导数难点及技巧-导数常用的一些技巧和结论

1、导数难点-导数常用的一些技巧和结论1讨论函数f(x) = 2e2x- (x>0)的零点的个数;X2 .讨论函数/ (x) = e' (1 -疋- 2x) -(7, (x > 0)的零点的个数;3. 讨论函数/(x)T-各，的零点的个数；A4. 讨论函数/(x) = lnx +丄-a,的零点的个数；x5. 讨论函数兀> 0丿二空的零点的个数；6. d S丄时，讨论函数/(x) = lnx-r/x的零点的个数；<1> r(x)+/(x)>0 构=/(x)+/(x)|<2)xf (x) + /(x)>0 构造xf(xj =xf (x)+/(x)

2、<3)y(x)+”(x)no 构造xj(x)' = </ (x) + nx"V(x)=xiLx<(x)+M(xj|(注意对X的符号逬行讨论2.关系式为“减”型（1）/（X）-/（x） 0 构造/（消-几胡_八工）_/（工）(3) xf (x)-n/*(x)> 0 构造（注意对X的符号进行讨论1、111(3； + 1) W XX > 1)2、ex x + l(x G R)3xIna: 2 2® _ " (i 2 1)亿+ 14、In a: W $ 他D (0 V 龙 W 1) 亿+ 15、In w 2 (e 2)(©1

3、)2 x6、In忑 2 y (a? )(0 < x 1)2 (c7、ln(l + x) 2 一-( 2 0)(2027 年全国新课标 1 理 21) U.f(x) = ae2x + (a-2)ex-x.(1) 讨论/(x)的单调性：(2) 若/(x)有两个零点，求Q的取值范围.解析：(1) f (尤)=2°异、+ (d - 2 )a '- 1 =(2"+l)(a" -1)若°50,则/'(x)< 0恒成立，所以/(x)在R上递减；若 a > 0 ,令广(x ) = 0 ,得 e x =a,x=na.当 x < In

4、 a 时，f' ( x ) < 0 ,所以/( x )在 | 一8, In 丄上递减; l 丿当 X>na 时，/' ( A- ) > 0 ,所以 /(A-)在'| In 丄d,+s'| 上递增.(1)fXh-，l，ia<0时.l.i£«： 1iu>o时.f(x)在I In IIa)(2) /(¥)有两个零点，必须满足/(A-)min <0,即 a>0,且/(j)inin =/|II(1I ftl inI ax I上递增.1) 1一 1= 1 一一 In-< 0 构造函数 ( J )

5、= 1 - J - In x , x > 0 易得 g' (x ) = - 1 一丄 v 0 ,所以 g ( x ) = 1 x In x 单调递减.X/八八11m/、1又因为 g(l) = O,所以 1一一一In-<001：| 一 |<g(l )o > 1 oO va v 1 a aI a 丿a下面只要证明当0 vav 1时，/(X)有两个零点即可，为此我们先证明当x>0时，X> inx.事实上，构造函数 h ( x ) = x - In x ,易得 /?1 ( a- ) = 1 -. /. A ( x ) min = /? (1) =1.所以 /

6、 ( x ) > 0 即 x > In x/、a + cci + / £ ° 2、肖 Ovav 1 时，/(- ) = a + a-2+ 1 =(-)>0，13a1其中一】<ln _ In >Jn _ 所以/(x) ft： Iaaa1In73 -a I个牢点.故a的取值范围是(0,1) 注总：取点过程用到了常用放缩技巧。2xx2xx xxx 3 - d(3一方面：ue + (a - 2) r -;v>Ou"0+(a-2 )c - e > 0 <= ae +“-320<= e > uxNin-IaI a另一

7、方ifth x<0 时，aa 2" +( a 2 ) £ 丫一x> 0 u ( a 2 ) a入 一xn0u兀=一1 (目测的)常用的放缩公式(考试时需给出证明过程)（放缩成次函数）Inx <x-h nx<x , ln(l +x)<x< x- (x>l), lnx>丄 x-丄(0<xvl),（放缩成女撇函数）2U第一组：对数放缩1 (Owl)ln.v< x0,ln.v> .V（放缩成二次函数）lnxSx?-x.ln(l + x)<x-"2x2(- I <A-<0), ln(l +.

