2019年高考数学二轮复习专题突破练165.3.2空间中的垂直与空间角理

1、专题突破练 16 空间中的垂直与空间角1.(2018 湖南衡阳二模,理 18)如图，EA!平面ABCDBL平面ABCABC是等边三角形，AC=2AE M是AB的中点.(1)证明：CML DM若直线DM与平面ABC所成角的余弦值为，求二面角B-CD-E的正弦值.2.(2018 北京卷,理 16)如图,在三棱柱ABC-ABC中，CC丄平面ABCD E,F,G分别为AA,AC AC,BB的中点，AB=BC,=AC=AA2.(1)求证：ACL平面BEF求二面角B-CD-G的余弦值；2证明：直线FG与平面BCDlf交.33.(2018 湖南衡阳八中一模，理 19)在如图所示的五面体中，四边形ABCD为直

2、角梯形，/BAD/ADC=平面ADEL平面ABCDEF=2DC4AB=4, ADE是边长为 2 的正三角形.(1)证明：BEL平面ACF求二面角A-BC-F的余弦值.4.（2018 宁夏银川一中一模,理 19）如图,在四棱锥P-ABCD中 ,PA!面ABCDAD/ BC/BAD=0,AC丄BDBC=,AD=PA=,E F分别为PE,AD的中点.4B C(1)证明：AdEF(2)求直线EF与平面PCD所成角的正弦值5.(2018 河北唐山三模，理 19)如图，？ABC中,BC=2AB=4, /ABC=O,PAAD E F分别为BC PE的 中点，AF丄平面PED.(1) 求证：PAL平面ABCD

3、5(2) 求直线BF与平面AFD所成角的正弦值66.如图，BCD是等边三角形，AB=AD/ BAD=0 ,将厶BCD沿BD折叠到BCD的位置，使得ADLCB.(1)求证:ADLAC;若M N分别是BDCB的中点，求二面角N-AM-B的余弦值.CD77.(2018 山东潍坊一模，理 18)如图，直三棱柱ABC-ABC中，CG=4,AB=2,AC=2, /BAC=5 ,点M是棱AA上不同于AA的动点.(1) 证明：BCL BM(2) 若平面MBC把此棱柱分成体积相等的两部分，求此时二面角参考答案专题突破练 16 空间中的M-BC-A的余弦值.8垂直与空间角1.解 因为ABC是等边三角形，M是AB的

4、中点，所以CML MB. DBL平面ABCCM平面ABC DBL CM./ DBH MB=BCML平面DMB.DIM平面DMBCML DM.(2)解法 1:以点M为坐标原点，MC所在直线为x轴，MB所在直线为y轴,过M且与直线BD平行 的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系M-xyz.因为DBL平面ABC所以/DMB为直线DM与平面ABC所成的角.由题意得 cos /DMB=tan /DMB=2=,即BD=!MB从而BD=AC.不妨设AC=2,又AC2AE则CM=AE=1.故B(0,1,0), q,0,0),D(0,1,2),E(0,-1,1).于是=(,-1,0),=(0,0,2),=(

5、-,-1,1),=(-,1,2),设平面BCD与平面CDE的法向量分别为 m=(X1,y1,Z1), n=(X2,y2,Z2), 由令X1=1,得y1=,m=(1,0)9令X2=1,得y2=-,Z2=二n=cos=0.故二面角B-CD-E的正弦值为 1.解法 2:TDB丄平面ABC：/DMB为直线DM与平面ABC所成的角.由题意得 cos /DMB=.tan /DMB=2=,即BD：2MB从而BD=AC.不妨设AC=2,又AC2AE则CM=AE=,AB=BC=BD=由于EAL平面ABCDB丄平面ABC则EA/ BD取BD的中点N连接EN则EN=AB=.在 RtEND中 ,ED=在 RtEAC中

6、 ,EC=在 RtCBD中,CD=,取CD的中点 P,连接EP BP BE则EPL CDBPL CD所以/EPB为二面角B-CD-E的平面角.在 RtEPC中 ,EP=在 RtCBD中 ,BP=CD=在 RtEAB中 ,EB=TEP+BP=5=EB,二/EPB=0.故二面角B-CD-E的正弦值为 1.2.(1)证明 在三棱柱ABC-ABC中，TCC丄平面ABC.四边形AACC为矩形.又E,F分别为AC AC的中点， AC EF. AB=BC10ACLBEACL平面BEF.解 由(1)知ACL EF, ACL BE EF/ CC.CC丄平面ABCEF丄平面ABC.BE?平面ABCEFLBE.建立

