道格拉斯生产函数PPT精选文档

1、1第第4讲讲 生产者理论生产者理论 目标：获得单个厂商供给曲线 方法：利润最大化 厂商的利润为PQ-wL-rK，服从约束为生产函数Q=f(L,K)（第7章） 令Q=Q0，求取C(Q)（第8章） PQ-C(Q)，求得最优Q（第9章）2生产函数3生产函数生产函数 厂商关于某种商品(q)的 生产函数 表示了资本(k) 和劳动 (l)不同组合所能生产的最大的商品数量q = f(k,l)4边际产品边际产品 为了研究单一投入的变动，我们将在保持其他投入要素不变的情况下，增加一单位某一要素所增加的产出量称为边际产品 kkqMPfk资本的边际产品 llqMPfl劳动的边际产品5边际生产率递减边际生产率递减 一

2、种要素的边际产出取决于投入的要素量 一般而言，我们假设边际生产率递减01122ffkfkMPkkk02222fffMPlllll6边际生产率递减边际生产率递减 由于边际生产率递减，19世纪经济学家托马斯.马尔萨斯担心人口增长会对劳动生产率产生不良影响。 但是一段时间内，劳动的边际产出还取决于其他要素（例如资本）投入的变动。 我们必须考虑 flk，其始终大于 07平均产出平均产出 我们经常使用平均产出衡量劳动生产率( , )lqf k lAPll产出劳动投入 注意 APl 还取决于所用的资本量8两种投入生产函数两种投入生产函数 假设厂商的生产函数可被表示为q = f(k,l) = 600k 2l

3、2 - k 3l3 为得到 MPl和APl, 我们必须先设定k的值 令 k = 10 产出函数就变为q = 60,000l2 - 1000l39两种投入生产函数两种投入生产函数 边际产出函数为 MPl = q/l = 120,000l - 3000l2 随 l 增加递减 这就意味着 q 有最大值:120,000l - 3000l2 = 040l = l2l = 40 即劳动投入超过 l = 40时，产出将减少10两种投入生产函数两种投入生产函数 为得到平均产出, 我们假设k=10并进行求解APl = q/l = 60,000l - 1000l2 APl 达到最大值当APl/l = 60,000

4、 - 2000l = 0l = 3011两种投入生产函数两种投入生产函数 事实上, 当l = 30时,无论APl还是 MPl 均等于 900,000 所以, 当 APl 为最大值时, APl与MPl相等12等产量曲线图等产量曲线图 为更好地表示一种投入对另一种可能的替代关系，我们引入等产量曲线图 一条产量线表示生产给定产量产出 (q0)所需k和l 的不同组合f(k,l) = q013等产量曲线图等产量曲线图l 每期k 每期 每条等产量线代表一个产出水平 越往右上方平移，产出越高q = 30q = 2014边际技术替代率边际技术替代率(RTS)l 每期k 每期q = 20- 斜率 = 边际技术替

5、代率 (RTS) 等产量线的斜率表示l 可以在多大程度上替代klAkAkBlBABRTS 0 随着劳动投入的增多递减15边际技术替代率边际技术替代率(RTS) 边际技术替代率表示在保持产出不变的情况下，即在同一条等产量线上，劳动可以在多大程度上替代资本。0 ( )q qdkRTS lkdl替代16边际技术替代率和边际产出边际技术替代率和边际产出 对生产函数进行全微分:dkMPdMPdkkfdfdqkllll 在同一条等产量线上 dq = 0, 所以dkMPdMPk ll0 ( )lq qkMPdkRTS lkdlMP替代17边际技术替代率和边际产出边际技术替代率和边际产出 由于 MPl 和MP

6、k 均非负, RTS 也为正 (或0) 但是，单单假设边际产出递减往往并不能推导出边际技术替代率递减。18边际技术替代率和边际产出边际技术替代率和边际产出 为了证明等产量线为凸, 我们希望得到 d(RTS)/dl 0, 所以分母为正 由于 fll 和 fkk 均被假设为负, 如果fkl 为正的话，那么分子为负20边际技术替代率和边际产出边际技术替代率和边际产出 直觉上,fkl 和flk 应该相等且为正 如果工人们有更多的资本，他们就能有更多的产出 但是有些生产函数中，超出一定投入界限后，fkl 0 当我们假设边际技术替代率递减时，我们便认为MPl 和 MPk 递减足够快以抵补任何可能的负的交叉

