一元一次不等式知识点及典型例题

1、1一元一次不等式考点一、不等式的概念1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。2、 不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值， 都叫做这个不等式的解。3、 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这 个不等式的解集。4、 求不等式的解集的过程，叫做解不等式。5、 用数轴表示不等式的方法考点二、不等式基本性质1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。2、 不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。3、 不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。4、 说明：在一元

2、一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改 变。如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么 就要看看题中是否岀现一元一次不等式， 如果岀现了，那么不等式乘以的数就不等为0， 否则不等式不成立；考点三、一元一次不等式1、 一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1,且 不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。2、 解一元一次不等式的一般步骤： （1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5） 将x项的系数化为1考点四、一元一次不等式组1、 一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成

3、了一个一元一次不 等式组。2、 几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。3、 求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。4、 当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。5、 一元一次不等式组的解法（1） 分别求岀不等式组中各个不等式的解集（2） 利用数轴求岀这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。个整式，不等号的方向不变。不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。7、不等式的解集：1能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。2一个含有未知数的不等式的所有解，

4、组成这个不等式的解集。3求不等式解集的过程叫做解不等式。知识点与典型基础例题一不等式的概念：例判断下列各式是否是一元一次不等式？-x5 2x-y0令菩X 2丘53二不等式的解：三不等式的解集：例 判断下列说法是否正确，为什么？X=2是不等式x+32的解。X=2是不等式3x7的解。不等式3x7的解是x9的解四一元一次不等式：例判断下列各式是否是一元一次不等式x52xy3x五不等式的基本性质问题例1指岀下列各题中不等式的变形依据1)由3a2得a32)由3+70得a-73)由-5a-154)由4a3a+1得a1例2用”或V”填空，并说明理由如果aa x75x-12x+5ab B acab C cba

5、b D c+ba+b例5当0 x1时:2,x,x，之间的大小关系是。题型一：求不等式的特殊解例1)求x+32(x-1)的非负整数 解，并在数轴上表示出来。例将下列不等式的解集在数轴上表示岀来。X 2xV 13x3的非负整数解-13)求不等式32x10的非负整数解4)设不等式2x a0只有3个正整数解，求正整数六在数轴上表示不等式的解集：例解下列不等式并把解集在数轴上表示岀来|_ 2x+3 3x+2-3x+2w 5II求a的取值范围8-2(x+2)4x-23-x4125 x+今1 2x 3题型二：不等式与方程的综和题例1、关于X的不等式2x-a2,则m的取值范围是?35x 3y 313、若关于X

6、、Y的二元一次方程组xy p 0的解是正整数，求整数P的值。x a b4、已知关于X的不等式组2x a 2b 1的解集为3Wx2a+3,求a的范围。题型三确定方程或不等式中的字母取值范围例1、k为何值时方程5X-6 = 3(X+k)的值是非正数6、若(a+1)xa+1的解是xv 1,求a的范围x 8 4x 17、若x a的解集为3,求a的取值范围3、已知在不等式3x-ay,求K的范围2、已知关于x的方程3k-5x=-9的解是非负数，求k的取值范围4例x取什么值时，代数式5X64的值不小于8丄尹的值，并求出X的最小值。题型六不等式解法的变式应用例1、根据下列数量关系，列不等式并求解。X的3与X的

7、2倍的和是非负数。C与4的和的30%不大于-23已知关于的一元二次方程X除以2的商加上2,至多为5。A与b两数和的平方不可能大于3例2、x取何值时，2(x 2) (x 3)6的值是非负数?例3、x取哪些非负整数时，* 的值不小于 牛与1的差&常见题型一、选择题在平面直角坐标系中，若点P(m- 3,m 1)在第二象限，则m的取值范围为()题型五求最小值问题A 1vm3C. ml答案:有两个不相等的实数根，则实数5的取值范围是（）B.A.6D.答案：DAB、四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P、Q R、S,如图3所示，则他们的体重大小关系是（D）7把不等式组的是（）的解集表示在数轴上正确

8、答案：C8的解集是（）B.A.C.D.答案：C9若不等式组有实数解，则实数A.的取值范围是（）B.D.答案:10，则11的大小关系为()B.A.C.A不等式一x5cbB. bacC. abcD. cab答案：CC.则下列关系正确的是（）18不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）把不等式组的为图3中的（）的解集表示在数轴上，正确答案：CA.B答案：B用表示二种不同的物体，现放在19天平上比较两次，情况如图所示，那么答案：A顺序排列应为（）这三种物体按质量从大到小的不等式组的解集在数轴上可表示为20的解集，正已知3x+46+2(x-2),则于_.答案：1答案：A二、填空题答案：A在数轴上表示不等式