7、如图所示的空间直角坐标系E-xyz.y由题意得B(0,2,0),q-1,0,0),D(1,0,1),H0,0,2),G0,2,1)=(2,0,1),=(1,2,0).设平面BCD的法向量为 n=(a,b,c),则令a=2,则b=-1,c=-4,平面BCD的法向量 n=(2,-1,-4),又平面CDC的法向量为=(0,2,0),cos=-由图可得二面角B-CD-C为钝角，面角B-CD-C的余弦值为-证明 平面BCD的法向量为 n=(2,-1,-4), /G0,2,1),F(0,0,2),11=(0,-2,1),n=-2,n 与不垂直， FG与平面BCD平行且不在平面BCD内 ,.FG与平面BCD

8、相交.3.(1)证明 取AD的中点Q以0为原点，0A为x轴，过0作AB的平行线为y轴，0E为z轴，建立空间 直角坐标系，则B(1,1,0),E(0,0,),A(1,0,0), q-1,2,0),F(0,4,),=(-1,-1,),=(-1,4,),=(-2,2,0),=1-4+3=0,=2-2=0,BE!AF BE!AC.又AFPAC=A.-BE!平面ACF.(2)解=(-2,1,0),=(-1,3,).设平面BCF的法向量 n=(x,y,z),则取x=1,得 n=易知平面ABC的一个法向量 m=(0,0,1).设二面角A-BC-F的平面角为0,则 cos0=-二面角A-BC-F的余弦值为-4

9、.解(1)易知AB ADAP两两垂直.如图，以A为坐标原点，ABADAP所在直线分别为x轴,y轴,z轴 建立空间直角坐标系.12在?ABCD,BC=AB=4, /ABC=0,二AE=2,ED=2,从而有AE+ED=AD二AE1 ED. AFPAE=A EDL平面PAE.设AB=t,则相关各点的坐标为：A(0,0,0)，B(t,O,O),C(t,1,0), Q0,2,0),R0,0,2),2从而=(t,1,0),=(-t,2,0).因为Ad BD所以=-t +2+0=0.解得t=或t=-(舍去).于是=(,1,0).因为=-1+1+0=0,所以，即AC1 EF.由知,=(,1,-2),=(0,2

10、,-2).设 n=(x,y,z)是平面PCD的一个法向量，则令z=,则 n=(1,).设直线EF与平面PCD所成的角为0,则 sin0=|cos|=E F(0,1,0),即直线EF与平面PCD所成角的正弦值为5.解(1)连接AE因为AF丄平面PEDED?平面PED所以AF丄ED13 PA?平面PAE EDL PA. PAI AD AR ED=DPA!平面ABCD.以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系则A(0,0,0),D(0,4,0),B(, -1,0),日,1,0). AF丄平面PEDAFLPE. F 为 PE 的中点，PA=AE=,R0,0,2),F=(0,4,0),设平面AFD的

11、法向量为 n=(x,y,z),由得令z=1,得 n=设直线BF与平面AFD所成的角为0,则 sin0=|cos|=即直线BF与平面AFD所成角的正 弦值为6.解(1)证明:T/BAD=0,ADLAB.CB丄AD且ABH CB=BADL平面CAB. AC?平面CAB,14 ADL AC.BCD是等边三角形，AB=AD/BAD=O,不妨设AB=1,贝U BC=CD=BD=MN分别为BDCB的中点，由此以A为原点，以AB ADAC所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系A-xyz.D0,1,0),C(0,0,1),MN,O,设平面AMN勺法向量为 m=(x,y,z),则即令x=1,则y=z=-1

12、,m=(1,-1,-1).又平面ABM的一个法向量是 n=(0,0,1),cos=-, 二面角N-AM-B的余弦值为7.(1)证明 在厶ABC中 ,由余弦定理得，BC=4+8-2X2X2cos 45 =4,BC=2,则有AB+BC=8=AC,/ABC=0,BCLAB.又BCLBB,BBnAB=BBCL平面ABBA,则有A(0,0,0),B(1,0,0),15又BM?平面ABBA1,16 Bd BiM.解由题设知，平面把此三棱柱分成两个体积相等的几何体为四棱锥C-ABBM和四棱锥Bi-AiMCC由知四棱锥C-ABBM的高为BC2,2X2X4=8,V柱=4,又BC=,=6=2,AM=.此时M为AA中点.以点B为坐标原点，的方向为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标