高二数学选修1-2复习总结： 统计案例、 推理与证明 、复数 、框图

1、高二数学选修1-2复习 统计案例 推理与证明 复数 框图 第一部分 统计案例基础知识：回归分析知识小结：1.变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；2.进行回归分析的一般方法为：制作散点图，判断线性相关关系（1）用散点图或进行相关性检验判断两个变量之间是否具有线性相关关系；（2）如果具有线性相关关系，那么借助计算器进行运算求出回归直线的方程。一相关系数（判定两个变量线性相关性）：=注：>0时，变量正相关； <0时，变量负相关； 越接近于1，两个变量的线性相关性越强； 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。根据小概率0.05与在附表中查出的一个临界值，如果，表明有95%把握

2、认为X与具有线性相关关系，如果，我们没有理由拒绝原来的假设，这时寻找回归直线的方程是毫无意义的。二线性回归方程线性回归方程：（最小二乘法） 注意：线性回归直线经过定点。三 典型例题例1. 某工业部门进行一项研究，分析该部门的产量和生产费用之间的关系，从该部门随机抽取的10个企业为样本，获得了如下资料：产量X（千件）生产费用（千元）40150421404816055170651507916288185100165120190140185（1）计算X与Y的相关系数；（2）设回归直线的方程为，求与解析：根据表中的数据可求：， ， ，（1）0.808 2）0.398，134.8 点评：一般地，在尚未确

3、定两个变量之间是否具有线性相关关系的情况下，应先进行相关性检验，在确定具有线性相关关系后，再求出回归直线的方程。如果利用散点图观察两个变量是否具有相关性不太明显时，可通过计算相关系数来进行判断。练习：1下列两个变量具有相关关系的是（ ）. A正方体的体积与它的边长 B匀速行驶的车辆的行驶距离与时间C人的身高与体重 D人的身高与视力2设一个回归方程为，解释变量x增加一个单位时，则（ ）. A B. C D. A3设一个回归方程为 .第二部分 推理与证明直接证明与间接证明 知识小结：直接证明（综合法、分析法）和间接证明（反证法）是数学证明的两类基本方法，在数学和日常生活中有着重要的作用。基本证明方

4、法为正确数学结论的获得提供了逻辑保证，同时在高考中也是考查逻辑思维能力的手段和途径。（1）综合法与分析法的联系：分析法的优点是利于思考，因为它方向明确、思路自然，易于掌握，而综合法的优点是易于表述，条理清晰，形式简洁，因而证明不等式时常用分析法寻找解题思路，即从结论出发，逐步缩小范围，进而确定我们所需要的“因”，再用综合法有条理的表述证题过程。分析法一般用于综合法难以实施的时候。有些问题证明的时候，需要把综合法和分析法联合起来使用。（2）反证法是从否定要证明的结论出发，并以此为重要的“附加条件”，根据有关的定义、公理、定理和给出的命题的条件进行推理，直到得出矛盾，从而判定命题的结论的否定不成立

5、，即可肯定命题的结论成立。反证法是正难则反的数学思想的重要体现，一些数学问题若从正面不容易入手解答或解答比较麻烦，如果从问题的反面入手，换一个角度去思考，则有可能会很顺利地得到解决。一推理：合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有

6、这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。注：类比推理是特殊到特殊的推理。演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。注：演绎推理是由一般到特殊的推理。“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提-已知的一般结论；小前提-所研究的特殊情况；结 论-根据一般原理，对特殊情况得出的判断。归纳推理与类比推理 知识小结：归纳猜想是理性思维的重要体现，是获得发现的源泉，近年来高考特别注重对归纳猜想和由特殊到一般问题的解决方法的考查，主要形式是根据已知条件归纳出一个结论，若是解答题，再用演绎推理对结论进行证明。类比推理是一种重要的合情推理，类比作为人类发现、探索真理的工具，在近

