电大工程数学形成性考核册答案

1、工程数学作业（一）答案（满分 100 分）第 2 章矩阵（一）单项选择题（每小题2 分，共 20 分）a1a2a3a1a2a3设 b1b2b32 ，则 2a1 3b12a23b22a33b3 （ D ）c1c2c3c1c2c3A. 4B. 4C. 6D. 60001若00a01，则 a（ A）0200100a1B. 1C.1D. 1A.2211103乘积矩阵2452中元素 c23（ C）1A. 1A , BB. 7C. 10D. 8B设均为 n 阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（）A.ABC. (AB)11AA11BB11B. ( AB)D. ( AB)11BA1A1B1设 A , B 均为

2、 n 阶方阵， k0 且 k1，则下列等式正确的是（D）A.ABABB.ABn A BC.kAk AD.kA(k) n A下列结论正确的是（A）A. 若 A 是正交矩阵，则A 1 也是正交矩阵B. 若 A , B 均为 n 阶对称矩阵，则 AB 也是对称矩阵C. 若 A , B 均为 n 阶非零矩阵，则 AB 也是非零矩阵D. 若 A , B 均为 n 阶非零矩阵，则AB 013的伴随矩阵为（C）矩阵521313A.5B.522word 文档可自由复制编辑53D.53C.1212方阵 A 可逆的充分必要条件是（B）A. A0B. A0C.A*0D. A*0设 A , B , C 均为 n 阶可

3、逆矩阵，则 ( ACB ) 1（ D）A. (B)1A1C1B. BC1A1C. A 1C 1(B 1)D.(B1)C1A1设 A , B , C 均为 n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（A）A. (A B)2A22AB B2B. (A B)B BA B2C. (2ABC) 12C1B1A1D. (2ABC)2CBA（二）填空题（每小题2 分，共20 分）210 1407001111 11x是关于 x 的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是2111若 A为34矩阵，B为25 矩阵，切乘积 AC B 有意义，则 C 为5× 4矩阵5二阶矩阵 A1115010112120063设

4、A40 , B，则(A B)31451834设 A, B 均为 3 阶矩阵，且AB3，则2 AB72设 A, B 均为 3 阶矩阵，且A1, B3 ，则3(A B 1)23若 A1a00为正交矩阵，则 a1word 文档可自由复制编辑212矩阵 402的秩为2 033A1O11OA设 A1 , A2 是两个可逆矩阵，则1OA2OA21（三）解答题（每小题8 分，共 48 分）设 A12, B1154B； AC； 2A3C ；354, C3，求 A31A 5B； AB； ( AB) C答案： A03A662A 3C1716B8C43710A5B262277(AB) C56210AB1215180

5、1223121103114设 A, B, C321 ，求 AC BC012211002021146410解： AC BC (A B)C42 120322101020310102已知 A121, B111，求满足方程3 A2X B中的 X342211解： 3A2 XB43183221 (3AXB)125215122711572511222写出 4 阶行列式word 文档可自由复制编辑1020143602533110中元素 a41 , a42 的代数余子式，并求其值020120答案 ： a41 ( 1) 4 1 4360a42 ( 1) 4 21 3645253053用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵

6、：121234100023121100 2122 ； 111； 1122110102611111解：122100A | I2120102210012r 1r 22r 1r 3（1）122 10021021203 r2r1330362102r2r303621006320100922113 r219 r312010233012210330011229992 r3r12r3r 2122100999010212999001221999122999A 121299922199922626171000（2）A11752013(过程略 ) (3) A 1110010210110415300111011011

7、1101100求矩阵01210的秩112113201解：word 文档可自由复制编辑1011011r1r210110111011011110 11 00r1r30110111r2 r401101112r1 r41012101000111000011102113201011122100011101011011r3 r40110 11 100011100000000R(A)3（四）证明题（每小题4 分，共 12 分）对任意方阵A，试证 AA 是对称矩阵证明： (AA' )'A' (A')'A' AAA'A A 是对称矩阵若 A 是 n 阶方阵

