尸5五日.8.（2014 山东青岛高三第一次模拟考试，10）如图，从点发出的光

6、线，沿平行于抛物线y=x的对称轴方向射向此抛物线上的点 ，经抛物线反射后，穿过焦点射向 抛物线上的点，再经抛物线反射后射向直线上的点.，经直线反射后又回到点；，则等于（）A.B.C.D.答案8. B解析8.由题意可得抛物线的轴为轴，所以所在的直线方程为在抛物线方程中，令可得.，即 - 从而可得m,-,因为经抛物线反射后射向直线:上的点 ，经直线反射后又回到点,所以直线的方程为.1,故选 B.9.（2014 安徽合肥高三第二次质量检测，4） 下列双曲线中，有一个焦点在抛物线准线上的是（）D.5/-20= 1第7页/共 20 页解析9.因为抛物线的焦点坐标为，准线方程为，所以双曲线的焦点在轴c2r

7、n2!)上，双曲线的焦点在 轴且为 满足条件故选 D.力221JT10. (2014 江西，15,5 分)过点 M(1,1 )作斜率为 二 的直线与椭圆 C：+=1(ab0)相交于 A,B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等于答案10.解析10.设 A(X1,y1),B(X2,y2),则门 + =1 ,xl y八+ =1.耳诜 护刀+兀、两式相减并整理得二厂I兰 2把已知条件代入上式得，二=-儿x,11. (2014 湖南,15,5 分)如图，正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 a,b(a0)经过 C,F 两点则=_.答案11.1+、a解析11.|OD|

8、=,|DE|=b,|DC|=a,|EF|=b,故 C - ,F -,第8页/共 20 页又抛物线 y2=2px(p0)经过 C、F 两点,第9页/共 20 页b=a2+2ab, .v -2:-1=0,b又- 1, .4 =1+近./12.(2014 安徽,14,5 分)设 FI,F2 分别是椭圆 E:x2+=1(0b1)的左、右焦点，过点 Fi的直线交椭圆E 于 A,B 两点若|AF1|=3|F1B|,AF2x轴，则椭圆 E 的方程为 _ .3，松小曲負答案12.x2+y2=1解析12.不妨设点 A 在第一象限，:虑吐轴, A(c2b(其中 c2=1-b2,0b0). r %上33 丿，代入

9、x2+=1 得 913.(2014浙江,16,4分)设直线x-3y+m=0(m丰0)与双曲线-=1(a0,b0)的两条渐近线分别交于点 A,B.若点 P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是答案13. ittrt buram十“则线段 AB 的中点为 M由题意得 PML AB,kpM=-3,得 a2=4b2=4c2-4a2故 e2=14. (2014 天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试,答案14. y=3a-I25?工+ =1,又ULULil JU又/ |AF1|=3|F1|,由眄=3 歼得 pl3y2=1.75 e=12)抛物线 +12y=0 的准线方程是从而有方故椭圆第10

10、页/共 20 页解析14.抛物线的标准方程为：.，由此可以判断焦点在y 轴上，且开口向下，且 p=6 ,所以其准线方程为y=3.15. (2014 大纲全国，21,12 分)已知抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,直线 y=4 与 y 轴的交点为 P,与 C 的交点为Q,且|QF|= |PQ|.(I)求 C 的方程；(n)过 F 的直线 I 与 C 相交于 A、B 两点若 AB 的垂直平分线 I与 C 相交于 M、N 两点且 A、M、B、 N 四点在同一圆上，求 I 的方程.答案15.查看解析8-沁识“解析15.(I)设 Q(x0,4),代入 y2=2px 得 X0=. P 所以 |

