导数常见题型与解题方法总结15430

1、导数题型总结1、分离变量 用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0 )2、变更主元 已知谁的范围就把谁作为主元3、根分布 4、判别式法 结合图像分析5、二次函数区间最值求法 (1)对称轴(重视单调区间)与定义域的关系( 2)端点处和顶点是最值所在 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立 此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令 f '(x) 0 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知；第三种：变更主元(即关于某字母的一次函数) (已知谁的范围就把谁作为主元) 。例1：设函数 y f(x)在区间 D 上的导数为 f (x

2、)， f (x)在区间 D 上的导数为 g (x) ，若在区间 D 上， g(x) 0恒成立，则称函数 y f(x) 在区间 D 上为“凸函数”，已知实数 m 是常数，f(x)x4 mx3 3x212 6 21)若 y f(x)在区间 0,3 上为“凸函数” ，求 m的取值范围； 2)若对满足 m 2的任何一个实数 m，函数 f (x) 在区间 a,b 上都为“凸函数” ，求 b a的最大值.2mx3x24 3 2 3 x mx 3xx解:由函数 f (x) 得 f (x)12623g(x) x2 mx 3(1)y f (x) 在区间 0,3 上为“凸函数”则 g(x) x2 mx 3 0 在

3、区间 0,3 上恒成立解法一：从 二次函数的区间最值 入手：等价于 gmax (x) 0g(0) 0 3 0g(3) 0 9 3m 3 0m2)求函数 f( x)的单调区间和极值；1,b R)2再等价于 F(m) mx x2 3 0 在 m 2 恒成立解法二：分离变量法：当 x 0 时, g(x) x2 mx 3 3 0恒成立 , 当 0 x 3时 , g(x) x2 mx 3 0恒成立x2 3 3等价于 m x 的最大值( 0 x 3 )恒成立，xx 3而 h(x) x ( 0 x 3)是增函数，则 hmax ( x) h(3) 2 xm2(2)当 m 2时 f (x)在区间 a,b 上都为

4、“凸函数”则等价于当 m 2时 g(x) x2 mx 3 0 恒成立变更主元法 视为关于 m 的一次函数最值问题)22x x2 3 02 1 x 12x x2 3 0)若对任意的 x a 1,a 2, 不等式 f (x) a恒成立，求 a的取值范围 .解：() f (x)x2 4ax 3a2x 3a x a令f (x) 0,得f (x)的单调递增区间为( a,3a)令f (x) 0,得f (x)的单调递减区间为(，a)和( 3a，+ )33当 x=a 时， f (x)极小值=a3 b; 当 x=3a时， f (x)极大值=b.4)由 | f (x) | a，得：对任意的 x a 1,a 2,

5、a x2 4ax 3a2 a恒成立gmax(x) a 则 等 价 于 g(x) 这 个 二 次 函 数 maxgmin (x) a0 a 1, a 1 a a 2a (放缩法)22g(x) x2 4ax 3a2 的 对 称 轴 x 2ag(x) 这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。即定义域在对称轴的右边，a2g(x) x2 4ax 3a2在a 1,a 2 上是增函数 . g(x)max g(a 2) 2a 1.g(x)min g(a 1) 4a 4.于是，对任意 x a 1,a 2 ，不等式恒成立，等价于g(a 2) 4a 4 a,解得 4g(a 1) 2a 1 a 5a 1.4 又

6、 0 a 1, a 1.5点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴(重视单调区间)与定义域的关系例 3：已知函数 f(x) x3 ax2 图象上一点 P(1,b)处的切线斜率为 3，3 t 6 2 g(x) x3x2 (t 1)x 3 (t 0)2()求 a,b 的值；)当 x 1,4 时，求 f(x) 的值域；)当 x 1,4 时，不等式 f (x) g(x)恒成立，求实数 t 的取值范围。/ 2f / (1) 3 a 3解：() f /(x) 3x2 2ax ， 解得b 1 a b 2()由()知， f(x)在 1,0上单调递增，在 0,2 上单调递减，在 2,4 上单调递减又 f ( 1)

