六年级数学思维训练：计数综合四要点

1、2014年六年级数学思维训练：计数综合四、兴趣篇1.在8X8的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成的L”形（如图），一共有多少种不同的方法？2.冬冬妈妈每天让冬冬吃 蛋共有多少种吃法？1个鸡蛋或者1个鸭蛋，那么冬冬吃完家里的4个鸡蛋和4个鸭3 .常吴与古力两人进行围棋 棋圣”冠军争霸赛，比赛没有平局，谁先胜 4局即获得比赛的 胜利，请问：比赛过程一共有多少种不同的方式？4 . 10只相同的橘子放到 3个不同的盘子里，每个盘子至少放1只，一共有多少种不同的放法？5 . 一部电视连续剧共 8集，电视台要在周一到周四这4天内按顺序播完，其中可以有若干天不播，共有多少种安排播出的方法？6 .某班40名

2、学生参加了一项关于 超市是否应该提供免费塑料袋 ”的调查，每人均在 应该 提供”、不应该提供”和无所谓”三个选项中做出了选择.请问：三个选项的统计数字共有多少种不同的可能？7 .海淀大街上一共有18盏路灯，区政府为了节约用电，打算熄灭其中的7盏.但为了行路安全，任意相邻的两盏灯不能同时被熄灭，请问：一共有多少种熄灯方案？8 .数字和为9,而且不含数字 0的三位数共有多少个？四位数共有多少个？9 .有一批规格相同的均匀圆棒，每根划分成相同的5节，每节用红、黄、蓝 3种颜色中的一种来涂，相邻两节不能同色，那么可以染成多少种不同的圆棒？10 .给一个正四面体的 4个面染色，每个面只允许用一种颜色，

3、且4个面的颜色互不相同. 现 有5种颜色可选，共有多少种不同的染色方式？（旋转后是一样的染色情况算是同一种方式） 二.拓展篇11 .在8>8的方格棋盘中，一共可以数出多少个如图所示的由4个单位小正方形组成的L”型？12 . 一次射击比赛中，7个泥制的靶子挂成 3列（如图）.一位射手按下列规则去击碎靶子: 先挑选一列，然后击碎这列中尚未被击碎的靶子中最下面的一个，若每次都遵循这一原则， 则击碎全部7个靶子共有多少种不同的顺序？13 . (1) 一只青蛙沿着一条直线跳跃 4次后回到起点.如果它每一次跳跃的长度都是1分米,那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？(2)如果这只青蛙在一个方格边长为1分

4、米的方格纸上沿格线跳跃 4次后回到起点，每次跳跃的长度仍是1分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？14 .如图1,有两条平行线，如果每条直线上有3个点，连出3条线段，从图中最多可以数个三角形，如果每条直线上有出7个三角形；如图2,如果每条直线上有 4个点，连出4条线段，从图中最多可以数出 1610个点，连出10条线段，从图中最多可以数出多少个三角形?15 .把20个苹果分给3个小朋友，每个小朋友至少分1个，共有多少种分苹果的方法？如果可以有小朋友没有分到苹果，共有多少种分法？16 .冬冬有10块大白兔奶糖，他从今天起，每天至少吃一块，直到吃完.请问一共有多少 种不同的吃法？17 .美国众议院

5、435名议员对拒绝缴纳联合国会费”的提案进行投票，每名议员都可以选择 投赞同票、反对票和弃权票中的某一种， 并且只要赞成票多于总票数的一半， 提案就会被通 过，否则不能通过.表决结果是拒绝缴纳.试问共有多少种可能的三种票数的统计情况？18 .有10个小朋友排成一列，要从中选出3个互不相邻的小朋友，有多少种不同的选法？19 .一次自助餐，共有 10种菜，每个人都有 4个盘子可以选菜，每个盘子只能放1种菜，但可以重复选菜，请问：共有多少种选菜方案？20 . 3个男生和7个女生站成一排，要求每 2个男生之间至少有 2个女生，共有多少种排列 方法？如果站成一圈呢？21 . 一个长方体的各边长都是整数，

6、并且它的体积是2310,那么这样的长方体有多少个？(如果两个长方体经过旋转可以重合，则认为它们是同一个长方体.)22 .用4种颜色为一个正方体的 6个面染色，要求每个面只能用1种颜色，且相邻面的颜色 必须不相同，如果将正方体经过翻转后颜色相同， 就认为是同一种染色方法， 那么共有多少 种不同的染色方法？ 二.超越篇23 .某工厂生产一批玩具，玩具为一条圆环上均匀安装着13个小球，其中3个是红球，10个是白球.如果2个圆环通过翻转后可以叠放在一起，使得红球对红球、白球对白球， 这样 的两个圆环就认为是相同的.那么一共可以生产多少种不同的圆环？24 .对于由1至6组成的无重复数字的六位数，如果它的

