概率论复习PPT

1、随机试验的概念 随机数学是从数量侧面研究随机现象规律性的数学分支。 科学研究要进行科学试验； 研究随机现象也要进行随机试验。 随机试验 观察一定综合条件的实现。 条件实现就完成了一次试验）观察目的不同，试验的结果就不同；试验的条件不同，试验的结果也就不同。 2 )( 21 )( )( )( 1 2 2 10 2 21012182221012182221012181112210121822CCCCDCCCCCCCCCCBCCCCA是第二次取到次品的概率件，作不放回抽样，则次任取次，每件次品，在其中取件产品中有已知在、111152321111111152325232441212 2 5 2 3 2

2、 4 1 1111 ( ) ( ) 523212 11 10 94 ( ) ( ) C C C CABC C C CC C C CCDCC、盒子中有个红球，个白球，个黄球，个黑球，在其中取次，每次任取件，作不放回抽样，则红球，白球，黄球，黑球都取到的概率是！ 101015253752 1 2p三（ 分）设有来自三个地区的各名，名和名考生报名表，其中女生的报名表分别为 份，份，和 份，随机地取一个地区的报名表，从中先后取出 份，、求先抽到的一份是女生表的概率 ；、已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率。 5 4 例 从双鞋子中任取只，求至少有两只配对的概率。 () nk kn例一

3、列火车有节车厢，站台上有位旅客，每位旅客随机地进入一节车厢，求每节车厢至少有一位旅客的概率。基本结论的应用111 ()()()916251 1 1 9()36 ( )_ABABBAP AP ABP ABP ABP AB、设两个相互独立的随机事件和都不发生的概率为 ，发生不发生的概率与 发生 不发生的概率相等，则。 1 , , ( )( )( ),9 () ( ) 16311 ( ) ( ) ( ) () 1 92 () ()1639 () (25 442A B CP AP BP CABCP ABCP AABCDP ABCP ABCP ABCP AB、设两两相互独立的随机事件满足条件且已知,则的

4、最大值为12)25C全概率公式和Bayes公式12112 1.5 , 1 2 , ,niiijnEA AAEAA AijA AA 全概率公式和贝叶氏公式是概率论中两个十份重要的公式，在叙述这两个公式之前，我们先介绍样本空间划分的概念。定义设是随机试验的样本空间，为的随机事件，若满足：则称是完备事件组。112 , ()0,1 ,2, ( )() )niiiiA AAPP BP AAiP BBA全概率公式：设随机事件组， 是的一组可列无穷划分，。则对任一随机事件 ，有112() () () 1, 2, () () () : , ()0 (1, 2, ),iiiiiiinBayesP A P B A

5、P A BiP A PA AAP AiBB A贝叶氏公式设是样本空间的一组可列无，穷划分，则为二等品的概率。个零件均则安装在该设备上的超过若已知设备寿命、的概率；超过设备寿命、求：的指数分布服从参数命二等品，则该设备的寿个个零件中有若个安装在一台设备上，中任取个二等品，从个一等品，其中个零件，有分三、（ 2 , 1 2 1 1 , 1 ) 2 , 1 , 0( 2 2 10 90 100 )10 XXiXii08-09(二）小时的概率。的寿命小于则安装的元件设备在一年内出故障，若已知安装此种元件的、一年内出故障的概率；安装此种元件的设备在、，求：概率为设备在一年内出故障的小时，元件的寿命超过内

6、出故障的概率为小时之内，设备在一年元件寿命在故障的概率为小时，设备在一年内出若元件的寿命小于据以往统计资料显示，设备安装此种元件，根密度为（以小时计）的概率寿命某厂生产的电子元件的分三、（ 100 2 1 0.1 , 150 0.3 150100 0.6, 100 0, 00, 01. 0)( )10 01. 0 xxexfXx08-09（三）。、的分布函数；求、；求、求：记的概率密度为的分布律为相互独立且设随机变量分）五、（),( 3 2 )021( 1 , , 010 , 1)( 7 . 03 . 010 , 12 ZXCovZXZPYXZyyfYPXXYX08-09（二）。、；的分布函数