11、PQ|=，|QF|= +X0= +P 8_58_由题设得- + =!,解得 p=-2(舍去)或 p=2.所以 C 的方程为 y2=4x.(5 分)(n)依题意知 I 与坐标轴不垂直，故可设 I 的方程为 x=my+1(m丰0).代入 y2=4x 得 y2-4my-4=0.设 A(X1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=4m,y1y2=-4.故 AB 的中点为 D(2m2+1,2m),|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).丄又 I的斜率为-m,所以 I的方程为 x=- 一 y+2m2+3.将上式代入 y2=4x,并整理得 y2+ y-4(2m2+3)=0.4_设 M(x3,y3),N

12、(x心),则 y3+y4=- ,y3y4=-4(2m2+3). (10 分)第11页/共 20 页丄由于 MN 垂直平分AB,故 A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|= -：|MN|,从而!|AB|2+|DE|2=即 4(m2+1)2+化简得 m2-仁 0,解得 m=1 或 m=-1.所求直线 I 的方程为 x-y-1=0 或 x+y-1=0.(12 分)2Xx y16. (2014 四川,20,13 分)已知椭圆 CJ+=1(ab0)的焦距为 4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.(I)求椭圆 C 的标准方程；(n)设 F 为椭圆 C 的左焦点,T 为直线 x=-

13、3 上任意一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P,Q.(i) 证明：OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点);I 旧(ii) 当帆创最小时，求点 T 的坐标.解得 a2=6,b2=2,xJ所以椭圆 C 的标准方程是+ =1.(n)(i)由(I)可得,F 的坐标是(-2,0),设 T 点的坐标为(-3,m)./w-0则直线 TF 的斜率 kTF= =-m.故 MN 的中点为EM用,|MN|=|y3-y4|=itr|MN|2, 皿丫4(JW+1)(2/ji +1)in答案16.查看解析解析16.(I)由已知可得 (10 分)第12页/共 20 页丄当 m0 时，直线 PQ 的斜率

14、kpQ=；,直线 PQ 的方程是 x=my-2.当 m=0 时，直线 PQ 的方程是 x=-2,也符合 x=my-2 的形式.第13页/共 20 页设 P(xi,yi),Q(X2,y2),将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立，得消去 x,得(m2+3)y2-4my-2=0,其判别式 =16m2+8(m2+3)0.2,y1y2=所以 PQ 的中点 M 的坐标为 I 肘+ 3 W + 3 丿.jtr所以直线 OM 的斜率 kM=- rrrt又直线 OT 的斜率 koT=-所以点 M 在直线 OT 上, 因此 OT 平分线段 PQ.(ii)由(i)可得,|TF|= -117. (2014 广东

15、,20,14 分)已知椭圆 C:：+ =1(ab0) 的一个焦点为(厂,0),离心率为(1)求椭圆 C 的标准方程若动点 P（xo,yo）为椭圆 C 外一点且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P 的轨迹方程4fti亦匚3所以 yi+y2=xi+x2=m(yi+y2)_4=-12加 3TF=T旳+1，即 m=1时，等号成立，此时当且仅当 m2+仁izn“最小时，T 点的坐标是(-3,1)或(-3,-1).rr卜讷取得最小值.所以当第14页/共 20 页答案17.查看解析解析17.(1)由题意知 c=、，e= =, a=3,b2=a2-c2=4,故椭圆 C 的标准方程为+I=1.设两切

16、线为 11,12,1当 11丄 X 轴或 11/X由时,12/X轴或 12丄X轴，可知 P（3,2）.2当 11与 x 轴不垂直且不平行时，X0工土设 11的斜率为 k,且 k丰0 则 12的斜率为-,11的方程为JCV整理得(9k2+4)x2+18(yo-kxo)kx+9(yo-kxo)2-36=O,直线 11与椭圆相切， 即,9(y0-kx0)2k2-(9k2+4) (y0-kx)2-4=0, ( -9)k2-2x0yk+ -4=0,k是方程（-9）x2-2x0yx+ -4=0 的一个根，I同理，-是方程（-9）x2-2xy0X+-4=0 的另一个根（n止.k女丿=，整理得 +儿=13,其

