03第三讲一元二次方程根与系数的关系

1、第三讲一元二次方程根与系数的关系现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述.元二次方程的根的判断式元二次方程ax2 bx c = 0 ( a = 0)，用配方法将其变形为:2(1)当b -4ac 0时，右端是正数因此，方程有两个不相等的实数根:2a当b2-4ac=0时，右端是零因此，方程有两个相等的实数根：x,2= 2a当b2-4ac : 0时，右端是负数因此，方程没有实数根.由于可以用b2-4ac的取值情况来判定一元

2、二次方程的根的情况.因此，把b2-4ac叫_ 22做一元二次方程ax bx 0 (a = 0)的根的判别式，表示为：厶=b -4ac【例 1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：2 2 2(1)2x 3x 1二0(2)4y 9二12y(3)5(x 3) - 6x二02解: (1)(-3) -4 2 1=10,A原方程有两个不相等的实数根.2(2)原方程可化为：4y -12y 9 = 0；A =( 1 2) 4汇4況9.0原方程有两个相等的实数根.(3)原方程可化为：5x2- 6x 15 = 0V= ( -62) - 4 5 1 5= -2 6牛:二0原方程没有实数根.说明：在求判断式时，务必

3、先把方程变形为一元二次方程的一般形式.【例 2】已知关于x的一元二次方程3x2-2x k =0，根据下列条件，分别求出k的(x”b4ac2a4a2解：由题意，根据根与系数的关系得：论 x2二-2,x1x -2007范围:解：厶=(_2)2-4 3 k = 4 -12k11(1)4 -12k0=k：(2)4 -12k =0= k =33(3) 14 -12k _ 0二k _ 1(4)4 12k：0=k：33【例 3】2 2已知实数X、y满足Xyxy 2x - y T二0,试求x、y的值解：可以把所给方程看作为关于x的方程，整理得：2 2x -(y -2)x y - y 1 =0由于x是实数，所以

4、上述方程有实数根，因此：: =一(y一2)2-4(y2-y 1) = 3y2_0= y = 0，代入原方程得：x2 2x 1 = 0= x二_1.综上知：x = -1,y =0一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程ax2 bx c = 0 ( a = 0)的两个根为:-b . b24acb - b24acx二-,x二-2a2a所以：xX2厂盂 4 厂兀卫2a2aa-b+pb2_4ac -b _ Jb2_4ac (_b)2_ (Jb2_4ac)24ac cX1X222 =一2a2a(2 a)24a2a2定理：如果一元二次方程ax bx 0 (a = 0)的两个根为，那么：bc% X2- - ,

5、x1x2:aa说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”.上述定理成立的前提是也 0.【例4】若X1,X2是方程x22x -2007=0的两个根，试求下列各式的值：2 211(1)方程有两个不相等的实数根;(3)方程有实数根；(2)方程有两个相等的实数根(4)方程无实数根.(1)X1X2；(2);(3)(X1-5)(X2-5);(4)|X1-X2|.X-Ix2分析：本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算.这里，可以利用韦达定理来解答.解：由题意，根据根与系数的关系得：论 x2二-2,x1x -20072 2 2

6、2x-ix2(x-ix2) -2x2= (2) -2(-2007) = 4018丄丄二.丄_合2x-ix2x-ix22007 2007(3)(Xr5)(x25) = x)x25(Xrx2) 25二-20075(2) 25二-1972| xrx2|= _ (xrx2)2=(xrx2)2-4x2二(2)2- 4(-2007) = 2、,2008说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：|x-屜|=(X-X2)24X-X2，X1X22X2X2=为乂2(刘X2)，333X-X2(x-X2) -3捲乂2(人X2)等等.韦达定理体现了整体思想.-【例 5】已知关于X的方程X2-(k “Xk2仁

7、0,根据下列条件，分别求出k的4值.(方程两实根的积为 5 ；(2)方程的两实根X-, X2满足I X- |=X2.分析：(由韦达定理即可求之；(2)有两种可能，一是x-= x2 0,二是= x2, 所以要分类讨论.解：(T方程两实根的积为 5( 2-2-(k D2-4(-k2d034二k_：kh4I -宀2x-x2k - = 54所以，当k=4时，方程两实根的积为 5.(2)由|冷|=得知：1当x- 0时，x-= X2，所以方程有两相等实数根，故 厶=0=k=色；22当x : 0时，禺=X2 = % x2二0= k- =0二k =T，由于丄0 =k -3,故k -不合题意，舍去.23综上可得