7、求、；求、求：记其分布函数为服从标准正态分布的分布律为相互独立且设随机变量分）五、（DZzFZXZPXYZxNYPXXYXZ 3 )( 2 ) 10( 1 , )( ( ),1 , 0( 7 . 03 . 010 , 12 08-09（三）2 (10 (70.325, 15 ) 95 0.8, 85.325 95 0.15, 0.05, , 1 XN二、 分）根据以往统计资料表明，某系考生概率统计成绩（分）服从正态分布，而且概率统计考试成绩超过分的考生可获得保研资格的概率为概率统计考试成绩在分之间的考生可获得保研资格的概率为否则获得保研资格的概率为从该系任选一位学生 求：、选出的学生可获得保研

8、资格的概率；2 95、若已知该生获得了保研资格，该生概率统计考试成绩确实超过分的概率。09-10（三） 由联合分布求边缘分布，求条件分布，求随机向量函数的分布( , ) ( , )0, 1 2 () 1,01 3 (, )Y XXYf x yXfyyxxxXYCov X Y 设二维连续型随机变量的联合概率密度函数为其它求：、的边缘分布密度；、 条件分布密度；、与的协方差。教材中的题目2461,012,0 ( , )0, ( , )0, ( , )0,13,014,0 ( , )01,yxxxyxxxyxxxyxf x yf x yf x yf x yx其它其它其它其它35 ( , )0, (

9、, )0, 1,013,0125,0127,01( , )0, ( , )0,2yxxx yxxxyxxxf xyyf x yf x yf x yxx其它其它其它其它4 12( , ) ( , )0, 1 2 () 3 (, )3,01Y XXYf x yXfy xXYCov XxYyxx五、（ 分）设二维连续型随机变量的联合概率密度函数为其它求：、的边缘分布密度；、 条件分布密度；、与的协方差。09-10（三）重修 12( , ) ( , )0, 1 3,012 2 () 3 (, )Y Xx yxxXYf x yXfy xXYCov X Y五、（分）设二维连续型随机变量的联合概率密度函数为

10、其它求：、的边缘分布密度；、 条件分布密度；、与的协方差。09-10（二）重2 12( , ) ( , )0, 1 2 () 3 (, )2,01Y XXYf x yXfy xXYCov XxYyxx五、（ 分）设二维连续型随机变量的联合概率密度函数为其它求：、的边缘分布密度；、 条件分布密度；、与的协方差。09-10（二）3 12( , ) ( , )0, 1 5,012 2 () 3 (, )Y XxyxxXYf x yXfy xXYCov X Y五、（分）设二维连续型随机变量的联合概率密度函数为其它求：、的边缘分布密度；、 条件分布密度；、与的协方差。 12( , ) ( , )0, 1

11、 2 Z 1, 13 0 XYf x yxYyxXYEX 五、（分）设二维连续型随机变量的联合概率密度函数为其它求：、的边缘分布密度；、的分布函数；、。07-08（二） 中心极限定理的应用一、独立同分布中心极限定理（LevyLindberg） 22121 (1, 2, ), , (1, 2, ) 1 lim() 2 ( nniinnnnxxiinXnEXDXnXXnPxedxPnaX 定理设为相互独立同分布的随机变量序列 且则服从中心极限定理：，即作用)()()anbnbnn 1 8 1 2 3, 25 % 1 50 % 2 25 % 3 1 450 , () (niin abPXaP六、（

12、分）商店出售价格分别为 元 块， 元 块，元 块三种蛋糕 有的顾客购买元 块的蛋糕，有的顾客购买元 块的蛋糕， 有的顾客购买元 块的蛋糕， 顾客购买何种价格的蛋糕是相互独立的，利用中心极限定理求：、售出 的块蛋糕收入超过870元的概率 的近似已知或 ，求或。求值1)niiXa。11 8 1 2 3, 25 % 1 50 % 2 25 % 3 2 450 .9 , () (nniiiin PXaPX六、（ 分）商店出售价格分别为 元 块， 元 块，元 块三种蛋糕 有的顾客购买元 块的蛋糕，有的顾客购买元 块的蛋糕， 有的顾客购买元 块的蛋糕，已知顾客购买何种价格的蛋糕是相互独立的，利用中心极限定