17、中 X。工土 3,点 P 的轨迹方程为 x2+y2=13（x 工土 3）.检验 P（ 3, 2 满足上式.综上，点 P 的轨迹方程为 x2+y2=13.18. （2014 江西,20,13 分）如图，已知双曲线 C:-y2=1（a0）的右焦点为 F,点 A,B 分别在 C 的两条渐近线上,AF 丄 x 轴,AB 丄 OB,BF/ OAQ 为坐标原点）.第15页/共 20 页求双曲线 C 的方程;过 C 上一点 P(xo,yo)(yoM0 的直线 I:-yoy=1 与直线 AF 相交于点 M,与直线 x=相交于点 N.答案18.查看解析解析18.(1)设 F(c,O),因为 b=1,所以 c 八

18、，由(1)知 a= ，则直线 I 的方程为 -yoy=1(yo丰0), 即 y= 一 .直线 l 与直线 x=q 的交点为时|则“ 因为 P(xo,yo)是 C 上一点，贝 U| 硏4(274阿 2 朋所求定值为代鬥=；=VX19. (2014 陕西,2017,13 分)如图，曲线 C 由上半椭圆 0:+=1(ab0,y 0 和部分抛物线C2：y=-x2+l(yw0 连接而成，G 与 C2的公共点为 A,B,其中 Ci的离心率为1隅C C-2 21又直线 0A 的方程为 y=x，则 A、的,kAB=“又因为 AB 丄 OB 所以. if Ja2=3,=-1,解得直线 OB 的方程为 y=-材

19、x,直线 BF 的方程为 y=尬斶，解得刼 C 上移动时，1 厲鬥恒为定值，并求此定值.故双曲线 C 的方程为-y2=1.因为直线 AF所以直线 I 与 AF 的交点为Ml3va3-Ju=1,代入上式得(2 蛰 3尸 斗-V，_一 =: = 第16页/共 20 页P,Q(均异于点 A,B),若 AP 丄 AQ 求直线 l 的方程.答案19.查看解析解析19.(I)在 Ci,C2的方程中，令 y=0,可得 b=1,且 A(-1,0),B(1,0)是上半椭圆 Ci的左右顶点.设 Ci的半焦距为 c,由= 及 a2-c2=b2=1 得 a=2. a=2,b=1.r|T(n)解法一：由(I)知上半椭圆

20、 G 的方程为 +x2=1(y 0).易知，直线 I 与 x 轴不重合也不垂直，设其方程为 y=k(x- 1)(k丰0),代入 C 的方程，整理得(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*)设点 P 的坐标为(XP,yP), 直线 I 过点 B, x=1 是方程(*)的一个根.由求根公式得 XP= 从而 yP=*4一肚)点 P 的坐标为1v= -.r 屿(“同理，由得点 Q 的坐标为(-k-1,-k2-2k).i = (k,-4), =-k(1,k+2).5. z/ APIAQ, b0)右焦点 顶点 B 的坐标为(0,b),连结 BF2并延长交椭圆于点 A,过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆

21、于另一.答案20.查看解析解析20.设椭圆的焦距为 2c,则 Fi(-c,0),F2(c,0).(1)因为 B(0,b),所以 BF2=a.16 199.+,因为 B(0,b),F2(c,0)在直线 AB 上,的左、=1,解得 b2=1.所以点 A 的坐标为连结FiC.又 BF2= ，故 a=-所以直线解方程组第18页/共 20 页沁a+ca+ c又 AC 垂直于 x 轴，由椭圆的对称性，可得点 C 的坐标为第19页/共 20 页21.(2014辽宁,20,12分)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积 最小时，切点为 P(如图),双曲线 GE -=1 过