8、，且 AAI，试证 A1或 1证明 ：A 是 n 阶方阵，且AAIAAAAA21IA 1或A1若 A 是正交矩阵，试证A 也是正交矩阵证明：A 是正交矩阵A 1A(A)1(A1)1A(A)即 A 是正交矩阵工程数学作业（第二次）(满分 100 分 )第 3 章 线性方程组（一）单项选择题 (每小题 2 分，共 16 分)x12x24 x31x1用消元法得x2x30 的解 x2为（ C）x32x3A. 1, 0, 2B. 7, 2, 2C. 11,2, 2D. 11,2, 2word 文档可自由复制编辑x12x23x32线性方程组x1x36（B ）3x23x34A. 有无穷多解B. 有唯一解C.

9、 无解D. 只有零解10013向量组 0 ,1, 0 ,2,0 的秩为（A）00114A. 3B. 2C. 4D. 510111001设向量组为1,2,3,41，则（ B）是极大无关组0110101A. 1,2B.1 ,2 ,3C.1 ,2 ,4D.1 A 与 A 分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解， 则（D）A. 秩C. 秩( A)秩 (A)B. 秩(A)秩 (A)( A)秩 (A)D. 秩(A)秩 (A)1若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A）A. 可能无解B. 有唯一解C. 有无穷多解D. 无解以下结论正确的是（D）A. 方程个数小于

10、未知量个数的线性方程组一定有解B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解D. 齐次线性方程组一定有解若向量组1 ,2 ,s 线性相关，则向量组内（A）可被该向量组内其余向量线性表出A. 至少有一个向量B. 没有一个向量C. 至多有一个向量D. 任何一个向量9设 A，为 n 阶矩阵，既是又是的特征值，x 既是又是的属于的特征向量，则结论（）成立是 AB 的特征值是 A+B 的特征值是 AB 的特征值 x 是 A+B 的属于的特征向量10设，为n 阶矩阵，若等式（）成立，则称和相似 ABBA (AB)AB PAP 1B PAPB（二）

11、填空题 (每小题 2 分，共 16 分 )word 文档可自由复制编辑当时，齐次线性方程组x1x20x1x2有非零解0向量组10,0,0 ,21,1,1 线性 相关向量组1,2,3 ,1,2,0 ,1,0, 0 ,0,0,0的秩是设齐次线性方程组1 x12 x23 x30的系数行列式1230 ，则这个方程组有无穷多解，且系数列向量1 ,2 ,3 是线性 相关的向量组11,0 ,20,1, 30 , 0的极大线性无关组是1,2 向量组1 ,2 ,s 的秩与矩阵1 ,2 ,s的秩相同设线性方程组AX0中有 5 个未知量，且秩( A)3 ，则其基础解系中线性无关的解向量有个设线性方程组AXb 有解，

12、 X 0 是它的一个特解，且AX0的基础解系为 X1 , X2，则 AXb 的通解为 X 0k1 X 1k 2 X 2 9若是的特征值，则是方程 IA0的根10若矩阵满足A 1A，则称为正交矩阵（三）解答题 (第 1 小题 9 分，其余每小题11 分)1用消元法解线性方程组x13x22x3x463x18x2x35x402x1x24x3x412x14x2x33x42解1321638150A141122141323r1r22 r1r3r1r4：132163r 2r1101923480178185r2r30 1 7818r1r 4058100027399001348001012263r4r31r42

13、101923480178180033120056131r33101923480178180011400561319r3r17r3r25r3r4100421240101546001140001133word 文档可自由复制编辑100421241 r40101546110011400013设有线性方程组42 r4r115r4r2r4r310002x1201001x21方程组解为00101x3100013x4311x111y11z2为何值时，方程组有唯一解?或有无穷多解 ?111112r1r2A 11r1 r311r1r31121111120112011213解：112r2 r3011(1)00(2