7、首位数字不是1,那么可以进行如下的1次操作：记首位数字为足，则将数字尼与第七位上的数字对换，例如，245136可以进行两次操作：245136425136125436.请问：可以进行 5次操作的六位数有多少个？25 .大小形状相同的红、黄、蓝三种颜色的珠子依次有2枚、2枚、3枚，现在要将它们穿成一串，要求相同颜色的珠子不能柑邻，共有多少种不同实质的穿法？如果要穿成一个圈 呢？26 .有8个队参加比赛，采用如图的淘汰制方式.问：在比赛前抽签时，可以得到多少种实 质不同的比赛安排表？.1TJ1ITn27 .动物园的门票 5元l张，每人限购1张.现在有10个小朋友排队购票，其中 5个小朋 友只有5元的

8、钞票，另外5个小朋友只有10元的钞票，售票员没有准备零钱，请问：有多 少种排队方法，使售票员总能找得开零钱？28 .经理将要打印的信件交给秘书，每次给一封，且放在所有信件的最上面，秘书一有空就从最上面拿一封信来打.有一天共有7封信要打印，经理按1号信，2号信， , 7号信的顺序交给秘书，午饭时，秘书告诉同事，经理已经给了5封信，她已经把5号信打好了，但未透露上午工作的其他情况，问：(1)如果上午秘书已经把五封信打完了，那么上午打印信的顺序有多少种可能？(2)如果上午秘书还没有把信打完，那么下午打印信的顺序有多少种可能？29. (1)将8个黑球和20个白球排成一圈，每 2个黑球之间至少有 2个白

9、球的排列方法有 多少种？(2) 8名女生，20名男生站成一圈，要求每 2名女生之问至少有 2名男生.有多少种不同 的站法？(经过旋转后相同的算作同一种排法，答案用阶乘表示.)第3页(共22页)2014年六年级数学思维训练：计数综合四参考答案与试题解析一、兴趣篇1 .在8X8的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成的L”形（如图），一共有多少种不同的方法？第9页（共22页）【分析】数 不规则几何图形”的个数时，常用对应法，观察图形可知，每一种取法，有一个 点与之对应，这就是图中的 A点，它是棋盘上横线与竖线的交点，且不在棋盘边上.而且， 棋盘内的每一个点对应着 4个不同的取法（L”形的 角”在2X

10、2正方形的不同 箱”上）.据此 即可解答.【解答】 解：观察图形可知：在 8X8的棋盘上，内部有 7>7=49 （个）交叉点，所以不同的取法共有 49 M=196 （种）.答：一共有196种不同的取法.2 .冬冬妈妈每天让冬冬吃 1个鸡蛋或者1个鸭蛋，那么冬冬吃完家里的 4个鸡蛋和4个鸭 蛋共有多少种吃法？【分析】4个鸡蛋和4个鸭蛋8天吃完，相当于8个位置，拿出4个鸡蛋或4个鸭蛋占据4个位置，根据组合公式共有-二=:一4X3X2X1=70种吃法.【解答】解：其会等f=70 （种）答：共有70种吃法.3 .常吴与古力两人进行围棋棋圣”冠军争霸赛，比赛没有平局，谁先胜4局即获得比赛的2X4=

11、2JX EX%。种不“3X2X1胜利，请问：比赛过程一共有多少种不同的方式？【分析】七局四胜，可以分常昊胜或古力胜，根据组合公式有 同的方式.c 7X6X5=2X2 3X2X1=2X35=70 （种）答：比赛过程一共有 70种不同的方式.4 . 10只相同的橘子放到 3个不同的盘子里，每个盘子至少放1只，一共有多少种不同的放法？【分析】利用插板法可知：10个橘子排成一行有 9个间隔，从当中选出 2个间隔各插入一 个板子，将10个橘子分成了 3份，保证两个板子中至少有一个橘子，即每份中至少有一个 橘子，一共2=监?=36种分法.2X1【解答】解：广2=9乂2=36 （种）V3 2X1答：一共36

12、种分法.5 . 一部电视连续剧共 8集，电视台要在周一到周四这4天内按顺序播完，其中可以有若干天不播，共有多少种安排播出的方法？【分析】8集可以分1天、2天、3天、4天播出，且电视剧播放顺序不能改变， 采用插板法: 以+心心+煌又吟伊做种安排播出的方法.【解答】解：L +2L +3 X2 +3%7 74X37X6 7X6X5=4+>7+4 >4+二-2X12X1 3X2X1=4+42+84+35=165 （种）答：共有165种安排播出的方法.6 .某班40名学生参加了一项关于超市是否应该提供免费塑料袋 ”的调查，每人均在 应该提供”、不应该提供”和无所谓”三个选项中做出了选择.请问

13、：三个选项的统计数字共有多少种不同的可能？【分析】三种选项的统计数字的可能性就是将40分成3个数字的和，可以为 0,所以我们可以用插板法，先加 3个人，共43个人、42个间隔，插2个板进去分成3组，分完后再每 组减1个人就剩下40个人了，而且满足有 0的情况，所以共有 肾2=>黑乳=861种 乙【解答】解：有 比乳=861 （种）答：三个选项的统计数字共有861种不同的可能.7盏.但为了行路7 .海淀大街上一共有18盏路灯，区政府为了节约用电，打算熄灭其中的安全，任意相邻的两盏灯不能同时被熄灭，请问：一共有多少种熄灯方案？【分析】根据插空法可知：将这 7盏灯，插到剩下的11盏灯里.有12