7、 4, f (0) 0, f (2) 4, f (4) 16 f(x) 的值域是 4,16 t2()令 h(x) f (x) g(x)x2 (t 1)x 3 x 1,42思路 1：要使 f(x) g(x)恒成立，只需 h(x) 0，即 t(x2 2x) 2x 6分离变量思路 2： 二次函数区间最值二、参数问题1、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法 1：转化为 f '(x) 0或f '(x) 0 在给定区间上恒成立， 回归基础题型解法 2： 利用子区间(即子集思想) ；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区 间的子集；做题时一定要看清楚“在(

8、 m , n)上是减函数”与“函数的单调减区间是( a , b)”，要弄清楚两句话的区 别：前者是后者的子集1 3 a 1 2例 4：已知 a R，函数 f (x) x3x2 (4a 1)x 12 2()如果函数 g(x) f (x) 是偶函数，求 f (x) 的极大值和极小值；()如果函数 f (x)是 ( ,)上的单调函数，求 a的取值范围12解： f (x) 求实数 k 的取值范围； x2 (a 1)x (4a 1) .41 3 1 2() f (x)是偶函数， a1.此时 f(x) x3 3x， f (x)x2 3，12 4 令f (x) 0，解得： x 2 3.列表如下：x(,2 3

9、 ) 2 3(2 3,2 3 )23(2 3 ,+ )f (x)+00+f (x)递增极大值递减极小值递增可知： f (x)的极大值为 f( 2 3) 4 3，f ( x)的极小值为 f(2 3) 4 3.()函数 f (x) 是 ( ,) 上的单调函数，12f (x)x2 (a 1)x (4a 1) 0 ，在给定区间 R上恒成立判别式法2 1 2则 (a 1)2 4 (4a 1) a2 2a 0，解得： 0 a 2.4综上，a的取值范围是 a0 a 2 .1 3 1 2例 5、已知函数 f(x)x3(2 a)x2 (1 a)x(a 0).32(I)求 f(x) 的单调区间；II)若 f (x

10、)在0，1上单调递增 ，求 a的取值范围。 子集思想解：(I) f (x) x2 (2 a)x 1 a (x 1)(x 1 a).1、 当a 0时, f (x) (x 1)2 0恒成立 ,当且仅当 x 1 时取“ =”号， f (x)在( , ) 单调递增。2、 当a 0时,由 f (x) 0,得x11,x2 a 1,且x1 x2,单调增区间： ( , 1),(a 1, )单调增区间： ( 1,a 1)II)当 f ( x)在0,1上单调递增 , 则 0,1 是上述增区间的子集：1、a 0时， f (x)在( , ) 单调递增 符合题意2、 0,1 a 1, ， a 1 0 a 1 综上， a

11、 的取值范围是 0， 1。2、题型二：根的个数问题题 1 函数 f(x) 与 g(x) (或与 x 轴)的交点，即方程根的个数问题解题步骤第一步： 画出两个图像即“穿线图” (即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后 减再增”还是“先减后增再减” ；第二步： 由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组) ；主要看极大值和极小值与 0 的关系； 第三步： 解不等式(组)即可。1 3 (k 1) 2 1例 6、已知函数 f(x) x3x2， g(x)kx，且 f(x) 在区间 (2, )上为增函数3 2 3 12) 若函数 f(x)与 g( x)的图象有三个不同的交点，求实数k的

12、取值范围解：( 1)由题意 f (x) x2 (k 1)x f (x)在区间 (2, )上为增函数，2f (x) x2 (k 1)x 0在区间(2, )上恒成立(分离变量法)即 k 1 x 恒成立，又 x 2 ， k 1 2 ，故 k 1 k 的取值范围为 k 13(2)设 h(x) f (x) g(x) x (k 1) x 2 kx 1 ，3 2 3h (x) x2 (k 1)x k (x k)(x 1)令h(x) 0得x k或x 1由(1)知 k 1，当k 1时， h(x) (x 1)2 0，h(x)在 R上递增，显然不合题意当 k 1时， h(x)，h(x)随 x的变化情况如下表：x(