7、生产率效应。21递减的边际技术替代率递减的边际技术替代率 假设生产函数为q = f(k,l) = 600k 2l 2 - k 3l 3 对于这种生产函数而言MPl = fl = 1200k 2l - 3k 3l 2MPk = fk = 1200kl 2 - 3k 2l 3当kl 400时， k 和 l 的边际生产率将为正22递减的边际技术替代率递减的边际技术替代率 因为fll = 1200k 2 - 6k 3lfkk = 1200l 2 - 6kl 3 这一生产函数就意味着k 和 l 足够大时，边际生产率递减 fll 和 fkk 20023递减的边际技术替代率递减的边际技术替代率 对任一生产函

8、数求二阶交叉导数得fkl = flk = 2400kl - 9k 2l 2 仅当 kl 1), 则28规模报酬规模报酬 对同一生产函数，可出现在一定投入水平规模报酬不变，而在其他水平上递增或递减 经济学家提及规模报酬时隐含一个认知：将投入变动限制在一个微小范围内，来考虑产出的变动29规模报酬不变规模报酬不变 规模报酬不变的生产函数对于投入是一阶齐次的f(tk,tl) = t1f(k,l) = tq 这就意味着边际生产率函数为零阶齐次的。 如果一个函数是k 阶齐次的，那么其导数就是k-1阶齐次的30规模报酬不变规模报酬不变 任何投入的边际生产率取决于资本和劳动之比(而不是这些投入的具体水平) k

9、 和 l 之间的边际技术替代率仅仅取决于k 和 l之比，而不是运行规模31规模报酬不变规模报酬不变 生产函数是位似的 从几何上看,所有的等产量线均是彼此的射线扩展32规模报酬不变规模报酬不变l 每期k 每期 沿着一条从原点出发的射线 ( k/l不变), 所有等产量线上的RTS都是相同的q = 3q = 2q = 1随着产出扩张，等产量线均匀排列33规模报酬规模报酬 规模报酬可被扩展为n 种投入的生产函数q = f(x1,x2,xn) 如果所有的投入均乘以一个正常数t, 可以得到f(tx1,tx2,txn) = tkf(x1,x2,xn)=tkq 如果 k = 1, 规模报酬不变 如果 k 1,

10、 规模报酬递增34替代弹性替代弹性 替代弹性 () 衡量沿着一条等产量线，RTS变动一个百分点， k/l 变动多少个百分点RTSkkRTSdRTSkdRTSkln)/ln(/)/(%)/(%llll 值永远为正，因为 k/l 和 RTS 同向变动35替代弹性替代弹性l 每期k 每期 当我们从点A 移至点B，RTS 和 k/l 均会发生变化ABq = q0RTSARTSB(k/l)A(k/l)B 是这些比例变化的比值 衡量等产量线的曲率36替代弹性替代弹性 如果 较高, RTS 的变动没有k/l大 等产量线会相对平坦 如果 较低, RTS 的变动会比 k/l 的变动大 等产量线会相对陡峭 沿着一

11、条等产量线变动，或随着生产规模变化而变动都是可能的37替代弹性替代弹性 将替代弹性扩展至多投入情形，会导致一些复杂的状况 如果我们将两种投入间的替代弹性定义为两种投入之比的百分比变化除以RTS 的百分比变化，我们必须保持产出和其他投入不变38线性生产函数线性生产函数 假定生产函数为q = f(k,l) = ak + bl 此生产函数为规模报酬不变f(tk,tl) = atk + btl = t(ak + bl) = tf(k,l) 所有的等产量线都是直线 RTS 是常数 = 39线性生产函数线性生产函数l 每期k 每期q1q2q3资本和劳动为完全替代的随着 k/l 变动，RTS 保持不变斜率

