2.1.1向量的物理背景与概念及向量的几何表解析

1、2.1.12.1.1 向量的物理背景与概念及向量的几何表示教学目标:1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单 位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力教学重点： 理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量教学难点： 平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.学 法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概

2、念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念 教学思路：一、情景设置:如图，老鼠由 A 向西北逃窜，猫在 B 处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.分析：老鼠逃窜的路线 AC、猫追逐的路线 BD 实际上都是有方向、有长短的量.引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向?、新课学习:（一）_向量的概念：（二） 请同学阅读课本后回答：（7 个问题一次出现）1、 数量与向量有何区别？（数量没有方向而向量有方向）2、 如何表示向量？3、 有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、 长度为零的向量叫

3、什么向量？长度为1 的向量叫什么向量？5、 满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、 有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7、 如果把一组平行向量的起点全部移到一点0,这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？（三）探究学习1、数量与向量的区别:2. 向量的表示方法：向量与有向线段的区别：4、零向量、单位向量概念：5、平行向量定义：四）理解和巩固：例 1 书本 75 页例 1.例 2 判断：（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）（2）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（3）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平

4、行向量）课堂练习 ：书本 77 页练习 1、 2、3 题三、小结 ：1、 描述向量的两个指标：模和方向2、平面向量的概念和向量的几何表示； 3、向量的模、零向量、单位向量、平行向量等概念。2.1.22.1.2 相等向量与共线向量教学目标： 1.掌握相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量2通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别3通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.教学重点：理解并掌握相等向量、共线向量的概念，教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.教学思路：一、情景设置：（一）、复习:1、数量与

5、向量有何区别？（数量没有方向而向量有方向）2、如何表示向量？ 3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么向量？长度为 1的向量叫什么向量？ 5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点 0,这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系?（二）、新课学习 1、有一组向量，它们的方向相同、大小相同，这组向量有什么关系?2、任一组平行向量都可以移到同一直线上吗？这组向量有什么关系？三、探究学习1、相等向量定义:2、共线向量与平行向量关系:

6、四、理解和巩固：例 1 如图，设 0 是正六边形 ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量0A、OB、0C相等的 向量变式一：与向量0A长度相等的向量有多少个？变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？变式三：与向量共线的向量有哪些？例 3 下列命题正确的是()A. a与b共线，b与c共线，则a与 c 也共线B. 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C. 向量 a与 b 不共线，则 a与 b都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行课堂练习：1 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由|向量AB与CD是共线向量，则 A、B、C、D 四点必在一直线上；单位向量都相

7、等；任一向量与它的相反向量不相等；四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当AB=DC一个向量方向不确定当且仅当模为0;共线的向量，若起点不同，则终点一定不同2 .书本 77 页练习 4 题三、小结：1.描述向量的两个指标：模和方向 2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单 类比3、共线向量与平行向量关系、相等向量。例 2 判断：(1) 不相等的向量是否一定不平行？(3 )两个非零向量相等的当且仅当什么?(2)与零向量相等的向量必定是什么向量?(4)共线向量一定在同一直线上吗？()a,BC= b ,b 的和，记作贝 U 向量AC叫做 a与aa + b ,即 a + b-2.2.1 向量的加法运算

8、及其几何意义教学目标：1.掌握向量的加法运算， 并理解其几何意义；2会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；3通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算， 渗透类比的数学方法；教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.教学难点：理解向量加法的定义教学思路：一、设置情景：1、复习：向量的定义以及有关概念强调：向量是既有大小又有方向的量长度相等、方向相同的向量相等 因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何2

9、、情景设置:(1)某人从 A 到 B,再从 B 按原方向到 C，则两次的位移和：AB BC二AC(2)若上题改为从 A 到 B，再从 B 按反方向到 C，则两次的位移和：AB BC二AC(3)某车从 A 到 B,再从 B 改变方向到 C，则两次的位移和：AB BC二AC2、三角形法则首尾相接， 首尾连”)如图，已知向量a、b 在平面内任取一点A，作AB=a-b-探究：（1）两向量的和与两个数的和有什么关系？两向量的和仍是一个向量;什么时候时，|a+b|a|+|b|；什么时候 |a+b|=|a|+|b|,什么时候 |a+b|=|a|b|,（3）“向量平移”（自由向量）：3 .例一、已知向量a、b

10、，求作向量a+b4加法的交换律和平行四边形法则6由以上证明你能得到什么结论?三、应用举例：例二（P8384）略=AB BC = AC,规定:a + 0-= 0 + a问题：上题中b+a的结果与a+b是否相同?验证结果相同从而得到：1）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）2）向量加法的交换律:a+b=b+a5 .你能证明：向量加法的结合律:(a+b) +c=a+(b+c) 吗？2.3km/ h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行速度的大小为4km/h，求水流的速度变式 2、一艘船从 A 点出发以v1的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为v2，船的实际航行的速度的大小为

11、4km/h，方向与水流间的夹角是 60，求vi和V2.练习：P84 面 1、2、3、4 题变式 1、一艘船从 A 点出发以作法：在平面内取一点 0,四、小结1、向量加法的几何意义；2、交换律和结合律；3、|a+b|w |a| + |b|,当且仅当方向相同时取等号五、思考：你能用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？2.2.2 向量的减法运算及其几何意义教学目标：1.了解相反向量的概念；2掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；3通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物间可以相互转化的辩 证思想教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法教学