22、点 P 且离心率为.(I)求 C1的方程;答案21.查看解析解析21.(I)设切点坐标为(xo,yo)(xoO,y00),则切线斜率为-，切线方程为一 y-yo=-(x-xo),即xox+yoy=4,此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S= =.由+ =4 2xoyo知当且仅当 xo=yo=、 时 xoyo有最大值，即 S 有最小值，因此点 P 的坐标为（运，冋2 2 .FL由题意知 9 =3 解得 a2=1,b2=2,故 G 的方程为 x2- =1.2JX y(n)由(i)知 C2的焦点坐标为(-、,0),0),由此设 C2的方程为+=1,其中 b1o.2 2由 P( * J )

23、在 C2上得+ =1,2 1X V解得* =3,因此 C2的方程为& + 3 =1.龙=旳，+、仗M 上二 1显然，1 不是直线 y=0.设 I 的方程为 x=my+宀，点 A(x1,y1),B(x2,y2),由2/c因为直线 FiC 的斜率为：:亠且 FiC丄 AB丄 迈a2=5c2.故 e2=.因此 e=P 且与 C1有相同的焦点，直线 I 过 C2的右焦点且与C2交于 A,B 两点，若以线段 AB 为b,直线 AB 的斜率为-：1=-1.又 b2=a2-c2,整理得丈 I 的方程.第20页/共 20 页因此得 （m5由 x；=myi,X2=my：2 再得茫?第 i21页/共 20

24、 页2rz i、*66?r公x:=ry(y + V3m (”)-$ = 一. 4因i =( ：，一 _Xi,- -！)，；=(：,_ -X2, t - -y2).由题意知 =0,所以 xiX2-：；心；(xi+X2)+yiy2-(yi+y2)+4=0. 将,代入式整理得22.(2012 太原高三月考，20,12 分)已知曲线 C:x2+A=1.(I)由曲线 C 上任一点 E 向 x 轴作垂线，垂足为 F,动点 P 满足:T=3pt,求 P 点的轨迹方程，并讨论其轨 迹的类型；y(n)如果直线 I 的斜率为理至,且过点 M(0,-2),直线 I 与曲线 C 交于 A、B 两点又人 =-2，求曲线

25、 C 的方程答案22.(I)设 E(X0,y0),P(x,y),则 F(X0,0),快.=3 庆, (xx0,y)=3(x-x0,y-y0),fx0=x._2山 f涉代入曲线 C 中得 x2+W=i 为所求的 P 点的轨迹方程.(2 分)1当入=时,P 点轨迹表示：以(0,0)为圆心，半径 r=i 的圆;(3 分)2m2-2解得 m=(3 ,- x-心 m+4 皿-i 仁 0,3恵並-i 或 m=-+i.因此直线 I 的方程为怜 lyey- =0 或 x+4第22页/共 20 页2当 0入 时,P 点轨迹表示：中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的椭圆；（4 分）- 4一3当入时,P 点轨迹表示：

26、中心在坐标原点，焦点在 y 轴上的椭圆;（5 分）4当入0 时,P 点轨迹表示：中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的双曲线.（6 分）（n）由题设知直线 I 的方程为 y 丸二 X-2，代入曲线 C 中得（入 +2）2-4.t_X+4-入=0,（7 分）令 A（xi,yi）,B（x2,y2）,以上方程有两解， 2=31（入+2）（4-入）0 且入+2丰0,（8 分）入或入0 且入乂 2,3(4-A) y1X2= 2 =-2 .(10 分) 解得入“4,（11 分）曲线 C 的方程是 x2-=1.（12 分）22.23.（2012 山西大学附中高三十月月考，21 , 12 分）设椭圆I11的离心率!tr$匚，右焦点到直线的距离：:为坐标原点.2a b1（I）求椭圆的方程；（II）过点：作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于疳:.加两点，证明：点：1到直线的距离为定值，并求弦 .长度的最小值.答案23. （I）由题意得，-1辽,7 - 二沦：tt 2又 I 阉=xiX2+(yi+2)(y2+2)=3x4第23