12、= -b/a = 40固定比率生产函数固定比率生产函数 假定生产函数为q = min (ak,bl) a,b 0 资本和劳动必须按照固定比率使用 厂商总是沿着一条k/l等于常数的射线经营 因为 k/l 是常量, = 041固定比率生产函数固定比率生产函数l 每期k 每期q1q2q3资本和劳动之间不能替代 = 0k/l 固定等于 b/aq3/bq3/a42柯布柯布-道格拉斯生产函数道格拉斯生产函数 假定生产函数是q = f(k,l) = Akalb A,a,b 0 这个生产函数可以具有不同的规模报酬特征f(tk,tl) = A(tk)a(tl)b = Ata+b kalb = ta+bf(k,l

13、) 如果 a + b = 1 规模报酬不变 如果 a + b 1 规模报酬递增 如果 a + b 0 1 规模报酬递增 048技术进步技术进步 将生产函数对时间微分可得dtkdfAkfdtdAdtdq),(),(lldtdfdtdkkfkfqAqdtdAdtdqlll),(49技术进步技术进步 两边除以qdtdkffdtdkkfkfAdtdAqdtdqllll),(/),(/lllllldtdkffkdtdkkfkkfAdtdAqdtdq/),(/),(/50技术进步技术进步 对于任意变量 x, (dx/dt)/x 是 x 的增长率 记作 Gx 则我们可将上式写成增长率的形式lllllGkff

14、GkfkkfGGkAq),(),(51技术进步技术进步 因为llGeGeGGqkkqAq,kqeqkkqkfkkf,),(lllllll,),(qeqqkff52柯布柯布-道格拉斯生产函数中的技道格拉斯生产函数中的技术进步术进步 假定生产函数为q = A(t)f(k,l) = A(t)k l 1- 如果我们假设技术进步率为指数形式 () 那么A(t) = Ae-tq = Ae-tk l 1-53柯布柯布-道格拉斯生产函数中的技道格拉斯生产函数中的技术进步术进步 取对数对时间 t 微分，得到增长方程qGqtqtqqqtq/lnln54柯布柯布-道格拉斯生产函数中的技道格拉斯生产函数中的技术进步术

15、进步lllGGttktktAGkq)1(ln)1(ln )ln)1(ln(ln55成本函数56成本的定义成本的定义 区分会计成本和经济成本非常重要 会计意义上的成本概念强调掏兜花费、历史成本、贬值和其他簿记项 经济学家们则更关注经济成本57成本的定义成本的定义 劳动成本 对于会计师而言, 劳动支出为当期花费，因此也就是当期的生产成本 对经济学家来说, 劳动是一个确切的成本 劳动服务可依据和约获得某个确定的小时工资 (w)，这一小时工资也是在其他地方就业所能获得的收入58成本的定义成本的定义 资本成本 会计师使用资本的历史价格，并采用某些贬值规则来计算当期成本 经济学家将资本的原始价格称为“沉淀

16、成本”，转而考虑资本的内在成本，即其他人为了使用这些资本而愿意支付的价格 我们使用 v 来表示资本的出租率59成本的定义成本的定义 企业家成本 会计师相信企业的拥有者也应该拥有所有利润 在支付所有的投入成本后剩下收益或损失 经济学家们则考虑企业家贡献给自己企业的时间和资金的机会成本 部分会计利润会被经济学家认为是企业家成本60经济成本经济成本 任一投入的经济成本是能保持该投入在目前使用状况下的支出 这一投入能在其他最佳的使用情况下得到的补偿61两个简单化假设两个简单化假设 有两种投入 同质劳动 (l), 以劳动小时衡量 同质资本 (k), 以机器小时衡量 企业家成本包含在资本成本中 要素市场为

17、完全竞争市场 厂商在生产要素市场上为价格接受者62经济利润经济利润 厂商的总成本被给定为总成本 = C = wl + vk 厂商的总收益被给定为总收益 = pq = pf(k,l) 经济利润 () 等于 = 总收益 总成本 = pq - wl - vk = pf(k,l) - wl - vk63经济利润经济利润 经济利润是所使用的资本和劳动投入量的函数 我们来检验一个厂商怎样选择k 和 l 来最大化利润劳动和资本投入的“引致需求”理论 现在, 我们假设厂商已经选择了其产出水平(q0)，来最小化其成本64成本最小化投入选择成本最小化投入选择 为了最小化某一产出水平的成本,厂商会选择等产量线上的一

