【精品】浅谈中值定理在解题中的应用

1、浅後屮值定理在解龜屮的農用微今屮值忆理洽出&间端支禽廢值鸟曳內支專褻值的关 系，用它可心从f的导敷的某也宿质推出/的某些档质，丸薯/（x） a a,b上遵綾，且虚（a,b）內可导，则在（a,b）內爲在一裟.使 佗）=/（?-/咸站b-a屮值尤理虽銘是就闻区间说的，性臭未必捅勺a<b,旦要 /在卄&间（帝限或无限丿上处处韦导製，在力）內的仪何鬲 x x）,x2都可m代瞥u,b ,使兀，兀2之间恵帝一个g满足广（£）二 /（x）一/（兀2）坷一兀2微今屮值定理帝三种纟用形式，即罗糸屮值定理.拉怡朗 日申值定理及柯扬屮值忆理.2微今屮值空理的疹用徽今屮值定理反唳了為皱

2、憎量鸟区间菜个点导赦值之间的 采系，以而可用导彼来斫究可徽為裟值之间的相臣关系及曳变 化徃态疝用屮值定理空要帝必下号个基凉步骤,，（c）根据己洽问縣r的特点，确定或构造辅助禽褻/（鸟 g（x）及相盜的&间a,b,（cc）瞼证/（兀）（昌g（q ） a a,b上满足中值定理的条件,（ac）盜用屮值定理及已応条件解各问軀及曳屮步骤是关被,通纟也是瑋点所疫/步骤iq则比做客易；步骤（uc）是对综合饨力的考验，微今彳值定理的疝用十今广泛，在此仅对几方面的疝用述行归类介珞，2.1采于证鋼耒厝式拓用楸今屮值定理（舍泰勒叫如公式丿及曳导出的箱卷证明耒缚式，耆屯介餡泰勒公式的素达形式，負理：axx0

3、a直至"阶專敷，则帝f（x） = tn（x） +o （x-x0）n）即f=/（兀0）+广（兀0）（兀-兀0）+ / ；）（x-兀0）2 +/，）（x；%0），+o（x-x0r）（*2n虧理申式徹签禽皱/在支x。处的泰勒（剂加丿公式，对于一密薇夏器的禽範，卷了便孑斫宪，隹隹希望用一整 简单的禽報来近何亥达，多项式就是殊纟简单的禽裟，戸要对 囱变量进行帝限味加.减、乘三种尊术运尊就滋计篇出禽赦 值，此我们希歿用多项式来近何彖达為叙，泰勒公式就是瘠 满足某也条件的禽報/無化拓多顼式禽赦，证鋼菜整鸟爲阶导敎帘关的命軀时纟用別卷勒公式，徽今屮值滋理证蹈耒菁式內容十今丰富，在此仅举鬲例,_22例

4、 7 证现；£ 0vxv兰时，< 1 -cosx< t2712今斩：枸造為敷/=cos兀，对flxg (0,) r可将*/(x) = cosx利用222泰勒公式展卄，耳遂步构遥眾等 <1-cosa*<的中间712部今 1 - cos x , 根据已扣条件ovxv仝，即可证圖，证明/令/(x)= cos x ,由*7形加公式后对vxe(0,y),恋在介(0,兀)，使1 一 cos x24由 0<g<71x <2,0<x2 cos £,< 4<4,1-cosx 1411>=> %22243 龙即£

5、0<无<兰时,x2< 1- cos x <712 已0<a<bf证明眾著弍匕 o花 b a a今斩；碎軀可今為鬲种倩况进行讨裕，£0va=b时，普号显磁;咸更，当ovavb时，构造辅助禽赦/'(x) = lnx , /(x) as,b上满足/脅叱屮值應理条件，即可证闕,证聊；()<a=h时，眾著式屮普号咸昼b-a 、 b h-a=in =b a a由 0 v a v b 时,令 /（兀）=lnx则/（x）在&间s,b上满足/形屮值定理的条件故爲在歹w（a,b）,使得n = nbna =(b _ a)1以而探上2.2果于证明普式

