最新五年级不规则图形面积计算

1、精品文档五年级不规则图形面积计算我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形?我们的面积及周长都有相应的公式直接计算?如下表：名称图腦圈检公式面积公式正方淮 a三甬范平行四边形/lh a/b同牡 =2< a+b )周长罔 |=a+b4-c阖性=2< a+b )面积二赶 b面积 =面积二寺 ah面积 =ah怫形b周 = a+b+c+d面积 =寺( a+b $ hd/Lva.羞形圆(扇形阖任二如周 t = 2 n r弧长倘冏氏=2珀弧长面积 =AC * ED面积二最点面积 360r精品文档精品文档实际问题中，有些图形不是以基本

2、图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算一般我们称这样的图形为不规则图形。那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施害际卜、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。一、例题与方法指导例 1 如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10 厘米和 12 厘米 ?求阴影部分的面积。思路导航：阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白三角形（ ABG、壬 DE、AEFG ）的面积之和。例 2如右图，正方形ABCD的边长为 6 厘米， A ABE、A ADF精品文档精品文档与四边形 AEC

3、F的面积彼此相等，求三角形AEF的面积 .思路导航 :精品文档精品文档?BE> ADF与四边形 AECF的面积彼此相等，二四边形 AECF的面积与厶 ABE .ADF 的面积都等于正方形ABCD的 1。3在 AABE中，因为 AB=6.所以 BE=4，同理 DF=4，因此 CE=CF=2,?CF的面积为 2X2 吃=2。所以 S AAEF=S 四边形 AECFS- ECF=12-2=10 （平方厘米）。两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10 厘米和 6 厘米。如右图那样重合 ?求重合部分（阴影部分）的面积。思路导航 :在等腰直角三角形ABC中?AB=10?EF=BF=AB-AF=1

4、0-6=4 ,?阴影部分面积 =S AABG-S 3EF=25-8=17 （平方厘米）例 4如右图， A 为 CDE的 DE边上中点， BC=CD，若 AABC（阴影部分）面积为5 平方厘米 .精品文档精品文档求 MBD及 MCE的面积 .精品文档精品文档思路导航：取 BD中点 F，连结 AF.因为 KDF、AABF和KBC等底、等高 ,所以它们的面积相等，都等于5 平方厘米 .?CD的面积等于 15 平方厘米，ABD的面积等于 10 平方厘米。又由于 ACE与 ACD等底、等高，所以ACE的面积是 15 平方厘米。二、巩固训练1. 如右图，在正方形 ABCD中，三角形 ABE的面积 是 8

5、平方厘米，它是三角形 DEC的面积的 4，求正5方形 ABCD的面积。解：过 E 作 BC的垂线交 AD于 F。在矩形 ABEF中 AE是对角线，所以S AABE=S EF=8.在矩形 CDFE中 DE是对角线，所以SECD=SEDF。2. 如右图，已知 : SBC=1 , AE=ED,BD=2 BC.求阴影部分的面积。解：连结DF o AE=ED ,D精品文档精品文档?SAEF=S DEF ;SABE=S壬 EDA. ABFS ABFD Q'/BD2 S3 ABCFABF2iAEF）二阴影部分面积为亍3. 如右图，正方形 ABCD的边长是 4 厘米， CG=3厘米，矩形DEFG的长

6、DG为 5 厘米，求它的宽DE等于多少厘米？解：连结AG , 自 A 作 AH垂直于 DG于 H，在 AADG中,AD=4，DC=4( AD 上的高 ) .?S AGD=4 X4 吃=8，又 DG=5 ,?S A AGD二 AH XDG吃,?AH=8 疋帖=3.2（厘米）， DE=3.2 （厘米）。4. 如右图，梯形 ABCD的面积是 45 平方米，高 6 米, AED的面积是 5 平方米， BC=10米，求阴影部分面积解： ?梯形面积二 ( 上底+下底 ) X 高吃即 45= (AD+BC)X 6 吃，45= ( AD+10 ) & 吃,?AD=45 X 26-10=5 米。? DE