14、个位置.所以熄灯方1 ; A /.案有一快喘畿解=792种12X11X10X9X85X4X3X2X1=792 （种）答：一共有792种熄灯方案.8 .数字和为9,而且不含数字 0的三位数共有多少个？四位数共有多少个？【分析】利用插板法：9看成并排的9个苹果，求三位数可以看成三天来吃，每天至少吃一 个.四位数也是如此.由此解决问题.1,相当【解答】解：9看作9个苹果，中间插入 2个挡板，分为3部分，每一部分最少为于8个空位放上2个间隔, 共有_：=-=28 （个）1,相当于8个空位放上3个间隔,2X1中间插入3个挡板，分为4部分，每一部分最少为共有一=56 （个）v3 3x2x1答：三位数共有2

15、8个，四位数共有56个.9 .有一批规格相同的均匀圆棒，每根划分成相同的5节，每节用红、黄、蓝 3种颜色中的一种来涂，相邻两节不能同色，那么可以染成多少种不同的圆棒？【分析】利用数字1,2,3三个数分别代表三种颜色， 它们组成的一个五位数代表一种涂法.每一位数都可能有三种取法，即 1,2, 3.得出所有的方法去掉反序数与数位上数字相同的得 出答案案即可.【解答】解：用1, 2, 3三个数分别代表三种颜色， 它们组成的一个五位数代表一种涂法.每一位数都可能有三种取法，即1, 2, 3.因为相邻两节不能同色，所以当前一节确定之后，后一节只有两种颜色可以使用，因此，可能有3X2>2X2X2=4

16、8个不同的染色方法.由于棒的规格相同，均匀，又都是等分为五节.因此，将一个涂过色的棒倒转180。来看，它可能与另一个棒的涂色完全一样，这两个棒只能是同一种着色.这就是说一个数与它的反序数代表同一种涂法.所以上面的结果中有一半是重复的，则可以得到48e=24种不同的圆棒.10 .给一个正四面体的 4个面染色，每个面只允许用一种颜色， 且4个面的颜色互不相同. 现 有5种颜色可选，共有多少种不同的染色方式？（旋转后是一样的染色情况算是同一种方式）【分析】由于是正四面体，旋转后是一样的染色情况算是同一种方式，所以先从5种颜色中选4种，有5种选法，然后将四种不同颜色编号：1、2、3、4;将其中编号最小

17、的做底面，上面三个面按编号从小到大排列2一3一4只有顺时针和逆时针两种情况，所以有两种结果，然后用5乘2即可得出结论.【解答】 解：C；?>2=5 X2=10 （种） 答：共有10种不同的染色方式.二.拓展篇11.在8>8的方格棋盘中，一共可以数出多少个如图所示的由4个单位小正方形组成的L”型？【分析】先讨论8>8中可以排多少个三个格子的直排:1、8 >8再次简化为单列为 8格的方格组合：由如为3格的单列三个格子可以排成 1个;4格可以排成2个；可以推出单列8格应该可以排出6个不重复的三个格子的直排；2、8 >8的格阵中那么应该可以排成6 >8 >2=

18、96 （单算行共有8行刈，行列相等>2）个三个格子的直排，再讨论可以排成多少个L:一般的三个格子直排加上一个格子组成L可以有四种（先是加到第一个，而左右不同，再加到第三个格子的左右），那么L就应该有96M=384个；第一步总体讨论了左右，而最靠边的行与列则不满足左右均有，故要减去4 >6X2=48 （边框共有四，乘以单行三个格子组合数，再乘以左边或右边可以组合的2个）；384- 48=336个；所以应该有 336个.【解答】解：6>8X2M-44>2=384 - 48=336 （个）答：一共可以数出 336个由4个单位小正方形组成的 L”型.12 . 一次射击比赛中，7

19、个泥制的靶子挂成 3列（如图）.一位射手按下列规则去击碎靶子: 先挑选一列，然后击碎这列中尚未被击碎的靶子中最下面的一个，若每次都遵循这一原则， 则击碎全部7个靶子共有多少种不同的顺序？由题意可知：只需保证同一列的靶子顺序为从下到上即可，一共 7个靶子，第一列 三个靶子共c；种顺序，第二列和第三列依次有 cj和种，由此由乘法原理得共 c；弋; 种顺序.【解答】解：=35X6=210 （种）答：击碎全部7个靶子共有210种不同的顺序.13 . （1） 一只青蛙沿着一条直线跳跃 4次后回到起点.如果它每一次跳跃的长度都是1分米,那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？（2）如果这只青蛙在一个方格边长为1

20、分米的方格纸上沿格线跳跃 4次后回到起点，每次跳跃的长度仍是1分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？【分析】（1）青蛙必然是两步左，两步右，因此只要把两个 左”和两个 右”排成一列，每一 种排法就对应着青蛙的一种跳法，有2=6 （种）； 分为两类：第一类，上下左右各一步，相当于把土“下”左“右“排成一列，有 守24（种）；第二类，上下各两步或左右各两步，类似（1）,有c：X2=12 （种），所以共24+12=36（种）.【解答】解：（1） =6=6 （种）答：这只青蛙共有 6种可能的跳法.A：+C产=24+12=36 （种）答：这只青蛙共有 36种可能的跳法.14 .如图1,有两条平行线，如