8、v)>x-"2x2(j>0)(放缩成类反比例函数)lnxhl-丄.lnx>2(x-l) (x>l), lnx<2(x-l)(0<x< 1), Xx+1x+ln(l + a )> x > ln(l +x)> 2x (a >0)> In (1 + x) < 2x (a <0)1 +x + x1 +x第二组：指数放缩（放缩成一次函数）>x+l ,、（放缩成类反比例函数）v < 4 x （ a： < 0）, ex<-x>（JV< 0）（放缩成二次函数）v > 1 +

9、X + 2 X 2 （ X > 0）, A-2 + -6X3v> 1 +X + -2第三组：指对放缩ex-nx>(x+ l)-(x- 1) = 2第四组：三角函数放缩11sin x < x < tan x ( x > 0), sin x>x- x2 » - x2 <cosx<l- sin2 x 2 2 2y = In x , y = -L y = x 2 - x , y=l 一一兀,y = x In x 几个经典函数模型经典模型一：y = 或y =4ftVx(1) a>e时，无零点.f '(x) = x-a , /(

10、 a- )max =/ 11a ) = In丄& 一 1 V 0 .(2) 。= 一£时，1个零点./'(x)=丄_丄，/ (x) max =f(e) = ne - 1=0.x e(3) 当0<d<_L时，2个零点.(I、/(l) = _a<0 (目测),fl=ln11 - aj16/1a1<1= 0,其中1 <va(放缩)1 一“ 1 一" 1-6/1- a1- a(I11(1、1/i I"- _ii “I -) a a I a ) a (4)当“5 0时，个零点.-a <0 9 H1!1 _>e<

11、jnff7 in.r<x> I)f'(x)=-x-a>0 ,单调递增./(1) = -«>0 ,（以、(以(1 fl e a=1 « +-ae a <1 «+ 1I >Ia )I a)« ( 1、 1=1-m+<0 e ) a【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例1： /（x） = InA-av1讨论/( a ) = In x - hkJJx 的零点个数(令 ffx = t, 2 = d)：2.讨论/(x ) = x- m In x的零点个数(令F?' = a )：3.讨论 f( x )

12、= X/xIn x - mx的零点个数(考虑g(x):4.讨论/(x) =In .v3的零点个数（考虑g（X）=Vj/（A ）,令/ =心，-m=a)；5.讨论/( x ) = In x - mx1 的零点个数(令 f = " , 2m = a ):6.讨论/（x） = q “的零点个数（令）经典模型二：.v = - y = -XX(1) a<0时，1个零点.M = ex> 0 , /( x ) = e x - cix 单调递增.1/(0)=1-&>0m 一i<o所以丿丄o)上有一个零知d = O时，无零点.(3)时，无零点./( x ) min =/

13、( In «) = «(! - In « ) > 0 ；(4)时，2个零点./l I5丿-l>0,/(l) = e-fz<0 , /( 2 In a ) = t/ (6/-2 In 6/) >« ( - 2 ) > 0.【变式】(经过换元和等价变形之后均可以转化到例题2： f(x) = ex-ax):1. 讨论/= 0的零点个数(令2x = t, 2 = «):pH72讨论/(x)=-i 一 的零点个数(去分母后与1等价；X 73 讨论f(x) = ex 一/7工的零点个数(移项平方后与1等价：4. 讨论f(x)

14、= ex + mx2的零点个数(移项开方后换元与1等价：5. 讨论f(x) = e x一 mx的零点个数(乘以系数e,令em = a )：In x6讨论/(x) = % 一 的零点个数(令x = e!，转化成2)7.讨论 f(x) = e A +1 - mx + nt 的零点个数(令 x - =rr e 2=a)：经典模型三：y = a In x或y = xex成都市色帝路186号英伦二期四堰3单元205 （成外校区）(1) a>0时，1个零点./ (x) = x 2> 0 , / ( X ) = In x - x 单调递增./(0 = -/、/、- u1a-n<0, /(I

15、+t7)= ln(l+npH + ZFT-TT <7-1+ d = 0(2) a = 0时，1个零点(M)=1)(3) a<-e时，无零点广(x)丿J"严T /( x ) min=/( 一 d) = ln (-。)+1>0(4) d =-丄£时，1个零点.Xo = e f(x )min = f = In + 1=0 e ) e(5) 一一£<d<0时，2 个零点.f(a i) = lna 1.L |_ !. = -« > 0. /il) = - -ea<0 , /(l) =-«>0 ,a I -a) aI e)【变式】(经过换元和等价变形之后均可以转化到例題3： /(.v) = ln.r-):Zv = f )2讨论/( x ) = X - a In x的零点个数:2. 讨论/( x ) = m +4 In x的零点个数(考虑<?(%) =3讨论f(x)=xlx的零点个数(令0“ =)；4.讨论= " -的零点个数;找点问题中的常见函数模型之间的关系令;ry = xev = ,v = -v In v令 e¥=/平方令x = &取倒数取倒数令wd式取倒数； y =令x«l