7、的高是 2 米。 EBC的高等于梯形的高减去厶 ADE的高，即 6-2=4 米,精品文档精品文档5. 如右图，四边形 ABCD和 DEFG都是平行四边形，证明它们的面积相等 .证明：连结 CE，CD什气。的面积等于 ACDE面积的 2倍,. 占 DEFG的面积曰CDE面积的 2而 X倍。?FM ABCD 的面积与 7DEFG的面积相等。（一）不规则图形面积计算（2）不规则图形的另外一种情况，就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而成的，这是一类更为复杂的不规则图形，为了计算它的面积，常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规则图形的和、差关系，

8、同时还常要和容斥原理”即：集合 A 与集合 B 之间有： SALB = SA+ S b-SA CB）合并使用才能解决。一、例题与方法指导例 1 . 如右图，在一个正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆 ?求阴影部分的面积。精品文档精品文档解法 1: 把上图靠下边的半圆换成（面积与它相等）右边的半圆，得到右图 ?这时，右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样，因此它们的面积相等?所以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的一半。解法 2 : 将上半个“弧边三角形”从中间切开，分别补贴在下半圆的上侧边上，如右图所示 ?阴影部分的面积是正方形面积的一半。解法 3: 将下面的半圆从中间切开，

9、分别贴补在上面弧边三角形的两侧，如右图所示 ?阴影部分的面积是正方形的一半.例 2. 如右图，正方形 ABCD的边长为 4 厘米，分别以 B、D 为圆心以 4 厘米为半径在正方形内画圆，求阴影部分面积解：由容斥原理S 阴影 =S 扇形 ACB + S 扇形 ACD -S 正方形ABCD中， AB = 6右图，矩形精品文档= : 一 nH'J A= 13-24=15平方厘氷）（取 ; i=3 ） 。精品文档4 厘米，扇形 ABE半径 AE = 6 厘米，扇形 CBF的半 CB=4厘米 ,求阴影部分的面积。例 4. 如右图，直角三角形ABC中， AB是圆的直径，且AB =20 厘米，如果阴

10、影（ I）的面积比阴影（ H）的面积大 7 平方厘米，求 BC长。分析 已知阴影（ I）比阴影（ H）的面积大 7 平方厘米，就是半圆面积比三角形 ABC面积大 7 平方厘米；又知半圆直径AB = 20| 厘米，可以求出圆面积） . 半圆面积减去 7 平方厘米，2就可求出三角形ABC的面积，进而求出三角形的底BC的长 .二 15 （厘米） o精品文档精品文档二、巩固训练1. 如右图，两个正方形边长分别是 10 厘米和 6 厘米，求阴影部分的面积。分析 阴影部分的面积，等于底为16、高为 6 的直角三角形面积与图中（ I ）的面积之差。而（ I ）的面积等于边长为6 的正方形的面积减去-以 6为

11、半径的圆的面积。4解隹邑三应二一 三芒岂三二壬一 5毛十芒 ：）&=|x 10+6 ) X6-( 6X6?1X 7T X64=48-9 （取尸 3）二 39 （平方厘氷） o2. 如右图，将直径 AB为 3 的半圆绕 A 逆时针旋转 60 °，此时AB到达 AC的位置，求阴影部分的面积（取n =3）.解：整个阴影部分被线段CD分为 I 和 H 两部分，以 AB为直径 的半圆被弦 AD分成两部分，设其中AD右侧的部分面积为r匾心育崩形AE 匚面积S, 由于弓形 AD是两个半圆的公共部分，去掉AD弓形后，两个半圆的剩余部分面积相 4 即 I=S ，由于：精品文档精品文档3. 如右

12、图， ABCD是正方形，且 FA=AD=DE=1, 求阴影部分的面积 .解：阴影叮的面积 +阴影 N 的面积 =ABCD 的面积 =右,阴影關面积 =（正方形面积 - 异圆面积） xl11I _ I 二一X24扣扌 （取兀=3 ） o二阴影部分的总面积-|4 = 1O O4. 如下页右上图， ABC是等腰直角三角形， D是半 圆周上的中点， BC是半圆的直径，且 AB=BC=10，求 阴影部分面积（ n 取 3.14 ）。解： T 三角形 ABC是等腰直角三角形，以AC为对角线再作一个全等 的等腰直角三角形ACE，则 SABCE为正方形（利用对称性质）。= （10X10+71X5 -2 X10