14、)(1) (1)(1) 2当1 且2时， R( A)R( A)3，方程组有唯一解当1时， R(A) R( A) 1，方程组有无穷多解判断向量能否由向量组1 ,2 ,3 线性表出，若能，写出一种表出方式其中823537, 256,11,337010321解：向量能否由向量组 1, 2 ,3 线性表出，当且仅当方程组1 x12 x23 x3有解23581037A,2,3756301341这里1,0370010117132110000571R( A)R( A)方程组无解不能由向量1, 2, 3 线性表出计算下列向量组的秩，并且（1）判断该向量组是否线性相关word 文档可自由复制编辑13111739

15、12 , 28 , 30 , 463933413361311131117390112解： 1,2,3,4280 6000 1839330000413360000该向量组线性相关求齐次线性方程组x13x2x32 x405x1x22x33x40x111x22x35x403x15x24x40的一个基础解系解：13125r1r25123r1r33 r1 r4A11251350410511142r 2114r 431r3r3011423000300001312014370143701431010511420131142000100003 r2 r114r 2 r3r 2r412 r3r112 r 3r

16、21051142014370000000310501401301400100000x155x31414方程组的一般解为3令3x 214x3x31 ，得基础解系14x 4001求下列线性方程组的全部解x15x22x33x4113x1x24x32 x45x19x24x4175x13x26x3x41解：word 文档可自由复制编辑1523113r1r21523113 14 25r1r301427 28A5r1 r4190417014272853611028414561091172x11r2011121472方程组一般解为000x20000000令 xk， x4k，这里 k， k2为任意常数，得方程组

17、通解3121x717111k1k2 19292x21k112k11k 212x37k 27202x4k1100k201试证：任一维向量a1 ,a 2 , a3 ,a4都可由向量组111101111，20， 31，41000015r2 r1109111472r2r3014282r2r4270000000000711x3x4921 x31 x4272线性表示，且表示方式唯一，写出这种表示方式1000证明：0100102103214300001任一维向量可唯一表示为a11000a2a10a 21a30a40a1 1a2 ( 21 )a3 ( 3 2 ) a4 ( 4 3 )a30010a40001(

18、a1a2 ) 1(a2 a3 ) 2 (a3a4 ) 3a4 4试证：线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解证明： 设 AXB 为含 n 个未知量的线性方程组该方程组有解，即R( A)R( A)nword 文档可自由复制编辑从而 AX B 有唯一解当且仅当R( A) n而相应齐次线性方程组 AX0 只有零解的充分必要条件是R( A)nAXB 有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组AX 0只有零解9设是可逆矩阵的特征值，且0 ，试证：1是矩阵 A1 的特征值证明：是可逆矩阵的特征值存在向量，使 AI(A 1A)A1(A) A1( )A 1A11即 1是

19、矩阵 A 1 的特征值10用配方法将二次型f x12x22x32x 422x1 x2 2x2 x4 2x2 x3 2x3 x4 化为标准型解：f (x1 x2 )2x32x422x2x4 2x2x3 2x3 x4(x1 x2)2x322x3( x2 x4) x42 2x2x4( x1x2 ) 2(x3x2x4 ) 2x22令 y1x1x2 ， y 2x3x2x4 ， y3x2 ， x4y4x1y1y3即 x2y3x3y2 y3 y4x4y4则将二次型化为标准型f y12y22y 32工程数学作业（第三次）(满分 100 分 )第 4 章随机事件与概率（一）单项选择题 A , B 为两个事件，则

