最新必修二立体几何典型例题

1、精品文档必修二立体几何典型例题【知识要点】1 ?空间直线和平面的位置关系：(1) 空间两条直线： 有公共点：相交，记作：a n b = A, 其中特殊位置关系：两直线垂直相交. 无公共点：平行或异面.平行，记作： a/ b ? 异面中特殊位置关系：异面垂直.(2) 空间直线与平面： 有公共点：直线在平面内或直线与平面相交.直线在平面内，记作：a 二： -.直线与平面相交，记作：a n : = A, 其中特殊位置关系：直线与平面垂直相交. 无公共点：直线与平面平行，记作：a /: .(3) 空间两个平面： 有公共点：相交，记作：: n = I，其中特殊位置关系：两平面垂直相交. 无公共点：平行，

2、记作：:-/.2. 空间作为推理依据的公理和定理：(1) 四个公理与等角定理：公理 1 : 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内.公理 2: 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理 3 : 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理 4: 平行于同一条直线的两条直线互相平行.定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.(2) 空间中线面平行、垂直的性质与判定定理： 判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行

3、，那么这两个平面平行.如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行 .如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行. 垂直于同一个平面的两条直线平行.如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.(3) 我们把上述判定定理与性质定理进行整理，得到下面的位置关系图:直线 "/ 平面平面 / 平面直线丄直线直线丄平向平面丄平面【例题分析】精品文档精品文档例 2 在四棱锥

4、P ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形， M , N 分别是 AB, PC 的中 点，求证： MN / 平面 PAD .D【分析】要证明“线面平行”，可通过“线线平行”或“面面平行”进行转化；题目中出现了中点的条件，因此可考虑构造( 添加 ) 中位线辅助证明 .证明：方法一，取PD 中点 E, 连接 AE,NE.?底面 ABCD 是平行四边形， M ,N 分别是 AB,PC 的中点，1? MA /CD ,MA CD.2TE是PD的中点，1?NE/CD,NECD.2? MA / NE，且 MA = NE ,? AENM 是平行四边形，? MN/ AE.又 AE 平面 PAD , MN 二

5、平面 PAD , ? MN/平面 PAD.方法二取 CD 中点 F，连接 MF ,NF .?/ MF /AD,NF /PD,?平面 MNF / 平面 PAD ,?MN/平面FAD.【评述】关于直线和平面平行的问题，可归纳如下方法:(1) 证明线线平行：a / c, b / c,a / a, a=3a/ 3a 丄 a, b 丄 aaCl 3= b? Ca= a, C 3=b=> a / b二 a /b二 a / b=> a / b(2) 证明线面平行 :a C a= 0a / ba/ 3a, a aa= 3=a / a二 a / a二 a / a(3) 证明面面平行 :aC3= 0a

6、 / 3b / 3a 丄 a, a 丄 3a/ 才,3/ 'a , b 匚a, a Ab= An a/3二a/ 3n a/ 3二 a/ 3精品文档精品文档于经过 BC 1 的平面即可 .证明：连接 AC i .? ABC AiBiCi 是直三棱柱，? AA1±平面 ABC ,? AB丄 AA1.又AB丄AC,? AB 丄平面 AiACC i, ?- AiC 丄 AB . 又 AAi = AC ,?侧面 AiACC i 是正方形，?- AiC 丄 AC i. 由，得AiC 丄平面 ABC i ,?- AiC 丄 BC i.【评述】空间中直线和平面垂直关系的论证往往是以"

7、; 线面垂直”为核心展开的 . 如本题已知条件中出现的“直三棱柱”及“AB 丄 AC ”都要将其向“线面垂直”进行转化.例 4 在三棱锥 P ABC 中，平面 PAB 丄平面 ABC , AB 丄 BC, AP I PB, 求证：平面 PAC 丄平面 PBC .【分析】要证明“面面垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，而“线面垂直”又可 以通过“线线垂直”进行转化.证明：?平面 PAB 丄平面ABC ，平面 FAB 门平面ABC = AB, 且 AB 丄 BC,? BC 丄平面 PAB ,? APIBC.又 API PB,精品文档精品文档? APX 平面 PBC , 又 AP 二平面 PAC ,

8、?平面 PAC 丄平面 PBC .【评述】关于直线和平面垂直的问题，可归纳如下方法:(1) 证明线线垂直：a 丄 c,b /c,a 丄bUaa二 a 丄 bn a 丄 b(1) 证明线面垂直 :a 丄 m,a 丄 na /b,b 丄 aa / B, a 丄 Ba 丄 B, aQ B= lm, n 二 a, m Qn = AaU B , a 丄 l=> a 丄 a=a 丄 a=> a 丄 an a 丄 a(1) 证明面面垂直 :a 丄 B, aU an a 丄 B例 5 如图，在斜三棱柱ABC A1B1C1 中，侧面 AIABB I 是菱形，且垂直于底面ABC ,(I )求证：直线

9、EF / 平面 A1 ACC 1；(H )在线段 AB 上确定一点G, 使平面 EFG 丄平面 ABC ，并给出证明 .证明： ( I )连接 A1C,A1E.T 侧面 A1ABB 1 是菱形，E 是 AB1 的中点，? E 也是 A1B 的中点，又 F 是 BC 的中点， ? EF /A1C.TA1C 平面 A1 ACC 1 , EF 二平面A1ACC 1,?直线 EF / 平面 A1 ACC 1.BG 1解：当时，平面 EFG 丄平面 ABC ，证明如下：GA 3连接EG,FG.?侧面 A1ABB 1 是菱形，且 /A1AB = 60°,. ? . A A1AB 是等边三角形 .

10、BG 1? E是 A1B 的中点，? EG 丄 AB .GA 3T 平面 A1ABB 1 丄平面 ABC ，且平面A1ABB 1Q 平面 ABC = AB,?EG 丄平面 ABC .又 EG 二平面 EFG ，?平面EFG 丄平面 ABC .精品文档精品文档例 6 如图，正三棱柱ABC A1B1 C1 中， E 是 AC 的中点 .精品文档精品文档(I )求证：平面 BEC丄平面 ACCA； (n )求证： AB / 平面 BEC i11i【分析】本题给出的三棱柱不是直立形式的直观图，这种情况下对空间想象能力提出了更高的要求，可以根据几何体自身的性质，适当添加辅助线帮助思考.证明： ( I )

11、T ABC A1B1C1是正三棱柱， ? AA 1±平面 ABC ,丄AA1.? BE?/ ABC 是正三角形， E 是 AC 的中点， ? BE 丄 AC , .BE 丄平面ACC iAi ,又 BE 平 面BEC 1,?平面 BEC 平面ACC 1A1.(n )证明：连接BiC，设BC iH BiC = D .? BCC1 B1 是矩形， D 是 BiC 的中点，? DE /AB i.又 DE 平面BEC i,AB i 二平面BEC i,? AB i /平面 BEC i .例 7 在四棱锥P ABCD 中，平面FAD 丄平面ABCD ,AB /DC , PAD 是等边三角形，已知BD = 2AD = 8,AB=2DC=4.5.(I )设 M 是 PC 上的一点，证明：平面MBD 丄平面 FAD ;(n )求四棱锥 P ABCD 的体积 .【分析】本题中的数量关系较多，可考虑从“算”的角度入手分析，如从M是PC上的动点分析知， MB ,MD 随点 M 的变动而运动，因此可考虑平面MBD 内“不