13、X15）-2 =(100+39.25-75) -2精品文档精品文档总结：对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决.常用的基本方法有：相加法 :这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形 , 计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积 . 例如，右图中，要 求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了相减法 :这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规精品文档精品文档则图形的面积之差 ?例如，右图，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可.三、直

14、接求法：这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积 ?如下页右上图，欲求阴影部分的面积，通过分析发现它就是一个底是2，高为 4 的三角形，面积可直接求出来四、重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可. 例如，欲求右图中阴影部分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4 个角处，这时采用相减法就可求出其面积了.五、辅助线法 :这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相 减法解决即可 ?如右图，求两个正方形中阴影部分的面积 ?此题虽然可 以

15、用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便精品文档精品文档六、割补法 :这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决?例如，如右图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半 .七、平移法 :这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积. 例如，如右图，欲求阴影部分面积，可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形。八、旋转法 :这种方法是将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某

16、轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧,从而组合成一个新的基本规则的图形，便于求出面积 ?例如，欲求图（ 1）中阴影部分的面积 , 可将左半图形绕 B 点逆时针方向旋转 180 °，使 A 与 C 重合，从而构成如右图（ 2）的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积.九、对称添补法 :精品文档精品文档这种方法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形 ?原来图形面积就是这个新图形面积的一半. 例如，欲求右图中阴影部分的面积，沿 AB在原图下方作关于AB为对称轴的对称扇形ABD.弓形 CBD的面积的一半就是所求阴影部分的面积十、重叠法：这种方法是将所

17、求的图形看成是两个或两个以上图形的重叠部分，然后运用“容斥原理”SA LB = SA + SB-SA PB）解决。例如，欲求右图中阴影部分的面积，可先求两个扇形面积的和，减去正方形面积，因为阴影部分的面积恰好是两个扇形重叠的部分.精品文档精品文档2010 年五年级奥数题：图形与面积（B ）一、填空题（共10 小题，每小题 3 分，满分 30 分）1. _（ 3 分）如图是由16 个同样大小的正方形组成的，如400 平方厘米 ,果这个图形的面积是那么它的周长是厘米 .2.（ 3 分）第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7 月 21 日开幕，下面的图形中，每3.（ 3 分）如图中每一小方格的面积

18、都是1 平方厘米，那么用粗线围成的图形面积是_平方厘米 ./ J 734.（ 3 分）（2014? 长沙模拟）如图的两个正方形，边长分别为分的面积8 厘米和 4 厘米，那么阴影部是平方厘米 .5.（ 3 分）在ABC 中， BD=2DC , AE=BE ，已知ABC 的面积是 18 平方厘米，则四边形AEDC 的面积等于 _ 平方厘米 .精品文档精品文档4 厘米的正方形，AE=5 厘米、 0B 是厘米 .7. （ 3 分） 如图正方形 ABCD 的边长是 4 厘米， CG 是 3 厘米，长方形 DEFG 的长 DG 是 5 厘米，那么它的宽 DE 是 _厘米 .& （ 3 分）如图，一

19、个矩形被分成10 个小矩形，其中有6 个小矩形的面积如图所示，那么这个大矩形的面积是_ .2520303616129. （3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 12 , P 是边 AB 上的任意一点， M、 N、 I、 H 分别 是边 BC 、AD 上的三等分点， E 、 F、G 是边 CD 上的四等分点，图中阴影部分的面积是10. （ 3 分）图中的长方形的长和宽分别是6 厘米和 4 厘米，阴影部分的总面积是10 平方厘米，四边形 ABCD 的面积是 _ 平方厘米 .J tV- 76- ?、解答题（共4 小题，满分 0 分）精品文档精品文档11. 图中正六边形ABCDEF 的面积是 54

20、 . AP=2PF , CQ=2BQ ，求阴影四边形CEPQ 的面积 .12 ?如图，涂阴影部分的小正六角星形面积是16 平方厘米 ?问：大正六角星形面积是多少平方厘米 .13 . 一个周长是 56 厘米的大长方形，按图中（1）与（ 2）所示意那样，戈U 分为四个小长方 形. 在（ 1）中小长方形面积的比是：A:B=12 B:C=1:2. 而在（2）中相应的比例是: ,A': B'=1 : 3, B' :C'=1 :3 . 又知，长方形D'的宽减去 D 的宽所得到的差，与D'的长减去在 D 的长所得到的差之比为1: 3?求大长方形的面积 .C-C