21、果每条直线上有3个点，连出3条线段，从图中最多可以数个三角形，如果每条直线上有出7个三角形；如图2,如果每条直线上有 4个点，连出4条线段，从图中最多可以数出 1610个点，连出10条线段，从图中最多可以数出多少个三角形?【分析】以边上的线段为底的三角形共有2C （N, 2）,其次讨论内部的三角形，依然按线段来确定三角形，按增量分析，有 C （2, 2） +C （3, 2） +C （4, 2） +- +C （N-1, 2）, 依此即可确定三角形的个数.【解答】解：一条直线上有 3个点时，就有2+1=3条线段，分别对应 3个三角形，另一条直线也是如此，也有 3个三角形.C (2, 2) +C (

22、3, 2)以边上的线段为底的三角形共有2C （N, 2）.其次讨论内部的三角形，依然按线段来确定三角形，按增量分析，有+C (4, 2) +- +C (NT, 2)当 n=10 时，90+1+3+6+10+15+21+28+36=210 (个).答：从图中最多可以数出210个三角形.15 .把20个苹果分给3个小朋友，每个小朋友至少分1个，共有多少种分苹果的方法？如果可以有小朋友没有分到苹果，共有多少种分法？【分析】（1）每个小朋友至少分得 3个苹果，先每个小朋友都分得 3个苹果，满足要求；那 么还剩（20-3=17）个苹果，这17个苹果重新分配，每个小朋友可能再分得 0至17个苹 果，当其中

23、两个人再分的个数确定，第三个人再分的个数随之确定；当第一个小朋友分得定） ，有 18 种分法；当第一个小朋友分得定），有17 种分法；当第一个小朋友分得定），有16 种分法；0个，第二个小朋友可分得1个，第二个小朋友可分得2个，第二个小朋友可分得017个（第三个小朋友再分的个数随之确016个（第三个小朋友再分的个数随之确015个（第三个小朋友再分的个数随之确当第一个小朋友分得17 个， 第二个小朋友可分得 0 个（第三个小朋友再分的个数随之确定） ，有 1 种分法；共有：18+17+16+ - +1=171 （种）.（ 2 ）如果可以有小朋友没有分到苹果，分为两种情况：一个小朋友没有分到苹果，

24、共有21种分法， 2 个小朋友没有分到苹果，共有1 种分法，由此求得共有20+1=21 种分法【解答】解：18+17+16+ - +1=171 （种）20+1=21 （种）答：每个小朋友至少分1 个，共有 171 种分苹果的方法；如果可以有小朋友没有分到苹果，共有 21 种分法16 冬冬有10 块大白兔奶糖，他从今天起，每天至少吃一块，直到吃完请问一共有多少种不同的吃法？【分析】 每吃完一块，都有两种选择：继续吃和明天吃； 1 块是 1 种， 2 块是 2 种， 3 块是 4种，4块是8种，5块是16种推算规律为2的n-1次方，一共有2的9次方，即有512种吃法【解答】 解：29=512 （块

25、）；答：一共有512 种不同的吃法17 美国众议院 435 名议员对 “拒绝缴纳联合国会费” 的提案进行投票， 每名议员都可以选择投赞同票、 反对票和弃权票中的某一种， 并且只要赞成票多于总票数的一半， 提案就会被通过，否则不能通过表决结果是拒绝缴纳试问共有多少种可能的三种票数的统计情况？【分析】218 票：当赞同票当赞同票当赞同票217 票， 反对票和弃权票的和为216 票， 反对票和弃权票的和为215 票， 反对票和弃权票的和为217 票，反对票和弃权票的和最少为218 票时，共有219种可能的三种票数的统计情况，219 票时，共有220种可能的三种票数的统计情况，220 票时，共有221

26、种可能的三种票数的统计情况，当赞同票 0 票，反对票和弃权票的和为 435 票时，共有436 种可能的三种票数的统计情况，由此共有 219+220+221+-+435+436= （436+219） >2182=71395种可能的三种票数的统计情况【解答】 解：赞同票最多 217 票，反对票和弃权票的和最少为 218 票：当赞同票217 票，反对票和弃权票的和为218 票时，共有219 种可能的三种票数的统计情况，当赞同票216 票，反对票和弃权票的和为219 票时，共有220 种可能的三种票数的统计情况，当赞同票215 票，反对票和弃权票的和为220 票时，共有221 种可能的三种票数的

27、统计情况，当赞同票 0 票，反对票和弃权票的和为 435 票时，共有436 种可能的三种票数的统计情况，由此共有 219+220+221+435+436= （436+219） >218 登=71395 （种）答：共有71395种可能的三种票数的统计情况.18.有10个小朋友排成一列，要从中选出3个互不相邻的小朋友，有多少种不同的选法？【分析】不相邻的问题，采用插空法，先排除学生甲、乙、丙三人的另外7个人形成8个空, 然后插入甲、乙、丙三人，问题得以解决.【解答】解：7个不选”排成一列，8个空中插入3个 选”，共有一二二3X2*1=56 （种）答：有56种不同的选法.19 .一次自助餐，共