13、,k)k(k,1)1(1, )h (x)00h(x)极大值32 kk16 2 3极小值k12由于k 1 0，欲使 f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点， 即方程 h(x) 0有三个不同的实根，232 需 k k62120，即 (k 1)(k 2 2k 2) 0 k12 ，解得 k 1 3 k 2 2k 2 0综上，所求 k 的取值范围为 k 1 3根的个数知道，部分根可求或已知。1例 7、已知函数 f(x) ax x2 2x c2(1)若 x 1是 f (x)的极值点且 f ( x)的图像过原点，求 f ( x)的极值；12(2)若 g(x)bx2 x d ，在( 1)的条件下，是否存在实

14、数 b ，使得函数 g(x) 的图像与函数 f (x) 的2图像恒有含 x 1的三个不同交点？若存在， 求出实数 b的取值范围； 否则说明理由。 解：( 1) f(x) 的图像过原点，则 f (0) 0 c 02f (x) 3ax2 x 2 ，又 x1是 f ( x)的极值点，则 f ( 1) 3a 1 2 0 a 1f (x) 3x2 x 2 (3x 2)(x 1) 0f极大值 (x)f ( 1)f 极小值 (x ) f)2(2)设函数 g(x) 的图像与函数f (x) 的图像恒存在含 x1的三个不同交点，1 等价于 f(x) g(x)有含 x 1的三个根，即： f( 1) g( 1) d

15、1(b 1)23 1 2 1 2 1 x3x2 2xbx2 x (b 1)整理得：2 2 23 1 2 1 即： x3(b 1)x2 x (b 1) 0 恒有含 x 1 的三个不等实根223 1 2 1 h(x) x3(b 1)x2 x (b 1) 0 有含 x 1的根，22则h(x) 必可分解为 (x 1)(二次式) 0，故用 添项配凑法因式分解，3 2 2 1 2 1x3 x2 x2(b 1)x2 x (b 1) 022x2(x 1) 1(b 1)x2 x 1 (b 1) 022x2(x 1) 1 (b 1)x2 2x (b 1) 0十字相乘法分解：(x 1)12(b 1)x 12x2(x

16、 1) 1 (b 1)x (b 1) x 1 0 (b 1)3 1 2 1x3(b 1)x2 x (b 1) 0 恒有含 x 1的三个不等实根222 1 1等价于 x2(b 1)x (b 1) 0 有两个不等于 -1 的不等实根。221 2 1(b 1)2 4 (b 1) 0 424 2 b ( , 1) ( 1,3) (3, ) 2 1 1( 1)2 (b 1) (b 1) 022题 2 切线的条数问题，即以切点 x0 为未知数的方程的根的个数例 7、已知函数 f(x) ax3 bx2 cx在点 x0处取得极小值 4，使其导数 f '(x) 0的 x的取值范围 为(1,3) ，求：(

17、 1) f ( x)的解析式；( 2)若过点 P( 1,m)可作曲线 y f ( x )的三条切线，求实数 m的取 值范围2( 1)由题意得： f '(x) 3ax2 2bx c 3a(x 1)(x 3),(a 0)在( ,1)上 f'(x) 0；在(1,3)上f '(x) 0 ；在(3, )上 f'(x) 0因此 f (x) 在 x0 1处取得极小值 4 a b c 4， f '(1) 3a 2b c 0 ， f '(3) 27a 6b c 0 a1 由联立得： b 6 ， f(x) x3 6x2 9xc9(2)设切点 Q(t, f(t)， y

18、 f(t) f ,(t)(x t)2 3 2 y ( 3t2 12t 9)(x t) ( t3 6t 2 9t)( 3t 2 12t 9)x t(3t2 12t 9) t(t2 6t 9)( 3t2 12t 9)x t(2t2 6t)过 ( 1,m)2 3 2 m ( 3t2 12t 9)( 1) 2t3 6t 2 g(t) 2t3 2t 2 12t 9 m 0 令 g'(t) 6t2 6t 12 6(t2 t 2) 0， 求得： t 1,t 2 ，方程 g(t) 0 有三个根。g( 1) 0 2 3 12 9 m 0 m 16 需：g(2) 0 16 12 24 9 m 0 m 11