21、1)E'(2)14 . （ 2012? 武汉模拟）如图，已知 CD=5 ,DE=7 ,EF=15, FG=6 ，直线 AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38 , 右边部分面积是 65 , 那么三角形 ADG的面积是 _精品文档精品文档2010 年五年级奥数题：图形与面积（B ）参考答案与试题解析一、填空题（共10 小题，每小题3 分，满分 30 分）1.（ 3 分）如图是由16 个同样大小的正方形组成的，如果这个图形的面积是400 平方厘米 ,那么它的周长是170 厘米 .考点：巧算周长 .分析：要求该图形的周长，先求出每个小正方形的面积，根据正方形的面积公式，得出小正方形的边长，

22、然后先算出该图形的外周的长，因为内、外的长相等，再乘2 即可得出结论 .解答：解： 400 勻 6=25 （平方厘米），因为 5 >5=25 （平方厘米），所以每个小正方形的边长为5 厘米 ,周长为：（ 5>4+5 >4+5 X3+5>2+5 >3+5 ） X2 ,=85 X2,=170 （厘米）；答：它的周长是170 厘米 .点评：此类题解答的关键是先求出每个小正方形的面积，根据正方形的面积公式，得出小正方形的边长，进而算出该图形的外周的长，因为内、外的长相等，再乘2 即可得出结论.2.（ 3 分）第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7 月 21 日开幕，下面

23、的图形中，每一小方格的面积是1. 那么 7, 2,1 三个数字所占的面积之和是25 ./j / /考点：/组/合图形的面积 .分析：此题需要进行图形分解：7”分成一个长方形、一个等腰直角三角形、一个平行四边形； 2 ”分成一个梯形、一个平行四边形、一个长方形；T 分成一个梯形和两个长方形?然后进行图形转换，依据题目条件即可求出结果.解答：解：所占的面积和3+4 =' '，2”所占的面积和 =3+4+3=10,1 ”所占的面积和 7=' '那么 7， 2， 1 三个数字所占的面积之和=_+_+10=25.2 2精品文档精品文档故答案为： 25 .此题关键是进行图形

24、分解和转换.3.（3 分）如图中每一小方格的面积都是1 平方厘米，那么用粗线围成的图形面积是6.5平方厘米 .考点：组合图形的面积.分析：由图可以观察出：大正方形的面积减粗线以外的图形面积即为粗线围成的图形面积.解答：解：大正方形的面积为 4 >4=16 （平方厘米）；粗线以外的图形面积为：整格有3 个，左上 ，右上 2,右中 2,右下 2,左中 2,右2 2 2 2 2 中 2,共有 3+5 >=9.5 （平方厘米） ;2 2 2所以粗线围成的图形面积为16 - 9.5=6.5 （平方厘米） ;答：粗线围成的图形面积是6.5 平方厘米 .故此题答案为： 6.5 .点评：此题关键是

25、对图形进行合理地割补.4.（ 3 分）（2014? 长沙模拟）如图的两个正方形，边长分别为8 厘米和 4 厘米，那么阴影部分的面积是24 平方厘米 .考点：组合图形的面积 .分析：两个正方形的面积减去两个空白三角形的面积. 解答:解： 4>4+8 >8- >>（4+8）-,2 2=16+64 - 24 -32 ,2 、=24 （ cm ）；答：阴影的面积是24cm 2.故答案为： 24 .精品文档精品文档点评：求组合图形面积的化为求常用图形面积的和与差求解.5. （ 3 分）在 ABC 中， BD=2DC ， AE=BE ，已知 ABC 的面积是 18 平方厘米，则四边

26、形AEDC 的面积等于12 平方厘米 .考点：相似三角形的性质（份数、比例）；三角形的周长和面积.分析：根据题意，连接AD ，即可知道 ABD 和厶 ADC 的关系， ADE 和厶 BDE 的关系 , 由此即可求出四边形 AEDC 的面积 .解答：解：连接AD ，因为 BD=2DC , 所以， SA ABD=2S ADC , 即， SA ABD=18 是 =12 （平方厘米），3又因为， AE=BE ,所以， SA ADE=S BDE ,即， SA BDE=12幺=6 （平方厘米），2所以 AEDC 的面积是： 18 - 6=12 （平方厘米） ;故答案为： 12 .点评：解答此题的关键是，根