28、有 10种菜，每个人都有 4个盘子可以选菜，每个盘子只能放1种菜,但可以重复选菜，请问：共有多少种选菜方案？【分析】考虑两种方法：逐一分析四盘都一样、三盘一样、两盘一样另两盘也一样、两盘一样另两盘不一样、没有两盘一样的，出现的选菜方案合并；利用插空法解决：相当于将 4个相同的小球放入10个不同的盒子里，允许有空盒，插板法，有C%=715种.【解答】解：方法一：四盘都一样：10,三盘一样：10X9=90,两盘一样另两盘也一样，10 >92=45,两盘一样另两盘不一样，10 X （9X8及）=360,没有两盘一样的，C ； 口=210，最后的答案就是 10+90+45+360+210=715

29、 （种）.方法二：让盘子来 选”菜，将盘子放在菜的旁边，一种菜的旁边放几个盘子就表示这道菜被选了几次，相当于将4个相同的小球放入 10个不同的盒子里，允许有空盒，插板法，有 。=715种答：共有715种选菜方案.20 . 3个男生和7个女生站成一排，要求每 2个男生之间至少有 2个女生，共有多少种排列 方法？如果站成一圈呢？【分析】也有三种，（1）先看7个苹果与3个隔板的放法.每两个隔板之间至少有两个苹果.那就去掉4个苹果，相当于有两个苹果粘在后面两个隔板上，这样还剩了 3个苹果.三个板子可以分类：3, 2+1, 1 + 1 + 1;共有20种，所以站成一排共有 20>fW冲工种方法；

30、1J I（2） 10个位置，进行编号，左右对称，各有 4个，正上正下各有一个，正上方为 1,按顺 时针编号.题目中没有说旋转后相同为同一种.所以不用旋转，是固定的.男生当成黑棋子，女生当成白棋子，这样看有多少种符合的方法.黑棋子可以有1, 4, 7; 1, 4, 8; 1, 5, 8三个位置；所以共有 pgxp；种.【解答】解：（1） 20Xp3Xp7 =20 MX2M W >6 >5 >4>3X2M=604800 （种）答：3个男生和7个女生站成一排，要求每 2个男生之间至少有 2个女生，共有604800种 排列方法；（2） p3 Xp7 =3X2M >7>

31、;6X5X4>3>2>1=30240 （种）答：如果站成一圈共有 30240种排列方法.21 . 一个长方体的各边长都是整数，并且它的体积是2310,那么这样的长方体有多少个？（如果两个长方体经过旋转可以重合，则认为它们是同一个长方体.）【分析】体积=长斓喇=1998,且长宽高为整数，可对2310分解质因数：2310=2 MX5X7M1, 根据质因数的个数分为（1, 1, 3）和（2, 2, 1）两种情况，第种情况有4+3+2+1=10 种情况，第 种有15种，总共有25种情况.【解答】 解：2310=2 >3 >5X7M1,根据质因数的个数分为（1,1, 3）和

32、（2, 2, 1）两种情况，第 种情况有4+3+2+1=10种情况，第 种有15种，总共有25种情况.答：这样的长方体有 25个.22 .用4种颜色为一个正方体的 6个面染色，要求每个面只能用1种颜色，且相邻面的颜色 必须不相同，如果将正方体经过翻转后颜色相同， 就认为是同一种染色方法， 那么共有多少 种不同的染色方法？【分析】首先分类用3种颜色和用4种颜色，用三种颜色先分步： 4种颜色中选3种有4种 结果，每相对的2个面颜色相同，先涂1个面3种情况，涂对面1种情况，涂邻面2种情况 涂邻面的对面，涂剩下的 2个面1种；当使用四种颜色，6个面4个颜色，相当于用3种颜 色涂完之后把其中一面颜色，换

33、成剩下的那个颜色，最后相加相乘得到结果.【解答】 解：首先涂法可分两类：用 3种颜色和用4种颜色；用三种颜色先分步：4种颜色中选3种N=4 ,每相对的2个面颜色相同，先涂1个面3种情况，涂对面1种情况，涂邻面2种情况涂邻面的对面，涂剩下的2个面1种，此步情况数N=4 X3 >2=24 （种）当使用四种颜色，6个面4个颜色：相当于用3种颜色涂完之后把其中一面颜色换成剩下的那个颜色有 24 X3=72 （种）所以，总情况数 24+72=96 （种）答：共有96种不同的染色方法.三.超越篇23 .某工厂生产一批玩具，玩具为一条圆环上均匀安装着13个小球，其中3个是红球，10个是白球.如果2个圆