19、故： 11 m 16 ；因此所求实数 m的范围为： ( 11,16)题 3 已知 f(x) 在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数解法： 根分布或判别式法解：函数的定义域为R （）当m 4 时，f (x) 31x3 72x210x，f (x) x27x10，令 f (x) 0 ， 解得 x 5,或 x 2.令f (x) 0 ， 解得2 x 5可知函数 f（x）的单调递增区间为 （ ,2） 和（ 5，），单调递减区间为 2,5 （） f （x） x2 （m 3）xm 6,要使函数 yf （x）在（ 1，）有两个极值点 , f （x） x2（m3）x m 6=0 的根在（ 1，）根分布问

20、题：2(m 3)2 4(m 6) 0;则 f (1) 1 (m 3) m 6 0; ，解得 m> 3m321.例 9、已知函数 f(x) a x3 1 x2 ，32（a R,a 0）（1）求 f （ x）的单调区间；142)令 g(x) x4f(x)4xR）有且仅有 3 个极值点，求 a的取值范围解：(1) f '(x) ax2 x x(ax 1)' 1 ' 1当 a 0时，令 f '(x) 0解得 x 或x 0，令 f '(x) 0解得 x 0， aa11所以 f ( x)的递增区间为 ( , 1) (0, ) ，递减区间为 ( 1,0).aa当

21、 a 0时，同理可得 f (x) 的递增区间为 (0， 1) ，递减区间为 ( ,0) ( 1, ) . aa1 4 a 3 1 2(2) g(x)x4x3x2有且仅有 3 个极值点432g(x) x3 ax2 x x(x2 ax 1)=0有 3个根，则 x 0或 x2 ax 1 0，a2方程 x2 ax 1 0 有两个非零实根，所以a2 4 0,a2 或 a 2而当 a2或 a 2时可证函数 y g(x)有且仅有 3 个极值点其它例题：1、(最值问题与主元变更法的例子) .已知定义在 R上的函数 f (x) ax3 2ax2 b(a 0)在区间 2,1 上的最大值是 5，最小值是 11.()

22、求函数 f (x) 的解析式；()若 t 1,1时， f (x) tx 0 恒成立，求实数 x的取值范围 .解：() f (x) ax3 2ax2 b, f '(x) 3ax2 4ax ax(3x 4) 令 f'(x)=0,得 x1 0,x2 4 2,13因为 a 0 ，所以可得下表：x2,000,1f'(x)+0-f (x)极大因此 f (0)必为最大值 ,f(0)5因此b 5， f(2) 16a 5,f(1) a5, f(1) f(2)，即 f ( 2) 16a 5 11， a 1 ， f (x) x3 2x2 5.) f (x) 3x2 4x， f (x) tx

23、0 等价于 3x2 4x tx 0 ，令 g(t) xt 3x2 4x ，则问题就是 g(t) 0在 t 1,1上恒成立时，求实数 x的取值范围，为此只需g( 1) 03x2 5x 0，即 2g(1) 0x2 x 0解得 0 x 1，所以所求实数 x的取值范围是 0 ，1.2、(根分布与线性规划例子)2已知函数 f (x)x3 ax2 bx c3(0, 1)处的切线与直线 3x y 0平行 , 求() 若函数 f(x)在 x 1时有极值且在函数图象上的点f (x) 的解析式；() 当 f(x)在x (0, 1)取得极大值且在 x (1, 2)取得极小值时 , 设点M(b 2, a 1)所在平面

24、 区域为 S, 经过原点的直线 L 将 S 分为面积比为 1:3 的两部分 , 求直线 L 的方程 .解： (). 由 f (x) 2x2 2ax b, 函数 f(x)在 x 1时有极值 ,2a b 2 0 f(0) 1 c 1又 f(x)在 (0, 1)处的切线与直线 3x y 0平行,1f (0) b 3 故 a 12f(x) 2 x331 x223x 1. 7分3B( 2, 1), C(2, 2), D(0, 1), E(0, 32)易得 A( 2,() 解法一 : 由 f (x) 2x2 2ax b 及 f (x) 在 x (0, 1)取得极大值且在 x (1, 2)取得极小值f (0