8、，k时，方程的两实根x-, X2满足| x-F X2.2说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实2 2 2x)x2(xrx2)-2xix2，丄丄=2Xixx-X222(X-x2)(X-x2)4x-x2，根的条件，即所求的字母应满足丄一0.2【例 6】已知X1,X2是一元二次方程4kx -4kx k 0的两个实数根.若不存在，请您说明理由.2元二次方程4kx -4kx k0的两个实数根4k =0(_4k)2一4 4k(k 1) =-16k _0一k2又X1, X2是一元二次方程4kx -4kx k T = 0的两个实数根X1x2= 1k +1-2X22(X!2

9、X22 5XX2= 2(X-IX2)9X-|X2k 94k不存在实数k,使（2为-X2）（x, -2X2）成立.2 2 2X1X2X1X2(X1X2), 4k ,4(2)-2244二X2X1人左X1X2k+1k+1要使其值是整数，只需k 1能被 4 整除，故kT=1,_2, _4，注意到k . 0,要使- 2的值为整数的实数k的整数值为-2, -3, -5.X2Xi说明：（1）存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明 存在，（1）是否存在实数k，使（2%-冷） （为-2X2-|成立？若存在，求出k的值;求使竺竺-2的值为整数的实数x2x1k的整数值.解：假设存在实数k

10、，使（2%-冷）（为_2X2）成立.2 (2人-X2)(X!NX2否则即不存在.4（2）本题综合性较强，要学会对为整数的分析方法.21一元二次方程（1-k）x -2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A k 2Bk : 2,且k -1c.k ：. 2D.k 2,且k121 12若X1, X2是方程2x-6x0的两个根，则的值为（）X1X219A.2B.-2C. D .-223.已知菱形 ABCD 的边长为 5,两条对角线交于 0 点，且 0A、OB 的长分别是关于x的方程x2（2 m -1）x m2*3=0的根，贝U m等于（）A .-3B .5C .5或-3D .-5或32

11、24.若t是一元二次方程ax2bx 7=0 （a = 0）的根，则判别式&-b- 4ac和完全平方2式M =（2at b）的关系是（）A .MB . ：MC . = : MD .大小关系不能确定5.若实数a= b，且a,b满足a2-8a 0,b2-8b 5 =0，则代数式 匸1-生二的a1 b1值为（）A .-20B 2C .2或-20D .2或2026 如果方程（bc）x +（c a）x+（ab） =0的两根相等，则a,b,c之间的关系是 _27已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程2x -8x 7=0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _ 2&若方程2x （k+1）x

12、+k+3 = 0的两根之差为 1，贝U k的值是 _ 2 29设禺必是方程x px 0的两实根，x11,x21是关于x的方程x qx 0的两实根，则 p =_ , q =_ 210 已知实数a,b, c满足a=6b,c =ab9，贝Ua=_,b =_,c=_.211 对于二次三项式x -10 x 36，小明得出如下结论：无论x取什么实数，其值都不可能等于 10 您是否同意他的看法？请您说明理由1|*m12.若n .0，关于x的方程x2-(m-2n)xmn =0有两个相等的的正实数根， 求一的4n值.213.已知关于x的一元二次方程x - (4m - 1)x - 2m -1 =0.(1) 求证：

13、不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；111(2) 若方程的两根为,X2，且满足，求m的值.x1x2221214.已知关于x的方程x -(k 1)x-k *1=0的两根是一个矩形两边的长.4(1)k取何值时，方程存在两个正实数根？(2) 当矩形的对角线长是、5时，求k的值.B 组21已知关于x的方程(k-1)x (2k-3)x k 1 =0有两个不相等的实数根X1,X2.(1) 求k的取值范围；(2) 是否存在实数k,使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存 在，请您说明理由.2.已知关于x的方程x2 3x - m二0的两个实数根的平方和等于11.求证：关于x的方程2 2(k -3)xkmx - m 6m-4=0有实数根.2 23.若,X2是关于x的方程x -(2k 1)x k 7=0的两个实数根，且,X2都大于 1. 为1(1)求实数k的取值范围；(2)若1，求k的值.X22第三讲 一元二次方程根与系数的关系习题答案A 组1. B