34、环通过翻转后可以叠放在一起，使得红球对红球、白球对白球， 这样 的两个圆环就认为是相同的.那么一共可以生产多少种不同的圆环？【分析】当3个红球都不相邻时，7与=2余1;所以最少间隔2+1=3个白球；因此按两个红球间隔白球的数量分：最多间隔3、4、5、6、7个；分类讨论即可得出答案.【解答】 解：按两个红球间隔白球的数量分类用黑点代表红球，空心点代表白球，最多间隔3个白球的有2种不同规格:最多间隔4个白球的有4种不同规格:类似地，最多间隔 5个白球的有3种不同的规格，最多间隔 6个白球的有2种不同规格.最多间隔7个白球的有1种规格.所以，共有不同规格：2+4+3+2+1=12 （种）；答：这类玩

35、具一共可以有12种不同的规格.第13页（共22页）24对于由1 至 6 组成的无重复数字的六位数，如果它的首位数字不是1 ，那么可以进行如下的 1 次操作：记首位数字为足，则将数字尼与第七位上的数字对换，例如， 245136 可以进行两次操作：245136425136125436.请问：可以进行 5次操作的六位数有多少个？【分析】 它的首位数字不是1 ，是 1 的话没有继续操作的可能，它的首位既然不能是1，不妨首位数字分别是 6、5、4、3、2, A、首位是6:形如：6,因为第一次交换的是第六位，所以第六位不能是1,只能是5、4、3、2其中的一个，因此有四种情况：6-5, 64, 63, 62

36、;然后分类讨论，求出可以进行5次操作的 六位数有多少个即可【解答】 解：它的首位数字不是1，是 1 的话没有继续操作的可能，它的首位既然不能是1，不妨首位数字分别是6 、 5 、 4、 3、 2 ，A、首位是6:形如：6,因为第一次交换的是第六位，所以第六位不能是1，只能是5、 4、 3、 2 其中的一个，因此有四种情况：65, 64, 63, 62;A1 : 65时，（仅举四种情况之一）因为第二次交换的是第五位，所以第五位不能是1，只能是4、 3、 2 其中的一个，因此原数有 6 45, 6 35, 6 25三种情况；A11 : 645时，（仅举三种情况之一）因为第三次交换第四位，所以第四位

37、不能是1，只能是3、 2 其中的一个，因此有：6 345; 6 245二种情况；A111: 6- - 345时，（仅举两种情况之一）因为第四次交换第三位，所以第三位不能是1，只能是2，因此有：6- 2345一种情况；第二位只能是1 ：即 612345 ，第五次交换第二位，结果是162345 ；综上，以 6 开头的六位数，要能进行五次操作：这样的数共有：4MX2M=24 （个），而开头的数字可以是2、 3、 4、 5 、 6 这五个数字之一，故可以进行5次操作的六位数共有：5>4M>2M=120 （个）.答：可以进行5 次操作的六位数有120 个25大小形状相同的红、黄、蓝三种颜色的

38、珠子依次有2 枚、 2 枚、 3 枚，现在要将它们穿成一串，要求相同颜色的珠子不能柑邻，共有多少种不同实质的穿法？如果要穿成一个圈 呢？ 【分析】 利用插空法分析：圆圈代表蓝色，三角代表黄色，菱形代表红色先放好大圆圈，之后再放置三角，最后放菱形，进一步分情况探讨即可.【解答】 解：C代表蓝色，代表黄色，代表红色.先讨论大圆圈与三角的放置，同时考虑对称性，因为翻转后重合的是同一种有： 5。此种有5种 OCAQ 5种.田；1种.6 5Q 5+3+1=9种.剩下的就会重复，但还有一种要记得，那就是CAO© 1种.总共5+5+1+9+1=21种.排成一圈的，注意旋转或翻转后重合的为同一种.只

39、有两种.26 .有8个队参加比赛，采用如图的淘汰制方式.问：在比赛前抽签时，可以得到多少种实 质不同的比赛安排表？第 17 页（共 22 页）【分析】IN我们标上字母如图，全排列为pg =8!；因为AB, BA实质赛程一样；同理CD, EF,GH, IJ, KL, MN均是，所以重复计算了 27.于是，共有8!e7=315种实质不同 的赛程安排.【解答】解：8!笠7=315 （种）答：在比赛前抽签时，可以得到315种实质不同的比赛安排表.27 .动物园的门票 5元l张，每人限购1张.现在有10个小朋友排队购票，其中 5个小朋 友只有5元的钞票，另外5个小朋友只有10元的钞票，售票员没有准备零钱

40、，请问：有多 少种排队方法，使售票员总能找得开零钱？【分析】根据所示的题意可得出所述情况的几何表示，计点A到点B的方法数，且不能经过AB上面的顶点，从而再由每个同学是不同的可得出最终答案.【解答】 解：现把拿5元的5个小朋友看成是相同的，把拿10元的5个小朋友也看成是相同的，使用我们常用的 逐点累加法”，42图中每条小横段表示拿5 元的小朋友，每条小竖段表示拿10 元的小朋友，要求从 A 走到 B 的过程中网格中任何点均有横段数不小于竖段数，拿5 元的要先，且人数不能少于拿10 元的，即不能越过对角线AB ，求从 A 到 B 的走法的方法数，逐点累加可求出为42，又由于每个小朋友是不相同的，所