18、点，满足 RTS 等于 w/v 在生产过程中用k 可换得的 l 与市场上一致65成本最小化投入选择成本最小化投入选择 数学上, 我们希望在给定q = f(k,l) = q0 的前提下最小化成本 我们通过建立拉格朗日函数来最小化总成本:L = wl + vk + q0 - f(k,l) 一阶条件为L/l = w - (f/l) = 0L/k = v - (f/k) = 0L/ = q0 - f(k,l) = 066成本最小化投入选择成本最小化投入选择 将前两个等式相除可得/ ( )/wflRTS lkvfk对 成本最小化厂商应使其两种投入的边际技术替代率（RTS） 等于两种投入要素的价格之比67

19、成本最小化投入选择成本最小化投入选择 交叉相乘, 我们得到wfvfkl 在成本最小化的前提下，花费在任何要素上的一元的边际生产率都应相等。68成本最小化投入选择成本最小化投入选择 注意这一公式的倒数也是有意义的kfvfwl 拉格朗日乘子表示略微放松产出约束所带来的成本增量69q0给定产出 q0, 我们希望在等产量线上找到成本最小点C1C2C3成本被表示成斜率为 -w/v的平行线成本最小化投入选择成本最小化投入选择l 每期k 每期C1 C2 MC, AC 一定下降如果 AC MC, AC 一定上升min AC90成本线的移动成本线的移动 画出成本线的假设是要素价格和技术水平不变 这些因素的改变会

20、引起成本线移动91一些成本函数的例子一些成本函数的例子 假定固定比率的生产函数q = f(k,l) = min(ak,bl) 生产发生在 L-形等产量线顶点 (q = ak = bl)C(w,v,q) = vk + wl = v(q/a) + w(q/b)bwavaqvwC),(92一些成本函数的例子一些成本函数的例子 假设柯布-道格拉斯生产函数q = f(k,l) = k l 成本最小化要求 lkvw l vwk93一些成本函数的例子一些成本函数的例子 代入生产函数，解出 l, 得到/1vwql 同样方法得到/1vwqk94一些成本函数的例子一些成本函数的例子 因此，总成本函数为/1),(w

21、BvqwvkqwvCl 其中/)(B 这是一个常数，仅仅包括参数 和 95一些成本函数的例子一些成本函数的例子 假设 CES 生产函数q = f(k,l) = (k + l )/ 为了获得总成本, 我们利用同样的方法得到/ )1(1/1/1)(),(wvqwvkqwvCl1/111/1)(),(wvqqwvC96柯布柯布-道格拉斯成本函数的移动道格拉斯成本函数的移动 柯布-道格拉斯成本函数是/1),(wBvqwvkqwvCl 其中/)(B 如果我们假定 = = 0.5, 可以很大简化总成本曲线:5.05.02),(wqvwvkqwvCl97柯布柯布-道格拉斯成本函数的移动道格拉斯成本函数的移动

22、 如果v = 3，w = 12, 成本qqqC12362),12, 3( C = 480 来生产 q =40 AC = C/q = 12 MC = C/q = 1298柯布柯布-道格拉斯成本函数的移动道格拉斯成本函数的移动 如果v = 3，w = 27, 成本qqqC18812),27, 3( C = 720 来生产 q =40 AC = C/q = 18 MC = C/q = 1899条件要素需求条件要素需求 可以从成本函数中获得厂商各种投入的条件需求 谢泼德引理 任何投入的条件需求函数为总成本函数对这种投入价格的偏微分100条件要素需求条件要素需求 假定我们的技术是固定比例的 成本函数是b

23、wavaqvwC),(101条件要素需求条件要素需求 对于这个成本函数, 条件需求函数相当简单:aqvqwvCqwvkc),(),(bqwqwvCqwvc),(),(l102条件要素需求条件要素需求 如果是柯布-道格拉斯技术 成本函数是/1),(wBvqwvkqwvCl103条件要素需求条件要素需求 对于这个成本函数，求导有些繁琐:/1/1 ),(vwBqwBvqvCqwvkc104条件要素需求条件要素需求/1/1 ),(vwBqwBvqwCqwvcl 要素的条件需求依赖于所有要素的价格105短期和长期的区别短期和长期的区别 在短期, 经济参与者行动的灵活度有限 假设资本投入保持在 k1，厂商