6、ha t b h-a<ln<b a a<ln<b-a证闕著式纟利用拉梏朗日屮值定理和柯訪屮值定理证蹈时纟纟以要证的褚论入手，傅咸一/=0©的形式，弄且枸g（b）-g（a）造相盜的辅助禽赦，即可证得命鬆，例号 </（x）a-i,i上逐綾，a（-1,1） 可导，jlf（-i）= f（i）= o ,/（0） = 1,则 vae-l,lj,北 w（1,1）,使得广"-1 < x < l,x 0 ,则 f(x)在/w-1 今斩鸟解答，作辅助禽報f二广（0）-1,11 x 逐钱，由子 f(-1) = 1f(l) = 1,故旳引1,1,盹，使得f

7、g =由 z形够 屮值良理gw（兀"0）（七<0）,使得北丘（0,牝）（七0）或心艺）=/（心）一1 =广即证,例彳 殺兀>0,兀2 > 0 ,证明 xex1 -x2exl =（1 一 §）/（西一花）曳屮 a -s x2之间，今祈要证的著式是画个国定支兀2必及屮间值§的炙达式，作变形，使兀2鸟歹今离，舜或啟改变蜃的商，利用屮m证砺，具俸步骤签：(f)歹鸟兀,兀2今离(2)产或改变蚤的商(3)作辅助禽赦/ 1/u) = ， gm = -日需莊坷宀上用柯筋屮值定理即可.证聊：由扌兀0, *20则x = 0眾在x鸟兀2之间令/w = . gm = -

8、xx则y(x)鸟g(x)在西鸟兀?所限虧的区间上满足0必场屮值定理的条件即xex2 一 x2ex =(1- g疋(%j - x2)箱卷得证.通过对m上例龜的今斩和解备，我们可以看出疝用屮值定 谡证明著式或耒署式的关縫莊子，耆屯，仔佃观察，对待证式&址行适方的变换/曳决，认吏今斩.橢确而巧妙的构造出辅助禽赦，做到这鬲支，便可顺利地完咸金軀的证圖，23果于憑的寿在性根的矗在区理；若禽赦/恵闻区间力上it綾，虫/(a)鸟f(b) 异号(即f(a)f(b)<0)f则至労春疫一支兀° w(a,b),使得/w = o即方咨于=0在")內至歹帝一个根，歹金良理告诉我们,若/

9、(x)a s,创上建綾，a (a,b)內可專, f(a) = f(h) f则春虚§w(d,b),使得广£) = 0，换句话说，疫爲毅的 菁值支之闻，帝專禽裟的根，因此，证明專為叙帝根，r要证 蹈為赦凉身帝著值止即可，5 殺兀兀)虚0,1上臨綾，a(o,i)可导，i./(o)= /(i)= o ,/(|) = k试证至歹看在一个张(0,1),使广(0 = 1,今祈 / f© = 1 => 广=1 => f(x) = x=> f(x)-x = 0可令 f(x) = .f(x)-x ,证明：令 f(x) = f(x)-x乂 f(l) = /(l)-l

10、= -l<0(/(d = 0)=/(|)44>0(疋)=i)由根的爲恵定理可応;旳使 f() = 0乂 f(d) = /(0)-0 = 0,对f(x) a0,z7上用忽必屮值定理，落弘(0,仍 w (0,1)使得f©) = 0即/w = l从必上例龜的证蹈过程可见，在盜用根的爲在性定理证明 禁峪问鬆时，选取合适的辅助禽数，可收別事g功信的数臬，此类同軀的证鋼过程直下；(1) 作辅助 & f(x) /(2) 验证f满足歹金屮值良理的条件，由此即得出命軀证聊，2.4果于鉤救的单调松2.4a馅救草碉惟鸟裏导馅救符号间的果橐定理，/(x) a d间/上可專，则/(x)ai