41、以共有42X5! >5! =42X20X120=604800种情况.答：有 604800 种排队方法，使售票员总能找得开零钱28经理将要打印的信件交给秘书，每次给一封， 且放在所有信件的最上面，秘书一有空就从最上面拿一封信来打.有一天共有7封信要打印，经理按1号信，2号信， , 7号信的顺序交给秘书，午饭时，秘书告诉同事，经理已经给了 5 封信，她已经把5 号信打好了，但未透露上午工作的其他情况，问：（ 1 ）如果上午秘书已经把五封信打完了，那么上午打印信的顺序有多少种可能？（ 2 ）如果上午秘书还没有把信打完，那么下午打印信的顺序有多少种可能？【分析】要将这个事件分解为两个事件： 经理

42、将信件交给秘书，先交来的在最下边；秘书打印信件，先打的在上面【解答】解：（ 1）打印顺序可能情况（数字代表信的编号）1 开头5432、 4532、 4352 、 4325、 3542、 3452、 3425、 3245、 3254、 2543、 2453、 2435 、 2345、2354 ，有14 种2开头 5431、 4531、 4351 、 4315、 3541、 3451、 3415、 3145、 3154、 1543、 1453、 1435、 1345、 1354 ，有14 种3开头5421、4521 、 4251、4215、 2541、 2451、 2415、 2145、2154，

43、有9 种4开头5321、3521 、 3251、3215，有 4 种5 开头 4321，有 1 种综上总计 14+14+9+4+1=42 种可能答：上午打印信的顺序有42 种可能（ 2 ）分析情况：如果上午只打了 1 封信：剩下4321那么一共有：5 （76在一起）+6X5登（67顺序可以不在一起）=20 （这里之前算成 21 了）2 封信：首先可能剩下的信有4 种， 321 421 431 432 ，然后每一种确定了之后他们的顺序也固定了 （同上如剩下321 ，则 1 不可能在 2 之前出现）那么一共有：4 （76 在一起）>4+5 >42 >4=563封信：剩下的信可能有

44、4刈e=6种，每种确定之后顺序固定（同上）那么一共有：4M2对+3对=54种4 封信：剩下的信可能有4 种，顺序固定那么一共有 3 >2登冲+2冲=20种总计： 21+56+54+20=150 种答：下午打印信的顺序有150 种可能29 （ 1 ）将 8 个黑球和 20 个白球排成一圈，每2 个黑球之间至少有2 个白球的排列方法有多少种？（ 2 ） 8 名女生， 20 名男生站成一圈，要求每2 名女生之问至少有2 名男生有多少种不同的站法？（经过旋转后相同的算作同一种排法，答案用阶乘表示 ）【分析】（1）先在每2个黑球间放2个白球，这样剩下4个白球，将这4个白球放入8个空 位之间，看有多

45、少种放法.若4个球在一个空位中，只有 1种放法；若3个球在一个空位中，有 7种放法；若2个球在一个空位中，另 2个球在另一个空位中，有 4种； 若2个球在一个空位中，另外 2个球分别在不同的空位中，有 C>21种; 若4个球分别在不同空位中，有 1+3+3+2+1=10种；（2）第一步：8个女生人选1人为基准，剩下 7人全排列，是女生的排列方法7!;第二步：男生插入到女生的间隙.每个间隙先放一人，剩下 12个人，转变成12人放在8个盘子里，每个盘子至少1人，7种方法.针对每一种方法按每人都不相同，都对应着20!, 所以共有7!Xr7 >20!= I1！ * 2U1种.【解答】解：（

46、1）先在每2个黑球间放2个白球，这样剩下 4个白球，将这4个白球放入8 个空位之间，看有多少种放法.若4个球在一个空位中，只有 1种放法；若3个球在一个空位中，有 7种放法；若2个球在一个空位中，另 2个球在另一个空位中，有 4种； 若2个球在一个空位中，另外 2个球分别在不同的空位中，有 C；=21种； 若4个球分别在不同空位中，有 1+3+3+2+1=10种;一共是 1+7+4+21 + 10=43 种；答：排列方法有43种.(种)(2) 7! q?仁0!= "I 乂2°!514!答：有11! ” 2。！种不同的站法.41参与本试卷答题和审题的老师有： pyl123 ；

47、 73zzx ； xuetao； WX321 ；齐敬孝；奋斗（排名不分先后）菁优网2016 年 5 月 22 日考点卡片1 .通过操作实验探索规律【知识点归纳】【命题方向】常考题型：例：小红把10根绳子打结连起来，变成一根长绳，这根长绳上有（）个结.A、 10B、 9C、 8分析：两根绳有一个结，三根绳有两个结，那么四根绳有三个结，以后每增加一根绳子就增加一个结，而结的数量要比绳子的数量少一.解：结的数量要比绳子的数量少1, 10跟绳子有：10- 1=9 （个）；答：10根绳子有9个结.故选：B.点评：本题关键是打结处的理解，每相邻的两根绳子就会有1个结，由此找出规律求解.2.唯一分解定理【知