25、) 0b0xb2f (1) 0即 2a b 2 0令 M (x, y) ,则y a 1f (2) 04a b 8 0x 2 0y 1 2y x 2 0 故点 M 所在平面区域 S 为如图 ABC,x24y x 6 00),S ABC 21同时 DE 为 ABC 的中位线 , S DECS四边形 ABEDDEC 3 ABED所求一条直线 L 的方程为 : x 0另一种情况设不垂直于x 轴的直线 L 也将 S 分为面积比为 1:3AC,BC分别交于 F、 G,则 k 0, S四边形 DEGF 1y kx2y x 2 0得点 F 的横坐标为 : xF2k 1y kx4y x 6 0得点 G 的横坐标

26、为 : xG64k 1S四边形 DEGF SOS 1 3GE S OFD2 2 4k 1 2 2k 121即 16k2 2k 5 01解得 : k 或2(舍去) 故这时直线方程为 : y 1 x2综上 ,所求直线方程为 :.12 分2() 解法二 : 由 f (x) 2x2 2ax b 及 f (x) 在 x (0, 1)取得极大值且在x (1, 2) 取得极小值 ,f (0) 0 f (1) 0f (2) 0b02a b 2 04a b 8 0令M (x,y) , 则xb2ya1x 2 02y x 24y x 60 故点 M 所在平面区域0S 为如图ABC,易得 A( 2,0),B( 2,1

27、),C(2, 2), D(0, 1),3E(0,32), S ABC 2同时 DE 为ABC 的中位线 , S DEC13 S四边形ABED所求一条直线 L的方程为 : x 0另一种情况由于直线BO 方程为y 1 x, 设直线 BO 与 AC 交于 H ,2由2y1 yx2x20得直线 S ABC 2,121221 1 1OH21222 2 2L 与 AC 交点为 : H( 1, 1)2 所求直线方程为 :x0或y3、(根的个数问题) 已知函数 f(x)ax3 bx2 (c 3a 2b)x d (a 0) 的图象如图所示。)求 c、d 的值；)若函数 f(x) 的图象在点 (2,f(2) 处的

28、切线方程为 3x y 11 0 ，求函数 f ( x ) 的解析式；)若 x0 5,方程f(x) 8a 有三个不同的根，求实数 a的取值范围。解：由题知： f (x) 3ax2 2bx+c-3a-2b)由图可知函数 f ( x )的图像过点 ( 0 , 3 )，且 f 1 = 0得 3da 32b c 3a 2b 03a 2b c 3a 2b 0d3）依题意12a 4b 3a 2b 3解得 a = 1 , b = 68a 4b 6a 4b 3 532所以 f ( x ) = x3 6x2 + 9x + 3 ()依题意f ( x ) = ax3 + bx2 ( 3a + 2b )x + 3 (

29、a>0 )2 f x = 3ax2 + 2bx 3a 2b由 f 5= 0 b = 9a若方程 f ( x ) = 8a有三个不同的根，当且仅当满足 f ( 5 )<8a<f ( 1 ) 1由 得 25a + 3<8a<7a + 3<a<3111所以 当 <a<3时，方程 f ( x ) = 8a有三个不同的根。12分1114、(根的个数问题) 已知函数 f (x)x3 ax2 x 1(a R)3( 1)若函数 f(x)在x x1,x x2处取得极值，且 x1 x2 2，求 a的值及 f (x)的单调区间； 11 2 5(2)若 a，讨论曲线 f (x) 与 g(x)x2 (2a 1)x ( 2 x 1)的交点个数22 6解：(1) f'(x) x2 2ax 1x1 x2 2a,x1 x21x1 x2(x1 x2)2 4x1x24a2 4 2a 0 2 分 f (x) x2 2ax 1 x2 1 令f (x) 0得x1,或x 1令f (x) 0得 1 x 1 f (x)的单调递增区间为 ( , 1) ， (1, ) ，单调递减区间为 ( 1,1) 5 分3 2 61 3 1 2 1 即 x3 (a)x2 2ax 03 2 6令 (x) 1 x3 (a 1)x2 2ax 1 (