9、组确的是()的最小值等如图，已知函数和，则不等式21的解集为_的图象交点为答案:22不等式组的解集为_案:23不等式组的整数解的个数为_ . 答案：4的整数解共有3个，则的取值范围是_6.已知关于的不等式组答案:是.答案:249.不等式组的解集10.直线与直线25在同一平面直角坐标系中的图的解集为_象如图所示，则关于的不等式答案:-126解不等式组13.已知不等式组2，则（m+n）2008=_.答案：1三、简答题的解集为一10,得x-1解不等式x28二不等式得解集为-1 v x2该不等式组的最大整数解是若不等式组，得x2的整数解是关于x的方程的根，求a的值。解：解不等式得，则整数解x=-229

10、解方程。由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和一2的距离之和为5的点对应的x的值。在数轴上，1和 -2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或2的左边，若x对应点在1的右 边，由图(17)可以看出x=2;同理，若x对应点在一2的左边，可得x=-3，故原 方程的解是x=2或x=-3代入方程得a=4参考阅读材料，解答下列问题:(1)方程的解为30(2)解不等式解：(1)1或(2)(3)若求a的取值范围339由不等式（2）得：所以：5x3解不等式组:并判断是否满足该不等式组.满足该不等式组.40解不等式3x-27,将解集在数轴上表示岀来，并写岀它的正整数解.解：原不等式组的解集是:解：3

11、x-273x7+23x9x341解不等式组，并写岀它的所有整数解.解:42解不等式组和.并求岀所有整数解的解不等式，得原不等式组的解集是解：解不等式，得43所有整数解的和是:则原不等式组的整数解是不等式复习1一：知识点回顾1、一元一次不等式（组）的定义：2、 一元一次不等式（组）的解集、解法：443、求不等式组的解集的方法： 若ab；（同大取大）当匕宀时，x A- 1 $ 3 X 07、 不等式组L的解集为xy得ax0B.a 0 D.ab得am2bm2的条件是（）A.m0 B.m-5的解集如图所示，贝U m的值为（）A, 1 B, 0 C, -1 D, 3-1_-1-1IIu5 4 3一2 1

12、 O1、 不等式8-3x0的最大整数解是 _.2、 若（a 1）x a 1的解集是x 1,则a必须满足2、不等式2x+1a有3个正整数解，则a的取值范围是？3、关于x的不等式组x a 0的整数解共有3个，则a的取值范围是多少?1x 0214、 若0 a 1，则a2、一、a之间的大小关系是 _ .a5、 如果一元一次方程2x 5k x 4的解是正数，那么k的取值范围是_4、若方程组3x y 2k,的解满足x 1,且y 1，求整数k的取值范围y x 36、如图，直线y kx b经过点A（ 1，2）和点B（ 2,0），直线y 2x过点A，则不等式2x kx b 0的解集为（）A.x 2B.2 x 1

13、C.2x025、若不等式组无解，求a的取值范围当 时，axb;（大小小大取中间）当.时无解,（大大小小无3、若不等式组x 4,的解集是4 x a，则a的取值范围是x a6、已知不等式组2ax 6 a的解集是1xbc（或-）.c c性质3:不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果&某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共100件，学校计划租用甲乙两种型 号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多载40人和10件行李；乙种汽车每辆最多载a b那么ac一）.c c9、为执行中央 节能减排，美化环境，建设美丽新农村”的国策，我市某村计划建造A、B不等式的其他性质：若a

14、b，则bb，bc，则ac；若ab，且ba，一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似,（或除以）同一个负数时，不等号要改变方向.3、如果不等式组X2X 30无解，则m的取值范围是m4、X是哪些非负整数时,3x的值不小于尊1的差3X5若方程组X2y2y1的解x、y的值都不大于1，求m的取值范围。m6、不等式组a 0的整数解共有5个，则a的取值范围是2x 17、用若干辆载重为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装5吨，则剩下10吨货物，若2009年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练一元一次不等式及其应用知识讲解1.一元一次不等式的概念|类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数

15、是1?的不等式叫做一元一次不等式.2不等式的解和解集不等式的解：与方程类似，我们可以把那些使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有的解的集合叫做这个不等式的解 集它可以用最简单的不等式表示，也可以用数轴来表示.3不等式的性质性质1：不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即如ab，那么acbc.型号占地面积（单位:m2/个）使用农户数|（单位:户/个）造价（单位：万元/个）A15Jl82B20303之间的函数关系式，并利用 函数的性质说明那种方案ab，c0，ab，c0，（1）设租用甲种汽车X辆，请你帮助学校设计所有可能的方