48、识点归纳】（1）整数的唯一分解定理：设 a>1,则必有a=p1p2 -pn,其中pi （1M而）是素数，在不计 素数乘积的次序的意义下，表达式是唯一的.（2）此定理又称作算术基本定理，它是初等数论中最基本的定理之一，是整除理论的中心内容，它反映了整数的本质.算术基本定理的内容由两部分构成：分解的存在性；分解的唯一性，即若不考虑排列的顺序，正整数分解为素数乘积的方式是唯一的.【命题方向】经典例题：例1：三个连续的自然数的最小公倍数是9828,这三个自然数的和等于81 .分析：先把9828分解质因数，即9828=2 >2>3X3M>7X13,因为是三个连续的自然数，因此 通

49、过试算得出结论.解：9828=2 X2MM >3 >7X3=26X27 >2826+27+28=81答：这三个自然数的和等于81.故答案为：81.点评：此题通过分解质因数，通过推算，解决问题.例2:分母是135的最简真分数共有72个.分析：解答此题首先把135分解质因数，用质因数分别除135算出不是最简真分数 （质因数 的倍数为分子的不是最简真分数） 的个数，每两个质因数的乘积为分子的已重复计算，要从 总个数中减去，再加上以135为分子的1个，从135中减去不是最简真分数的总个数即为分 母是135的最简真分数的个数.解：就是求与135互质并且小于135的数有多少，然后加 1.

50、135=3X3X3 >5小于135的数，减去3和5的倍数3的倍数有3, 6, 9,135,共45个5的倍数有5, 10, 15T35,共27个15的倍数15, 30-135,共9个45+27- 9=63 个135- 63=72 个.答：分母是135的最简真分数共有 72个.故答案为：72.点评：本题主要考查倍数、最简真分数以及容斥原理等方面的知识.【解题方法点拨】几个简单的判别法有助于求一个数的标准分解式：(1)整数a能被2整除的，末尾数字是偶数(2)整数a能被3整除的，各位数字之和能被3整除(3)整数a能被5整除的，末尾数字是 0或5(4)整数a能被11整除的，a的奇位数字的和与偶位数

51、字的和之差能被11整除.3 .握手问题【知识点归纳】假设有N个人，则每个人都要和除自己之外的(N - 1)个人握手，则总握手的次数是 N (N - 1),但是在这N (N-1)次的握手中，每一次的握手都重复计算了，例如我和你握手，你和我握手是一样的.所以，要把它除以2,则N个人握手的次数是 -N (N-1).2【命题方向】经典题型：例1:甲、乙、丙、丁和小明五个人一起下围棋，循环比赛，已知甲下了4盘，乙下了 3盘,丙下了 2盘，丁下了 1盘，问小明下了()盘.A、1B、2C、3D、4分析：五个人一起下围棋， 循环比赛，那么每个人最多可以下 4盘；由甲下了 4盘为突破口， 找出小明下的盘数解：甲

52、下了 4盘，甲和其他4人各下了一盘，包括丁和小明；而丁下了一盘，说明丁只和甲下了一盘，没和其他人下；乙下了 3盘，他没和丁下，就是和甲，丙，小明三人下了；丙是下了 2盘，那么他只和甲、乙下了，没和小明下；由此可知：小明只和甲、乙下了棋，下了 2盘.故选：B点评：本题根据循环比赛， 得出每人最多下4盘这一条件，然后根据已知每人下的盘数进行 推算.4 .组合图形的计数【知识点归纳】1 .组合图形的概念：圆，三角形，正多边形，梯形，平行四边形为基本图形其余的为组合图形，可以用辅助线分 解为基本图.2 .组合图形的计数实质上就是分类数图形，解决方法是：（1）合理进行分类.（2）利用排列组合的有关公式进

53、行每一个类的数量计算.（3）将所有的类的数量进行相加.（4）仔细检查，防止遗漏.【命题方向】常考题型：例1:试数出下图有多少个三角形.【分析】三条线段首尾顺次连接组成的图形叫做三角形，根据概念找出图中图形的个数.解：单个三角形组成的三角形有8个，2个三角形组成的三角形有 4个，4个三角形组成的三角形有 4个， 8+4+4=16 （个）.答：有16个三角形.【点评】此题主要考查计数方法的应用，养成按照一定顺序观察思考问题的习惯，逐步学会通过观察思考探寻事物规律的能力.5 .染色问题【知识点归纳】这里的染色问题不是要求如何染色，然后问有多少种染色方法的那类题目，它指的是一种解题方法.染色方法是一种

54、将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色，我们可以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答案.这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性、逻辑性较强， 要注意学会几种典型的染色方法. 染色问题基本解法：三面涂色和顶点有关，8个顶点.两面染色和棱长有关.即新棱长（棱长-2） M2一面染色和表面积有关.同样用新棱长计算表面积公式（棱长-2） X（棱长-2）40面染色和体积有关.用新棱长计算体积公式（棱长-2） X（棱长-2） X（棱长-2）长方体的解法和立方体同理，即计算各种公式前长、宽、高都要先减2再利用公式计算.6 .逻辑推理【知识点归纳】第19页(共22页)基本方法简介： 条件分析-假设法：假设可能情况中的一种成立，然后按照这个假设去判断，如果有与题设条件矛盾的情况，说明该假设情况是不成立的，那么与他的相反情况是成立的例如，假设 a 是偶数成立，在判断过