24、自有改变劳动投入 生产函数变为q = f(k1,l)106短期总成本短期总成本 厂商的短期总成本SC = vk1 + wl 存在两种短期成本: 短期固定成本是使用量固定的要素的成本 (vk1) 短期可变成本是使用量可变的要素的成本 (wl)107短期总成本短期总成本 短期成本不是生产各种产量的最小成本 厂商无法改变投入组合 为了在短期内改变产出, 厂商必须使用非最优的投入组合 RTS 不一定等于要素价格之比108短期总成本短期总成本l 每期k 每期q0q1q2k1l1l2l3因为资本量固定在 k1,厂商不能使得 RTS等于投入价格之比109短期边际和平均成本短期边际和平均成本 短期平均总成本

25、(SAC) 函数是SAC = 总成本/总产出 = SC/q 短期边际成本 (SMC) 函数是SMC = SC改变量/产出改变量 = SC/q110短期和长期成本的关系短期和长期成本的关系产量总成本SC (k0)SC (k1)SC (k2)长期 C 可以通过改变 k 的水平获得q0q1q2C111短期和长期成本的关系短期和长期成本的关系产出成本短期和长期的AC 和 MC 如图q0q1ACMCSAC (k0)SMC (k0)SAC (k1)SMC (k1)112短期和长期成本的关系短期和长期成本的关系 在 AC 曲线的最低点: MC 与 AC 曲线相交 在这点MC = AC SAC 曲线和 AC

26、曲线相切 (对于某个水平的 k) SAC 也在AC的这个产出水平上最小 在这点SMC 与 SAC 相交AC = MC = SAC = SMC113113利润最大化114114厂商的性质厂商的性质 厂商是参与人构成的组织，这些参与人组织到一起的目的是将投入转化为产出 不同的参与人提供不同的投入 投入要素提供者之间的合约关系可能相当复杂115115合约关系合约关系 一些要素提供者之间的合约可能相当清晰 界定了工作时间、工作细节和收入 其它的合约安排在性质上更加隐晦 决策机构或者共同承担任务116116厂商行为模型厂商行为模型 大多数经济学家将厂商看作一个单一的决策单位 决策由一个独裁的经理作出，他

27、理性地追寻某些目标 通常是利润最大化117117利润最大化利润最大化 利润最大化厂商 选择投入和产出，其目标是获得最大的经济利润 最大化总收益和总经济成本之差118118利润最大化利润最大化 如果厂商是严格的利润最大化者, 他们利用 “边际” 方式作出决策 考察多雇用一单位劳动生产的额外产出获得的边际利润119119产出选择产出选择 厂商总收益为R(q) = p(q)q 为了生产 q, 引致了经济成本 C(q) 经济利润 () 是总收益和总成本之差(q) = R(q) C(q) = p(q)q C(q)120120产出选择产出选择 选择利润最大化产出水平 q 的必要条件是令 对 q 的导数等于

28、零0)( dqdCdqdRqdqddqdCdqdR121121产出选择产出选择 为了最大化经济利润, 厂商选择边际收益等于边际成本的产出MCdqdCdqdRMR122122二阶条件二阶条件 MR = MC 仅仅是利润最大化的一阶必要条件 为获得充分条件, 要求0)( *22qqqqdqqddqd “边际利润” 在最优产量 q 必须是递减的123123利润最大化利润最大化产出收入和成本RCq*当总收益函数的斜率等于总成本函数斜率的时候，厂商获得最大利润 二阶条件保证我们不会错误地将 q0 当作最大值q0124124边际收益边际收益 如果厂商能在不影响市场价格的条件下销售所有希望销售的商品, 边际

29、收益将会等于价格 如果厂商面临一条向下倾斜的需求曲线, 厂商只有在削减价格的条件下才能销售更多的商品 ( ) ( )dRd p qqdpMR qpqdqdqdq边际收益125125边际收益边际收益 如果厂商面临向下倾斜的需求曲线, 边际收益是产量的函数 如果随着厂商增加销售量价格下降, 边际收益小于价格126126边际收益边际收益 假定需求曲线为q = 100 10p 解出价格p = -q/10 + 10 那么，总收益为R = pq = -q2/10 + 10q 边际收益将是MR = dR/dq = -q/5 + 10127127利润最大化利润最大化 为了确定利润最大化产量, 我们必须知道厂商