7、年来的高考中屡有出现，且不断翻新，不但考查同学们对联想、类比等方法的掌握情况，还考查同学们的逻辑推理能力。2. 典型例题例2. 设平面内有n条直线（），其中有且仅有两条直线平行，任意三条都不过同一点，若用表示这n条直线交点的个数，则_，当时，_（用n表示）。解析：，由此可归纳出：每增加一条直线，交点增加的个数为原有直线的条数，即：，猜想可得，上面的式子累加可得即故点评：本题考查对实际问题的观察、归纳能力以及用累加法求数列的通项公式。 例3. 在德国布莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球，第2、3、4，堆最底层（第一

8、层）分别按图中所示的方式固定摆放，从第二层起，每层的小球数自然垒放在下一层之上，第n堆第层就放一个球。以表示第堆的乒乓球总数，则_， 解析：由题意可以看出，第一堆一层，第二堆两层，第三堆三层，第n堆n层。再看每一层的球数：第二堆最底层上方所有的球数正好与第一堆的总球数相等，第三堆最底层上方所有的球数正好与第二堆的总球数相等；第四堆最底层上方所有的球数正好与第三堆的总球数相等；于是点评：要找规律，就要一步一步地进行分析，本题中首先看层数与堆数的关系，再看前一堆与后一堆的关系，结论就产生了。（2011山东理数15）设函数,观察:根据以上事实，由归纳推理可得：当且时， .答案：二证明直接证明综合法一

9、般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。2间接证明-反证法一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。2. 典型例题： 例4. 已知求证：证明：（分析法）要证，只需证 即要证 ，平方得 即要证 ，因为，所以只要

10、证 即证 ，由已知此式成立，所以原不等式成立。 点评：利用综合法证题时，首先必须想到从哪里开始起步，而这一点是我们感到困难的，分析法就可以帮助我们克服这些困难，因为应用分析法思考起来比较自然，容易探求到解题的途径。例5. 已知，求证：证明：因为 ，所以，设 则 于是原不等式可以转化为 ，即证明 因为，所以 当且仅当时等号成立 所以原不等式成立。 点评：对于具有一定结构特点的代数式，可以根据题目的特点，巧设某些代数式，用换元法求解，往往会化难为易，问题迎刃而解。 例6. 已知下列三个方程 ，中至少有一个有实数根，求的取值范围。解析：假设三个方程均无实数根，则有 解这个不等式得：所以使三个方程至少

11、有一个有实数根的实数的取值范围是点评：本题要求“三个方程至少有一个有实数根”只要先求出其反面，即“三个方程都没有实数根”，再求补集即可。第三部分 数系的扩充与复数的引入数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，同时体现了数学发生和发展是客观的需要. 复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，在本模块学生将在问题情景中了解数系扩充的过程，了解引进复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用. 复数的基本概念及四则运算基本知识小结： （1）复数的基本概念问题主要考查复数、实数、虚数、纯虚数、复数相等等基本概念，而抓住复数的分类，掌握一个复数为实数、虚数、纯虚数的充要条件，明

12、确复数相等的充要条件，使复数问题实数化是解题的关键。 （2）复数的代数形式的四则运算是历年高考考查的重点，准确掌握并应用四则运算法则是解题的关键。复数代数形式的运算类似多项式的运算，加法类似合并同类项，乘法类似多项式乘以多项式，除法类似分母有理化（实数化），同时要注意复数运算有其独特的技巧，如遇到换位1，等。另外还要注意在进行复数运算时，不能把实数的某些法则和性质照搬到复数集来，如当时下面的结论不总是成立：，等。1概念：(1) z=a+biRb=0 (a,bR)z= z20；(2) z=a+bi是虚数b0(a,bR)；(3) z=a+bi是纯虚数a=0且b0(a,bR)z0（z0）z2<

13、0；(4) a+bi=c+dia=c且c=d(a,b,c,dR)；2复数的代数形式及其运算：设z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,dR)，则：(1) z 1±z2 = (a + b)± (c + d)i；(2) z1.z2 = (a+bi)·(c+di)（ac-bd）+ (ad+bc)i；(3) z1÷z2 = (z20) ;3几个重要的结论：(1) ；(2) 性质：T=4；(3) 。4运算律：（1）5共轭的性质： ； ； ； 。典型例题：例7. 设 ，若为实数，则（ ）A. B. C. D. 解析：，所以由已知得 虚部，即，

