高维星座图课程报告

1、课程论文之高维星座图15085208210003 陈文彬15085208210010 刘 畅15085208210021 吴 迪摘要星座图是多元数据可视化的一种常用方法,具有直观、形象的特点,可以通过调整权系数来对数据进行交互式挖掘，但是传统的星座图缺乏自动调整权系数的较好方法，因而限制了其在可视化数据分析和模式识别的进一步应用。本文由传统的星座图引申为高维星座图，并对高维星座图的应用进行了研究。 关键字：高维星座图格增益指数成形增益 1 介绍星座图是日本学者20世纪70年代提出的。它具有简单、直观形象的优点，可以很好地表达多元数据的结构关系，并且可以通过调整权系数来对多元数据进行交互式的探索

2、。因此，星座图在农业、气象、医疗卫生等许多领域都得到了广泛应用。在无线通信系统中，分集技术是一种对抗衰落的有效手段，而信号空间分集的主要思想便是星座图。随着因特网和移动通信的发展，在第五代移动通信中要支持高速率就要开发具有极高频谱利用率的无线通信技术。SCMA（Sparse Code Multiple Access，稀疏码分多址接入）技术是未来第五代移动通信网络全新空口的另一种重要的波形参数配置技术，该技术结合高维调制技术可使得多个用户在同时使用相同无线频谱资源的情况下，引入码域的多址，大大提升无线频谱资源的利用效率，而且通过使用数量更多的子载波组，并调整稀疏度，来进一步地提升无线频谱资源的利

3、用效率。1.1 传统的星座图所谓星座图(Constellation Graph)，就是将数据样本用一个半圆内的标记(星)表示，同类的样品相邻而组成一个星座，不同类的样品组成不同的星座，很像天文学上表示星座的图像，故得名星座图。利用星座图还可以方便地对样本点进行聚类或者分类，在星座图上比较靠近的样本点比较相似，可以分为一类，相距较远的点则说明相应样本点的差异性较大。首先将数据进行线性变换，消除量纲的影响，使得变换后的数据落到某一线性范围内。设有n个样品，每个样品由p个分量构成，从而构成一个n行p列的数据矩阵：x11,x12,x13,.,x1px21,x22,x23,.,x2p.xn1,xn2,x

4、n3,.,xnp其中xij表示第i行第j列的数值，于是第i行(xn1,xn2,xn3,.,xnp)对应着第i个样品的p个分量，简记为xi。传统的星座图的作图步骤是：1 将矩阵中的每一个数据xij做极坐标变换，角度范围为变换方法如下：其中，2 适当选取一组权系数w1,w2,w3,.wp，其中各，且。重要的变量相应的权可以取得大一点，但一般情况下取等权，即图1 星座图3 画一个半径为1的上半圆及半圆的底边直径，使每个样本对应半圆内的一个点，称为星。4 对于每一个样品xi对应着上半圆内的一个星星和一条折线表示的路径。最后绘制成的星座图如图1所示。其中路径的折点坐标是：，其中星星位于路径的终点，其坐标

5、记为，即。1.2 复数系数星座图在文献2中提出了基于复线性判别算法的星座图权系数优化，从而将传统星图极坐标变换后的角度矩阵复化，如下所示：，其中i表示虚数单位。然后复化后的矩阵进行复线性判别分析，并将取得的最优方向作为星座图的权系数向量w。最后绘制样本的复星座图，根据公式：经过复线性判别算法绘制优化星座图后，前后对比如图2所示，星座图经过优化后类分离度明显提高。原始的n维数据的聚类或者分类的问题便转化为一个二维数据的聚类或者分类的问题，并且该二维图表示上概括了原始数据的鲜明结构信息。图2 复化后星座图对比 2 基于格理论构造高维星座图在文献3中提出了基于格理论构造高维星座图的方法，相比现有的算

6、法均只适用于星座点个数较少的情况，该方法可以简便地构造星座点数目较大的高维星座图。2.1 格的简介一个 n 维空间中的格是中一离散的点集 ,且该点集具有矢量加法下的群结构 .通常 ,一个n维格可以由n个线性无关的基向量 ,1 i n来描述 ,而格中的任意一点 x 可以表示成(1)其中, i=1,2,n.另一种描述格的方法是 通过一个 n × n 维的生成矩阵 G ,G 的各行为基向量 , 1in.有了上述定义后,格中任一格点x可表示为 x = aG(2)其中是一n维整数向量。定义1 格的最小欧氏距离dmin为中任意两个格点的最小欧氏距离。定义2 格的重度Nmin为中与任一给定格点距离