30、的成本 如果厂商的平均成本和边际成本都是常数￥4, 那么MR = MC-q/5 + 10 = 4q = 30128128边际收益和弹性边际收益和弹性 边际收益这个概念直接和厂商面临的需求曲线的弹性联系在一起 需求的价格弹性为价格改变一个百分点导致的需求量改变的百分比qpdpdqpdpqdqepq/,129129边际收益和弹性边际收益和弹性 这意味着pqepdqdppqpdqdpqpMR,111 如果需求曲线向下倾斜, eq,p 0，MR p 如果需求富有弹性, eq,p -1 ，此时边际收益为正 如果需求具有完全弹性, eq,p = - ，此时边际收益等于价格130130边际收益和弹性边际收益

31、和弹性eq,p 0eq,p = -1MR = 0eq,p -1MR -1, MC 0随着产出超过 q1, 总产出下降，因此 MR SAC,因此 利润 0141141价格接受厂商的短期供给曲线价格接受厂商的短期供给曲线产出价格SMCSACSAVCp* = MRq*如果价格上升到 p*, 厂商将会生产 q*，同时 0q*p*142142价格接受厂商的短期供给曲线价格接受厂商的短期供给曲线产出价格SMCSACSAVCp* = MRq*如果价格下降到 p*, 厂商将会生产 q*q*p*利润最大化要求 p = SMC，同时SMC是向上倾斜的 0143143价格接受厂商的短期供给曲线价格接受厂商的短期供给

32、曲线 短期边际成本曲线斜率为正的部分是价格接受厂商的短期供给曲线 表示了在各种可能的市场价格上厂商会生产多少 在短期中，厂商仅仅在总收益超过可变成本的条件下运营 如果p SAVC， 厂商不生产144144价格接受厂商的短期供给曲线价格接受厂商的短期供给曲线 这样，价格接受厂商的短期供给曲线是短期边际成本曲线斜率为正的部分，同时要在最低平均可变成本之上 如果价格低于这个水平, 厂商利润最大化的决策是停业，什么也不生产145145价格接受厂商的短期供给曲线价格接受厂商的短期供给曲线output价格SMCSACSAVC厂商短期供给曲线是 SAVC之上的 SMC 曲线146146短期供给短期供给 假定

33、厂商的短期总成本曲线是SC(v,w,q,k) = vk1 + wq1/k1-/ 其中 k1 是短期内维持不变的资本水平 短期边际成本是/1/ )1(1),(kqwqSCkqwvSMC147147短期供给短期供给 价格接受厂商在 p = SMC 获得最大利润pkqwSMC/1/ )1( 因此，供给数量是)1/()1/(1)1/(pkwq148148短期供给短期供给 为了获得厂商停业价格, 我们需要解出 SAVCSVC = wq1/k1-/SAVC = SVC/q = wq(1-)/k1-/ SAVC SMC，对于所有的 1 没有足够低的价格使得厂商停业149149利润函数利润函数 厂商的经济利润

34、可以表示为投入的函数 = pq - C(q) = pf(k,l) - vk - wl 仅仅有 k 和 l 在厂商的控制之下 厂商选择投入水平来最大化利润 在这个决策中，将 p, v和w 是固定的参数150150利润函数利润函数 厂商的 利润函数 表示了最大利润，是厂商面对的价格的函数),(),(),(,lllllwvkkpfMaxkMaxwvpkk151151包络结果包络结果 我们可以利用包络定理来考察利润如何对于产出和投入价格的变化而变化),(),(wvpqpwvp),(),(wvpkvwvp),(),(wvpwwvpl152152利润最大化和要素需求利润最大化和要素需求 厂商的产量由其雇佣的生产要素决定 投入和产出之间的关系可以概括为生产函数 厂商的经济利润也可以表示为投入的函数(k,l) = pq C(q) = pf(k,l) (vk + wl)153153利润最大化和要素需求利润最大化和要素需求 最大化的一阶条件/k = pf/k v = 0/l = pf/l w = 0