12、难点：减法运算时方向的确定教学思路：一、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则，向量加法的运算定律：例：在四边形中，CB BA AD二二、 提出课题：向量的减法1.用相反向量”定义向量的减法(1)“相反向量”的定义： _(2)规定：零向量的相反向量仍是零向量 .-(-a) = a.任一向量与它的相反向量的和是零向量a + (-a) = 0 如果 a、b 互为相反向量，则 a = -b, b = -a,a + b = 0(3)向量减法的定义：2.用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算: 若 b + x = a，贝 U x 叫做 a 与 b 的差，记作 a - b

13、3. 求作差向量：已知向量 a、b,求作向量 a - b/ (a -b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a作0A= a,AB= b即 a -b 可以表示为从向量注意：1AB表示 a - b.强调：差向量“箭头”指向被减数4. 探究：1） 如果从向量 a 的终点指向向量 b 的终点作向量，那么所得向量是 _2） 若 a / b,如何作出 a b ?aa-ba-bOBABOBAab* *OA_bB三、例题:变式三：a+b 与 a-b 可能是相等向量吗？（不可能，T对角线方向不同）例3.如图， 已知一点O到平行四边形ABCD 的三个顶点A、B、C 的向量分别为 a、b、c

14、, 试用向量 a、bc表示 OD.a-b*- -BO例一、（P86 例三）已知向量a、b、c、d,求作向量 a-b、c-d.例二、平行四边形ABCD中，AB变式一：当 a, b 满足什么条件时,a+b 与 a-b 垂直？|a | =|b|）变式二：当 a, b 满足什么条件时,|a+b| = |a-b|?（ a, b 互相垂直）2 用“相反向量”定义法作差向量，a -b = a + （-b）b练习：1。P 87 面 1、2 题2.在厶 ABC 中，BC= a,CA=b，则AB等于(2.2.3 向量数乘运算及其几何意义教学目标：（1）掌握向量数乘运算，并理解其几何意义；（2）培养数形结合解决问题

15、的能力；（3） 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比， 使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律, 并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法一、情境设计：1. 复习：向量的加法运算和减法运算定义以及有关概念2. 情景设置：二、探索研究：探究 1:阅读课本 P87 -88,回答下列问题：1._ 向量的数乘的定义： _2._向量数乘的几何意义： _3.向量的数乘满足的运算律:探究 2： （ 1）若 b= a，a 与 b 有什么关系呢？（2）若 a 与 b 共线，能否得到 a 与 b 的一个关系呢？4 .共线定理： _5.平面向量的线性运算（1） _称为线性运算。A. a+bB.-a+(-bC a

16、-b对任意向量a,b,以及任意实数、恒有：爲_爲）141三、例题:例 1、化简: g 2(2a 8b) _4(4； 2 石练习：课本 P88 例 5求OC、OD.（见成才之路 P48 例 4）(A)A,B,D (B)A,B,C (C)B,C,D (D)A,C,D例 2、已知O-30=36, C、D 是 AB 的三等分点,1例 3、 如图，在平行四边形 ABCD 中,点 M 是 AB 的中点，点 N 在 BD 上且 BN = BD.3 求证：M、N、C 三点共线定共线的三点是（）四、小结:向量答案：2.1.12.1.1 向量的物理背景与概念及向量的几何表示（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向

17、的量叫向量。1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不 能比较大小.2向量的表示方法：用有向线段表示；用字母 a、b （黑体，印刷用）等表示；用有向线段的起点与终点字母：AB;向量AB的大小一长度称为向量的模，记作|AB|.3有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是 相同的向量； （2 ）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也 是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：长度

18、为0 的向量叫零向量，记作 0. 0 的方向是任意的. 注意 0 与 0 的含义与书写区别.长度为 1 个单位长度的向量，叫单位向量 .说明：零 向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定 0 与任一向量平行.说明：（1）综合、才是平行向量的完整定义；（2）向量a、b、c平行，记作a/b/c.向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个 要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：长度为 0 的

19、向量叫零向量，记作 0. 0 的方向是任意的. 注意 0 与 0 的含义与书写 区别.长度为 1 个单位长度的向量，叫单位向量 .说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了 大小.5、平行向量定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定0 与任一向量平行.说明：（1）综合、才是平行向量的完整定义；（2）向量a、b、c平行，记作a/b/c.例 2 （1）（不一定）（2）（零向量）（3）（平行向量）2.1.22.1.2 相等向量与共线向量1、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量说明：（1）向量a与b相等，记作a=b; （2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非 零向量，都可用

20、同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关2、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，因为任一组平行向量都可移到同一直线 上（与有向线段的起点无关）.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位 置关系；（2 ）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系变式一：11 变式二：存在变式三：CB, DO,FE例 2 ,一判断：1.4 4_上不一定 2.零向量 3.长度相等且方向相同 4.不一定 例3 解：由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以 B 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以 D 不正 确；对于 C,其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若a与 b 不都是非零向量，即 a 与