7、为dmin的点的个数。定义3 格的基础体积V()为中单位体积 (或面积)内格点数的倒数。对于任意格都有：(3)2.2 基于格的星座图 在一个基于格的星座图中, 若对应格的重度为Nmin,则在高信噪比的情况下,星座图的误符号率有以下估计式 (4)其中, N0为加性高斯白噪声的功率.我们可将误符号率估计式改写成：(5)其中，每二维平均功率表示一个n维星座图的平均功率化到二维空间后的值。它可由下式计算：(6)其中, M为n维星座图中星座点的个数,xm为表示一 个星座点坐标的 n 维向量. 通过分析不难发现,由于式(5)根号下第二项为信噪比,则格的重度 Nmin 和 这两项将决定星座图的误符号率的大小

8、。特别地,当星座图的维数n并不太大时, 项起主导作用。定义4 n维星座图C的增益指数(CFM)为： (7)设计低误符号率高维星座图的问题就可以转换为最大化 CFM .由于每二维平均功率的取值 与最小欧氏距离dmin有关 ,我们可固定dmin来最小化星座图的 (或平均功率). 上文曾提到过设计基于格的星座图的过程包括了格和边界的选取, CFM 可以由下式来表示：(8)式中，为星座图基础增益，是一个常数；为格的编码增益；而为边界R的成形增益。基于格设计高维星图的第一步是选取一个致密的格，而编码增益反映了一个n维格的疏密程度，其表达式为：(9)其中G是格的生成矩阵。由于V()表示的是格中单位体积（或

9、面积）中格点数的倒数，再加之格点间最小欧氏距离dmin固定，所以编码增益较大的格会更密。接着，我们要选取一个包含我们想要的星座点个数的n维边界R来构成n维星座图。我们的目标是在最小欧氏距离dmin给定的情况下产生功率节省的星座图，而边界R的成形增益便可作为边界选取的衡量标准。n维空间中一区域R的成形增益可由下式表述：(10)其中V(R)为区域R的体积（或面积）。由式（10）可发现，具有高成形增益的区域可以提高星座图的功率效率并能够提高系统的性能。另外，在所有区域中，球型边界总是拥有最大的成形增益值。2.3 小结格是一种数学结构，能够用来具体描述空间中按一定规律排列的点所构成的集合。任何星座图的

10、CFM值均取决于和 的乘积。格的编码增益 仅取决于格的选择。若格点间最小欧氏距离dmin固定，更密的格就意味着我们可以在一定的体积（或面积）内摆放更多的星座点。另一方面，边界的成形增益仅取决于星座边界的选取，而具有高成形增益的边界会使得产生的星座图在功率方面更节省。由于星座图的CFM值由上述相互独立的两项之间的乘积所决定，可分别对和 进行最大化最终来使得CFM值最大。3 高维星座图的应用华为在其5G全新空口白皮书中提到，高维调制技术之中所调制的对象仍然还是相位和幅度，但是最终却使得多个接入用户的星座点之间的欧氏距离拉得更远，多用户解调与抗干扰性能由此就可以大大地增强。每个用户的数据都使用系统所

11、统一分配的稀疏编码对照簿进行高维调制，而系统又知道每个用户的码本，于是，就可以在相关的各个子载波彼此之间不相互正交的情况下，把不同用户的数据最终解调出来。3.1 在衰落信道上的码元传输在高数据率的OFDM系统，信道的多样性可能是一个主要问题。两个码字之间的距离可能不够跨越足够的维度。如果这些维度消失，两个码字是很难区分的。为了增加多样性，一个方法就是组织几个不相关的分载体来形成一个多维星座。然后星座的旋转和多样性提高没有增加发射功率和带宽。多维空间的每个子载波是一个轴（或维度）。如果没有旋转的星座，将会导致许多星座点落在彼此之上。星座点不再明显，出错率也在不断增加。但是如果正确旋转星座，星座点

12、轴崩溃时不会发生碰撞。在这篇文章中，我们研究如何找到最优旋转。重点是广泛使用比特交织编码调制（BICM），未编码的系统是一种特殊情况。我们通过考虑独立每维瑞利衰落优化了多维星座旋转。这种假设通常是有效的。但是在实际系统中，分载体的数量是有限的并且载体可以被再回收。同一个数据包将会被一次次的再利用。根据通道的设计，一个载波分组可能是好的，也可能是不好的。一个坏的信道可以在超宽频的背景下持续几分钟。另一方面，如果子载波分组保持变化，那么系统是公平的。在众多渠道当中会出现一定的平等。通过提高多样性可以提升比特误差率。我们牺牲PER来提升BER并且帮助糟糕的信道情况。这里我们将介绍一些解决方法。第一个

