高中数学复数

1、复 数知识回顾:1、 复数的概念1. 虚数单位i（1） 它的平方等于，即；（2） 实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律（3） i的乘方：，它们不超出的形式2. 复数的定义形如的数叫做复数，单个复数常常用字母z表示把复数z表示成时，叫做复数的代数形式分别叫做复数的实部与虚部，记作注意复数的实部和虚部都是实数3. 复数相等如果两个复数和的实部和虚部分别相等，即，那么这两个复数相等，记作一般的，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小4. 共轭复数当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，也称这两个复数互相共轭复数z的共

2、轭复数用，也就是当时，2、 复数的分类 正整数有理数 零（） 实数R：（） 负整数复数C 无理数 纯虚数（） 虚数（） 非纯虚数（）是实数是纯虚数3、 复平面及复数的坐标表示1. 复平面在直角坐标系里，点z的横坐标是，纵坐标是，复数可用点来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴为实轴，y轴出去原点的部分称为虚轴2. 复数的坐标表示一个复数对应了一个有序实数对；反之一个有序实数对对应了一个复数在复平面内，复数与复平面内的点是一一对应的我们常把复数看作点3. 复数的向量表示在复平面内，复数与点是一一对应的，而点与向量（O为原点）又成一一对应，因此复数与向量也是一一对应的，即复数

3、可由向量表示，并且规定相等的向量表示同一个复数我们也把复数看作向量4. 复数的模在复平面内，复数对应点，点Z到原点的距离叫做复数z的模，记作由定义知，特别地，如果，则就是一个实数，它的模就等于，故模是实数中绝对值概念在复数中的推广4、 复数的运算1. 加法（1） 法则复数的加法按照一下规定的法则进行：设，是任意两个复数，则它们的和是（2） 性质 交换律： 结合律：（3） 几何意义设对应向量，对应向量，则对应的向量为因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释2. 减法（1） 法则复数的减法是加法的逆运算设，是任意两个复数，则它们的差是（2） 几何意义设对应向量，对应向量，则对应的向量为表示、

4、两点之间的距离，也等于向量的模3. 乘法（1） 法则复数的乘法规定为：（2） 性质 交换律： 结合律： 分配律：4. 乘方（1） 法则复数的乘方运算是指几个相同复数相乘（2） 性质5. 除法复数的除法是乘法的逆运算，即复数除以复数的商是指满足的复数，记作一般通过“分母实数化”进行除法运算，即6. 复数运算的常用结论（1） ，（2） ，（3） ，（4） ，（5） ，（6）（7） ，5、 复数的平方根与立方根1. 平方根如果复数和满足，则称是的一个平方根，也是的平方根1的平方根是2. 立方根如果复数、满足，则称是的立方根（1） 1的立方根：，（2） 的立方根：6、 复数方程1. 常见图形的复数方程

5、（1） 圆：（其中，为常数），表示以对应的点为圆心，为半径的圆（2） 线段的中垂线：（其中分别对应点）（3） 椭圆：（其中且），表示以对应的点为焦点，长轴长为的椭圆（4） 双曲线：（其中且），表示以对应的点为焦点，实轴长为的双曲线2. 实系数方程在复数范围内求根（1） 求根公式：（2） 韦达定理：（3） 实系数方程虚根成对定理：实系数一元n次方程的虚根成对出现，即若z=a+bi(b0)是方程的一个根，则=a-bi也是一个根。3. 复系数方程问题常见类型（1） 已知方程的实根，求方程的复系数解法：设，将方程的实根代入方程，利用复数相等的性质求解得到（2） 求解复系数方程的根解法：设方程的根，代入

6、方程，利用复数相等的性质求解得到复根典型例题:例 .m取何实数时，复数（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？分析：本题是判断复数在何种情况下为实数、虚数、纯虚数由于所给复数z已写成标准形式，即，所以只需按题目要求，对实部和虚部分别进行处理，就极易解决此题同步练习:1. 设复数，则为纯虚数的必要不充分条件是_。2. 已知复数，那么当a=_时，z是实数；当a_时，z是虚数；当a=_时，z是纯虚数。3. 已知，则实数4. 若复数a满足,则复数a=_。5. 已知，则复数必位于复平面的第_象限。6. 复数在复平面对应的点在第_象限。7. 设是虚数单位，计算_.8. 已知向量对应的复数是，向量对应的

7、复数是，则+对应的复数是_。9. 已知复数，则的最小值是_。10. 计算：11. 复数的共轭复数是_。12. 如果复数是实数，则实数_.13. 设为实数，且，则 。14. 已知是实系数一元二次方程的两根，则的值为_15. 求的平方根。16.已知复数，求实数使17. 已知复数满足为虚数单位），求一个以为根的实系数一元二次方程.18.求同时满足下列条件的所有复数z(1) 是实数，且；（2）z的实部和虚部都是整数。19.已知关于的方程有实根，求这个实数根以及实数k的值。20. 已知集合参考答案:典型例题:解：（1）当即 时，z是实数（2）当即 当且时，z是虚数（3）当即当或时，z是纯虚数点拨：研究一个复数在什么情况下是实数、虚数或纯虚数时，首先要保证这个复数的实部、虚部是有意义的，这是一个前提条件，学生易忽略这一点如本题易忽略分母不能为0的条件，丢掉，导致解答出错同步练习：1. a=0. 2. 3. 4. 1+2i. 5.第四6.第二7.0.8. 9. 11. .12. 复数=(m2m)+(1+m3)i是实数， 1+m3=0，m=113. ，而 所以，解得x1，y5，所以xy4。14. 因为2+ a i，b+i（ i 是虚数单位