27、据题意，添加辅助线，帮助我们找到三角形之间的关系，由此即可解答 .4 厘米的正方形，AE=5 厘米、 0B 是 3.2 厘米 .考点：组合图形的面积.分析：连接 BE 、 AF 可以看出，三角形ABE 的面积是正方形面积的一半，再依据三角形面积公式就可以求出0B的长度 .解答：解：如图连接BE、AF，则 BE 与 AF 相交于 D 点SA ADE=S BDF则0B=8 X2 弋 =3.2 （厘米） ;答：0B 是 3.2 厘米.精品文档精品文档故答案为： 3.2 .点评：此题主要考查三角形和正方形的面积公式，将数据代入公式即可.7.（3 分） 如图正方形ABCD 的边长是 4 厘米， CG 是

28、 3 厘米，长方形DEFG 的长 DG 是 5 厘米，那么它的宽DE 是 3.2 厘米.考点：组合图形的面积.分析：连接 AG , 则可以依据题目条件求出三角形AGD 的面积，因为DG 已知，进而可以求三角形 AGD 的高，也就是长方形的宽，问题得解.解答：解：如图连接AGSAAGD =S 正方形 ABCD 5 CDG SABG ，=4>4 - 3>4 吃-1>4 吃=16- 6- 2=8 （平方厘米）；8 疋弋 =3.2 （厘米） ;答：长方形的宽是3.2 厘米 .故答案为： 3.2 .点评：依据题目条件做出合适的辅助线，问题得解.& （ 3 分）如图，一个矩形被分

29、成10 个小矩形，其中有6 个小矩形的面积如图所示，那么这个大矩形的面积是243 .根据矩形的面积公式知，如果长相同，面积之比也就是宽之比，反之宽之比也就是面积之比；由中间面积20 和 16 的矩形，可以算出空着的小矩形面积，最后把所有小矩形面积加起来就是大矩形的面积.解答：解：由图和题意知，A 252030D3GB16C12.精品文档精品文档中间上、下小矩形的面积比是：20: 16=5 : 4,所以宽之比是5: 4,那么，A: 36=5: 4 得 A=45 ;25:B=5 : 4 得 B=20 ;30: C=5: 4得C=24;D: 12=5 : 4 得 D=15 ;所以大矩形的面积 =45

30、+36+25+20+20+16+30+24+15+12=243;故答案为： 243 .点评：此题考查了如果长方形的长相同，宽之比等于面积之比，还考查了比例的有关知识.9. （ 3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 12 , P 是边 AB 上的任意一点， M 、N、 I、 H 分别 是边 BC 、 AD 上的三等分点， E、 F、G 是边 CD 上的四等分点，图中阴影部分的面积是60 .考点：组合图形的面积.分析：根据题意：正方形ABCD 的边长为 12 , P 是边 AB 上的任意一点， M、N、I、H 分别 是边 BC、AD 上的三等分点， E、F、 G 是边 CD 上的四等分点，可连

31、接DP ，然后再精品文档精品文档利用三角形的面积公式进行计算即可得到答案.解答：解：阴影部分的面积=XDH >AP+ XDG MD+ ' >EF >AD+一 >MN BP2222=丄>4AP+ 2 >32+ 2 X3X12+丄>4XBP>>2222=2AP+18+18+2BP=36+2 X (AP+BP )=36+2 >2=36+24=60 .答：这个图形阴影部分的面积是60.点评：此题主要考查的是三角形的面积公式.10. ( 3 分 ) 图中的长方形的长和宽分别是6 厘米和 4 厘米，阴影部分的总面积是10 平方厘米，四边形 ABCD 的面积是 4 平方厘米 .: 重叠问题 ;三角形的周长和面积.因为 S A EFC+S GHC= 四边形 EFGH 面积 吃 =12 , SA AEF+S AGH= 四边形 EFGH面积吃 =12 ,所以 SA ABE+S ADH=S BFC+S DGC= 四边形 EFGH 面积 吃 - 阴影部分的总面积