13、解决方案就是把数据包分成几个子包。每个子包都有自己的效验和。在子包中，我们解决子载波分组。但是针对不同的子包，我们会采用不同的载波分组。我们这样做的目的是将负担转移至子分组。最糟糕的情况是子分组不会被通过，但是好的情况则是子分组将会通过。因此，针对大多数通道而言一个合理的数据速率是可以被实现的。当然，解决方法可以进一步得到改善：通过试用包确认反馈，发射机可以告诉哪些子包是好的，哪些是坏的。因此可以告诉哪些子载波分组是好的，哪些是坏的。然后它可以完全使用好的信道分组，直至信道条件得到改善。接收者必须被通知哪些分组正在使用。所以在传输部分的头几位应当保留信息来告诉哪些子分组在被使用。有了这个方案，

14、在大多数的信道条件中都可以恢复完整的数据率。总之除了交错编码比特，我们也可以交错维度，人为地创造不同的信道条件。一旦发现一个好的交叉，我们将会修复它，直到信道发生变化。3.2 高效灵活的光纤网络图3 三维4-ASK Nb=5(bit)到Nsym=3 (1D-symbols)的星座图映射在资源带宽低速运行的光传输网络中，根据可用性的要求灵活地分配带宽变得越来越重要，这个被认为是未来400G以太网建设的关键。为了提高带宽分配的灵活性，我们需要找到一种在每个复数值的二维符号可以携带一个非整数比特数的调制模式。又因为一个偏振的多路复用的相干光传输系统会提供四个为任意时间的自由度。故我们可以采用四维星座

15、图进行分析，从而找到合适的调试模式。图4 在AWGN信道下误码率对比在文献5中研究了将高维星座作为替代时域混合的QAM并考虑标签的影响从而找到一种提升带宽分配灵活性的调制模式。如图3所示，在三维4-ASK的高维星座图映射关系中，取Nb=Nb/2=5(bit)映射到Nsym=3(1D-symbols)的码字。这样的映射关系减少了标签设计的复杂度。之后，我们将一对一维符号的码字组合成复杂的二维符号码字。图4比较了TDHQ和高维方法的误比特率。同时以16-QAM和8-QAM的曲线作为参考对象。在pb=10-5时，高维方法的值比TDHQ高0.25分贝以上渐进与0.34分贝。而在pb=10-2时，两种方

16、法的值几乎相等，这是由不可用灰色标记和图5 仿真结果直接相邻的高均值的16-QAM3.33造成。对于光纤信道，假若我们需要通过IQ调制和相干检测可以在单模光纤（SSMF）上使用一个单一的偏振以224 Gb / s的速度传输10到100公里的距离。为了简单起见，这个设置我们忽略了交叉极化极化调制会发生偏振复用传输的为了实现400 Gb/s 速率而必须的12% 前向纠错（FEC）开销。在相干接收处，后续的处理方法简化为高维的处理方法：因为所有的符号都属于同一个星座，帧同步均衡之前是不需要TDHQ。在图5中显示的为光输入功率Pin到每一个跨度的误比特率。高维星座图的方法显示了一个在TDHQ上改进最小

17、误码概率以及在为条件要求的误比特率时的输入功率Pin。4 小组工作总结针对这次课程报告，我们小组进行了精心的准备。工作前期，我们三个人共同针对高维星座图这一课题，在网上和图书馆查找相关的课题资料。然后收集资料完成后，由组长陈文彬进行分工。首先由刘畅同学对传统星座图和格这两部分内容做介绍并且对这两部分内容做比较深入的研究。然后吴迪同学负责对星座图的应用方面进行研究和资料的收集。参考文献：1 Forney Jr. G.D,Wei LF. Multidimensional constellations. Part I. Introduction, figures of merit, and generalized cross constellationsJ. IEEE Journal on Selected Areas in Communications, 1989, 7(6): 877-892.2 陈毅强. 多元数据的复系数星座图及其优化方法J. 燕山大学学报, 2009, 33(1): 43-45.3 吴 昊, 张建秋, 宋汉斌. 一种基于格理论构造高维星座图的方法J. 电子学报, 2014, 42(9): 1672-1679.4 Chrabieh R,Dural O. Multi-dimensiona