16、案贝U a=b;若a-x-5，并把它的解集在数轴上表示出来.364【分析】一元一次不等式的解法的一般步骤与一元一次方程相同，不等式中含有分母， 应先在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数去掉分母，在去分母时不要漏乘没有分母的 项，再作其他变形.【解答】去分母，得4（2x-1）-2（10 x+1）15x-60.去括号，得8x-4-20 x-215x-60移项合并同类项，得-27x-54系数化为1，得x2在数轴上表示解集如图所示. 2【点评】分数线兼有括号的作用，分母去掉后应将分子添上括号.同时，用分母去 乘不等式各项时，不要漏乘不含分母的项；不等式两边都乘以（或除以）同一个负数时， 不等号的方向必

17、须改变；在数轴上表示不等式的解集，当解集是x时，不包括数轴上a这一点，则这一点用圆圈表示；当解集是xa时，包括数轴上a这一点，则这一点用黑圆点表示；？解不等式（组）是中考中易考查的知识点，必须熟练掌握.a2 2a1例2若实数aNM B.MNP C.NPM D.MPN【分析】本题主要考查代数式大小的比较有两种方法：其一，由于选项是确定的，我 们可以用特值法，取a1内的任意值即可；其二，？用作差法和不等式的传递性可得M N，P的关系.45【解答】方法一：取a=2,则M=2 N=，P=-，由此知MPN应选D.33方法二：由a1知a-10.2a 1 a 1又M-P=a-=- 0，二MPP-N=2a 1

18、-a 2=a 10，.PN333 MPN应选D.【点评】 应用特值法来解题的条件是答案必须确定.如， 当 系不确定， 当 1a2a-2 ;当 a=2 时， a=2a-2 ;当 a2 时，a0的解集是x2，则不等式-3x+n0，n x ，3/门=23即n=6代入-3x+n0得：-3x+62例4某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞.？现有甲，乙两种机器供选择，其中每台机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示.经过预算，本次购买 机器所耗资金不能超过34万元.1按该公司要求可以有几种购买方案？1.若不等式ax1，则a的取值范围是 _.a1时，A与2a-2?的大小关甲乙价格/（万

19、元/台）7每台日产量/个|10060148方案二：购买甲种机器1台，乙种机器5台；L方案三：购买甲种机器2台，乙种机器4台(2)列表如下：由于方案一的日生产量小于380个，因此不选择方案一；？方案三比方案二多耗资2万元，故选择方案二.【点评】部分实际问题的解通常为整数；方案的各种情况可以用表格的形式表达.例5某童装加工企业今年五月份，？工人每人平均加工童装150套，最不熟练的工人加工的童装套数为平均套数的60%为了提高工人的劳动积极性，按照完成外商订货任务，企业计划从六月份起进行工资改革.？改革后每位工人的工资分两部分：一部分为每人每月基本工资200元；另一部分为每加工1套童装奖励若干元.(1

20、)?为了保证所有工人的每月工资收入不低于市有关部门规定的最低工资标准450元，按五月份工人加工的童装套数计算，工人每加工1套童装企业至少应奖励多少元(精确到分)？(2)根据经营情况，企业决定每加工1套童装奖励5元.？工人小张争取六月份工资 不少于1200元，问小张在六月份应至少加工多少套童装？【分析】(1)五月份工人加工的最少套数为150X 60%,若设平均每套奖励x元，则该工人的新工资为(200+150 X 60%x)，由题意得200+150X 60%x450；(2)六月份的工资由基本工资200元和奖励工资两部分组成，？若设小张六月份加工了y套，则依题意可得200+5y1200.【解答】(1

21、)设企业每套奖励x元，由题意得：200+60%X 150 x450.解得：x2.78.因此，该企业每套至少应奖励2.78元；(2)设小张在六月份加工y套，由题意得：200+5y1200，解得y200.【点评】本题重点考查学生从生活实际中理解不等关系的能力，对关键词“不低于”、“至少”、“不少于”的理解是解本例的关键.强化训练一、填空题2.不等式x+3_x的负整数解是 _.23.不等式5x-96x-3的正整数解为 _.5.已知3x+4x-2a+1的解集为x-的x的值中，绝对值不大于10的所有整数之和等于 _.238.小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，？每支钢笔5元，

22、那么小明最多能买_支钢笔.|9某商品的进价是500元，标价为750元，商店要求以利润不低于5%勺售价打折出售，售货员最低可以打_ 折出售此商品.10.有10名菜农，每个可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩，？已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元，乙种蔬菜每亩可收入0.8万元，若要总收入不低于15.6万元，？则最多只能安排 _人种甲种蔬菜.二、选择题11不等式-x-55 B.a=5 C.a-5 D.a=-515.关于x的不等式2x-a0 B.ab0 C.a+b049C. -216.初中九年级一班几名同学，毕业前合影留念，每人交0.70元，一张彩色底片0.68元,扩印一张照片0.50元，每人分一张，将收来的