14、所以选C 点评：本题在考查复数代数形式的除法运算及恒等变形能力的基础上，主要考查复数为实数的充要条件例8 若复数为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（ ）A. 2B. 4C. 6 D. 6解析：是纯虚数， 解得 所以选C点评：本题考查复数为纯虚数的充要条件，并从中体会理性思维在数系扩充中的作用。例9. 若，其中，是虚数单位，则（ ）A. 0 B. 2 C. D. 5 解析：，根据复数相等的充要条件，可求所以 选D 点评：本题主要考查复数相等的充要条件，并从中体会复数相等的充要条件是化复数问题为实数问题最基本、最重要的途径。例10. 复数的值是（ ） A. 1 B. 0 C. 1 D. 1解析：

15、代入可得 故选B 点评：本题考查复数的基本运算，即 的周期性的运算。例11. 已知复数 复数满足，则复数解析：将代入，整理得 ，所以点评：本题考查复数代数形式的运算及变形能力；本题也可以先设，然后利用复数相等来解决。（六）复数的几何意义 1. 知识小结：复数的模、复数的几何意义、复数代数形式的加减运算的几何意义常常作为重点考查。在将复数的代数形式及复数在复平面内的点、向量表示有机结合的同时，要注意复平面与坐标平面的区别、向量与复数的区别，即可以用向量表示复数，但向量不等于复数。2. 典型例题：例12. 若且，则的最小值为（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5解法一：设，因此有，即又而，即

16、，所以时，取得最小值3，因此选B解法二：一般地，满足的复数对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆。由于表示圆心为，半径为1的圆，而表示圆上的点到A（2，2）的距离。故其最小值是圆心与定点A的距离减去半径，即点评：本题主要考查复数的模与几何意义，这类问题一般有两种解法，一是复数问题实数化，转化为有关函数最值问题；二是利用复数模的几何意义，通过数形结合手段加以处理。例13. 已知复数，均为实数（为虚数单位），且复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围。解析：设，由题意得 由题意得 所以 ，根据条件得，解得 故实数的取值范围是点评：本题考查了复数代数形式的运算以及与复平面内的点的一一对应关系

17、。 2007-2012年山东高考题汇编1.（08山东卷2）设z的共轭复数是，或z+=4,z·8，则等于（A）1（B）-i (C)±1 (D) ±i答案：D2.(2009山东卷)复数等于（ ）. A B. C. D. 【解析】: ,故选C. 【命题立意】:本题考查复数的除法运算，分子、分母需要同乘以分母的共轭复数，把分母变为实数，将除法转变为乘法进行运算.4、（2010山东）（2）已知，其中为虚数单位，则A. B. 1 C. 2 D. 3【解析】由得,所以由复数相等的意义知,所以1,故选B.【命题意图】本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，属保分题。5、（2011

18、山东2）复数z=（为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限答案：D6、(2012山东卷文(1)若复数z满足为虚数单位)，则为 (A)3+5i (B)35i (C)3+5i(D)35i答案：A 第四部分 框图一.流程图与结构图知识小结：（1）工序流程图（统筹图）流程图常常用来表示一些动态过程，可以有一个或多个终点，直观、明确地表示了动态过程从开始到结束的全部步骤。常见的一种画法是：将一个工作或工程从头到尾依先后顺序分为若干道工序，每一道工序用矩形框表示，并在该矩形框内注明此工序的名称或代号，两相邻工序之间用流程线相连，自顶向下，逐步细化，人们习惯按照从左到右，从上到下的顺序来画。（2）程序框图 程序框图是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确表示算法的图形，具有直观、形象的特点，能清楚地展现算法的逻辑结构。画程序框图的规则：使用标准的框图符号；框图一般按从上到下，从左到右的方向画；除判断框外，大多数程序框图符号只有一个进入点和一个退出点，而判断框是具有超过一个退出点的唯一符号。2. 典型例题：例