20、（B）成立A.( AB)BAB. (AB)BAC. (AB)BAD. (AB)BA如果（C）成立，则事件A 与 B 互为对立事件A.ABB.ABUC.AB且 ABUD.A 与 B 互为对立事件 10 张奖券中含有3 张中奖的奖券，每人购买1 张，则前3 个购买者中恰有1 人中奖的概率为（ D）A.C1030.720.3B.03.C. 0.720.3D. 307.20.3word 文档可自由复制编辑4. 对于事件 A , B ，命题（ C ）是正确的 A. 如果 A , B 互不相容，则 A , B 互不相容B.如果AB，则ABC. 如果D. 如果A , BA , B对立，则A, B 对立相容，

21、则A, B 相容某随机试验的成功率为p(0p1) ,则在 3 次重复试验中至少失败1 次的概率为（ D）A. (1p) 3B. 1p 3C. 3(1p)D. (1p) 3p(1p) 2p 2 (1p)6.设随机变量 X B(n , p) ，且E(X)4.8, D( X ) 096.，则参数 n 与 p 分别是（ A）A. 6, 0.8B. 8, 0.6C. 12, 0.4D. 14, 0.27.设 f ( x) 为连续型随机变量 X 的密度函数，则对任意的a , b ( ab) ， E( X )（A ）bA.xf ( x)dxB.a xf ( x)dxb()dC.fD.f ( x)d xax

22、x8.在下列函数中可以作为分布密度函数的是（B）sin x ,x3sin x , 0xA.f( )2B.f(x)x0 ,20 ,2其它其它3()sin x , 0xC. f ( x)sin x , 0 xD. f0 ,2x0 ,其它其它9.设连续型随机变量X 的密度函数为 f ( x) ，分布函数为F ( x) ，则对任意的区间(a , b) ，则 P( aXb) （D）bA.F (a)F (b)B.F ( x)dxaf ( a)f (b)bC.D.f ( x)dxa10.设 X 为随机变量， E( X ), D(X)2，当（ C）时，有 E(Y) 0, D(Y) 1A.YXB. YXC. Y

23、XD. YX2（二）填空题从数字 1,2,3,4,5 中任取 3 个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为word 文档可自由复制编辑2 52.已知 P( A)03., P( B)05. ，则当事件A , B 互不相容时，P( AB)0.8，P(AB)0.33.A , B 为两个事件，且 BA ，则 P(AB)P A 4.已知 P( AB)P( AB ), P( A)p ，则 P(B)1P 5.若事件 A , B 相互独立，且 P( A)p , P( B)q ，则 P( AB)pqpq 6.已知 P( A)03., P(B)05. ，则当事件A , B 相互独立时，P( AB)

24、0.65，P(AB)0.30x07.设随机变量 X U (0 , 1) ，则 X 的分布函数 F ( x)x0x11x18.若 X B(20, 03.) ，则 E( X )69.若XN(,2)，则 P( X3 )2(3) 10. E( X E( X )(YE(Y) 称为二维随机变量(X ,Y)的 协方差（三）解答题1.设 A , B , C 为三个事件，试用 A , B , C 的运算分别表示下列事件： A, B , C 中至少有一个发生； A, B , C 中只有一个发生； A, B , C 中至多有一个发生； A, B , C 中至少有两个发生； A, B , C 中不多于两个发生； A,

25、 B,C中只有 C 发生解 :(1) ABC(2) ABCABCABC(3)ABCABCAB CA BC(4) ABACBC(5) ABC(6) ABC2. 袋中有 3 个红球， 2 个白球，现从中随机抽取2 个球，求下列事件的概率： 2 球恰好同色； 2 球中至少有 1 红球解 :设 A =“ 2 球恰好同色” ， B =“ 2 球中至少有 1 红球”C32C223 1 2C31C21C326 3 9P(A)C52P(B)105C5210 103. 加工某种零件需要两道工序，第一道工序的次品率是2%，如果第一道工序出次品则此零件为次品；如果第一道工序出正品，则由第二道工序加工，第二道工序的次品率是3%，求加工出来的零件是正品的概率解： 设 Ai“第 i 道