23、钱尽量用掉的前提下，？这张照片上的同学最少有(A.2个B制作衬衫3件或裤子5条.(1)若该厂要求每天制作的衬衫和裤子数量相等，则应安排制作衬衫和裤子各多少人？(2)已知制作一件衬衫可获得利润30元，制作一条裤子可获得利润16元，？若该厂要求每天获得利润不少于2100元，则至少需要安排多少名工人制作衬衫？21.甲，乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，？各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超岀300元之后，？超岀部分按原价8折优惠；在乙超市 答案:累计购买商品超出200元之后，超过部分按原价8.5折优惠.设顾客预计累计购物(x300).(1)请用含x的代数式分别表示顾客在两

24、家超市购物所付的费用；(2)试比较顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由.x元1.aRSQ B.QSPRP,Q, R,S,如图所示，则他们的体重大小C. SPQR D.SPRQ18某班学生在颁奖大会上得知该班获得奖励的情况如下表:三好学生优秀学生干部优秀团员市级323校级1861223.某零件制造车间有工人20名，？已知每名工人每天可制造甲种零件 且每制造一个甲种零件可获利150元，？每制造一个乙种零件可获利人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，(1)请写岀此车间每天所获利润/(2)若要使每天所获利润不低于合适？y(元)与24000元,6个或乙种零件5个,260元，在这20名工?其余工人制造

25、乙种零件.x(人)之间的关系式；|?你认为至少要派多少名工人去制造乙种零件才24.足球比赛的记分规则为：胜1场得3分，平1场得1分，负1?场得0分，一支足球队在某已知该班共有28人获得奖励，其中只获得两项奖励的有13人，那么该班获得奖励最多的一位同学可能获得的奖励为()A.3项B.4项C.5项D.6项19解下列不等式，并把解集在数轴上表示岀来.,、3x 4 2x 13x 5(1)(2)x-3 -634三、解答题个赛季中共需比赛14场，现已比赛8场，负了1场，得17分，请问：(1)前8场比赛中，这支球队共胜了多少场？(2)这支球队打满了14场比赛，最高能得多少分？(3)通过对比赛情况的分析，这支

26、球队打满14场比赛得分不低于29分，？就可以达到预期目标，请你分析一下，在后面的6场比赛中这支球队至少要胜几场，才能达到预期目标？25.宏志高中高一年级近几年招生人数逐年增加，去年达到550名，？其中面向全省招收的“宏20.王女士看中的商品在甲，乙两商场以相同的价格销售，两商场采用的促销方式不同：在甲商场一次性购物超过100元，超过的部分八折优惠；在乙商场一次性购物超过50元，超过的部分九折优惠，那么她在甲商场购物超过多少元就比在乙商场购物优惠？志班”学生，也有一般普通班学生.由于场地、师资等限制，今年招生最多比去年增加100人，其中普通班学生可以招20% ?“宏志班”学生可多招10%问今年最

27、少可招收“宏志 班”学生多少名？.-1503.x6 4.1,2,3 5.1 6.a-2(2)x7数轴上表示略22.福林制衣厂现有24名制作服装工人，？每天都制作某种品牌衬衫和裤子，每人每天可20.设她在甲商场购物x元(x100),就比在乙商场购物优惠,51由题意得：100+0.8(x-100)150答：她在甲商场购物超过150元就比在乙商场购物优惠.21.(1)在甲超市购物所付的费用是：300+0.8(x-300)=(0.8x+60)元；在乙超市购物所付的费用是：200+0.85(x-200)=(0.85x+30)元.(2) 当0.8x+60=0.85x+30时，解得x=600.当顾客购物60

28、0元时，到两家超市购物所付费用相同；当0.8x+600.85x+30时，解得x300，二300 x600.即顾客购物超过300元且不满600元时，到乙超市更优惠；当0.8x+60600,即当顾客购物超过600元时，?到甲超市更优惠.22.(1)设应安排x名工人制作衬衫，由题意得：3x=5 X( 24-x )x=15/ 24-x=24-15=9答：应安排15名工人制作衬衫，9名工人制作裤子.(2)设应安排y名工人制作衬衫，由题意得：3 X 30y+5 X 16 x( 24-y ) 2100y18答：至少应安排18名工人制作衬衫.23.(1)依题意，得y=150 X 6x+260 X 5 (20-x ) =-400 x+26000 (0 x 24000.解得x29，3x+y12，x+y100.于是(1+10% x110，答：今年最少可招收