11、上递憎(减丿的充要条件是；r(x)>o(<o)由整可见，禽赦的单调徃鸟号範的符号帝着密切的離系，z.4.2為救草碉惟的判足依更理:筱禽褻y = /(x) a s,b上逐機，a (a,b)內可專， 直果虚(以)內广0,那么禽数y = /(劝虚以上草调憎加； 心皋恵(a,b)由广 0 ,那么禽赦y = f(x)在a,b上单调矗臬把这个判罡注屮的闭区间换啟英他各种区间(包括无 穷区间丿,那么楮命也咸昼，由此可见，这个判瞬禽褻憎减皱的方注简单到曰需确定导禽敖的符号，持剔提醒：这个方该的使用条件是，為赦在闭区间上it綾,命&间內可导, 这里的闭&间可m换咸曳它各种区间，例矗(

12、yo+oo),匕+00),y，6 著证鋼禽報的单调相殳要溢用拉辖朗日屮值定理，下曲举例进行 今折说明,俐6 证虬 若詢敎于(兀)在0q可导，广单调憎加，阳(0) = 0, 则禽赦竺xa（o,q）也单调憎加，证聊:对fl慧 xhx2 g （0,0）.且 x v 兀2则/（x）在g间0,xx鸟xpx2构满足z形逐洋屮值定.理条件于是今剔矗在齐（0,兀），冬 w （兀，兀2）使化）=.心）-/（0）= /（兀 2）-/（坷）%! -0- x2 -x,由子广（兀）单调憎触，虫/ （0）二0.所以/（西）v /（吃）一/（e）x）兀 2 x以而，即禽報竺在（0卫）单调憎加，x,x2x2.5证明蕩救悝參冷

13、就证明岛敖惬签纟叙空要盜用的是拉辖朗日屮值定理的推 卷，观將其殳要的画个推卷介箔矗下,，雄说 八 若在（a,b）內,fx） = 0 ,则在（a,b）內/（兀）鬲纟歎， 雜论 2；若在（a,b）內,fx） = gx）,则在（a9b）內 f（x） = g（x） + c （ c 為纟赦丿，俐7若兀n 1,痂证： arctan 兀 + 丄 arccos “）=,21 + 对 4今斩,在三命為叙部今解軀申见到过这种軀型，盜用公式tan（cr±0）=号。土tan"解得 tan（6r±0） = 1, q±0 的值可1 + tan a tan 0饨碍此种解讹嚓琐，沁里用

14、椎证虬证蹈,7141 2xarctan x + arccos丁2 1 + x2则fx)三0 即fm = c (c签纟宓j/(l) = arctan 1 arccos 1 一 =0 ,所 *4 c = 02救 /(兀)=0 , 即 arctan x + 丄arccos -?二=21 + x 4忆乂在实忌集/?上的幽赦，丸对任噫x,y e r ,痛|/(x) -/(y)| 5 m(兀-卅克屮m是纟虬 则f(x)是纟值禽製，对仪噫x w r , x的改变董务心，由条件帘fx + ax) -/(x)| < m (ax)2即画边矣于atto,取級限得0< limaxto/(兀+ ar) -/

15、ar<m lim i ari = 0山 t0 11所 myr（x）= o由屮值定理得：/(x)-/(o)= r(-o)=o/u) = /(0)故/在安上签纟值禽赦.母称聖勃$渤必n (07)肛x乡矽/蒲強少 soo = (?)/$ /oo+<-r'(x/<soo-l+xsoo)luh qi (妙oom'du = (少“-少)尹呵協诫( + ")"一钏心(彷“-少)m乙( + ) + ">?"扌茸一-uu巧严=学厂叩因称9谢甲於 5叫心3) 乡g)t'毋曙巒+ uu傍书誉聲一厂y些曙够滋註賀学m艮彷”些fa乡6h螂oo<i/，(ovu)(审“一少)尹山!1李 b曲。纟乡参至前前宋密林事f 曙者魏忖茸为至系曙巒科郵戲彭&冷羽纟，宙彭傍划乡養 宋隆茶谀"射蒸十纟空矽舟出刖郭魏琏竽爭号確 峯磧郵毋&冷谢宙砂b见冀小卑興事両()-0必確耶丫00 0少傍系"n 0興卑&簞。劭滋傍乔 口 留匪“6"乡w见 供樹一'谟華傍*划聂那'丫彷菽严-s,'产,，“。0" '八0" '”80,警魏修慫乡興即滋魏解够些妝解坟畏刖影歩矗序口冷冷抽出修92所 m