13、理求：、售出 的块蛋糕收入超过多少元的概率达到0或772。) aab，求或求 。11 8 1 2 3, 25 % 1 50 % 2 25 % 3 3 .9 () (nniiiiab PXaPX六、（ 分）商店出售价格分别为 元 块， 元 块，元 块三种蛋糕 有的顾客购买元 块的蛋糕，有的顾客购买元 块的蛋糕， 有的顾客购买元 块的蛋糕，已知 顾客购买何种价格的蛋糕是相互独立的，利用中心极限定理求：、售出 多少块蛋糕收入超过870元的概率达到0 7或或72。，) an求 。111 ()() 2 () 1niniiiXnPXPnnn 1 8 1 2 3, 25 % 1 50 % 2 25 % 1

14、, , 3 4 200 .92().1 niinPXn六、（ 分）商店出售价格分别为 元 块， 元 块，元 块三种蛋糕 有的顾客购买元 块的蛋糕，有的顾客购买元 块的蛋糕， 有的顾客购买元 块的蛋糕， 顾客购买何种价格的蛋糕是相互独立的，利用中心极限定理求：、售出的块蛋糕的平均价格在1元之知间的概率 。已求1 8 1 2 3, 25 % 1 50 % 2 25 % 3 5 .91 2.1.9 44(5,niiPXn六、（ 分）商店出售价格分别为 元 块， 元 块，元 块三种蛋糕 有的顾客购买元 块的蛋糕，有的顾客购买元 块的蛋糕， 有的顾客购买元 块的蛋糕， 顾客购买何种价格的蛋糕是相互独立的

15、，利用中心极限定理求：、售出的多少块蛋糕才能保证平均价格在1元之间的概率达到0。已知 ), n求1 8 1 2 3, 25 % 1 50 % 21 25 % 3 6 200 . ( ,9niin PXn六、（ 分）商店出售价格分别为 元 块， 元 块，元 块三种蛋糕 有的顾客购买元 块的蛋糕，有的顾客购买元 块的蛋糕， 有的顾客购买元 块的蛋糕， 顾客购买何种价格的蛋糕是相互独立的，利用中心极限定理求：、售出的块蛋糕的平均价格与2元之差的的绝对值小于多少的概率达到0 5知44 。已), 求2122 - DeMoivre-Laplace ( , ) (01,1), ,1 ( , ), lim()

16、 2 ()xxnXb n ppqpxRXnpPxeXb n p nP kXkdxnpq 二、（德莫佛 拉普拉斯定理）设随机变量则对一切的恒有作用： 若较大21()()knpknpnpqnpq121 8 1 2 3, 25 % 1 50 % 2 25 % 3 , , () 400 2n kkP Xk六、（ 分）商店出售价格分别为 元 块， 元 块，元 块三种蛋糕 有的顾客购买元 块的蛋糕，有的顾客购买元 块的蛋糕， 有的顾客购买元 块的蛋糕， 顾客购买何种价格的蛋糕是相互独立的，利用中心极限定理求： 1、售出 的块蛋糕中价格为元 块的蛋糕块数超过180快的概率已知或求。2 ()P Xk或求12

17、8 1 2 3, 25 % 1 50 % 2 25 % 3 , .9(2kkP X六、（ 分）商店出售价格分别为 元 块， 元 块，元 块三种蛋糕 有的顾客购买元 块的蛋糕，有的顾客购买元 块的蛋糕， 有的顾客购买元 块的蛋糕， 顾客购买何种价格的蛋糕是相互独立的，利用中心极限定理求： 2、售出 的多少块蛋糕才能保证价格为元 块的蛋糕块数超过180快的概率达到0。或772已知 12) () , kP Xkn或求1 8 1 2 3, 25 % 1 50 % 2 , () 25 % 3 400 29 . n P Xk六、（ 分）商店出售价格分别为 元 块， 元 块，元 块三种蛋糕 有的顾客购买元

18、块的蛋糕，有的顾客购买元 块的蛋糕， 有的顾客购买元 块的蛋糕， 顾客购买何种价格的蛋糕是相互独立的，利用中心极限定理求： 3、售出 的块蛋糕中价格为元 块的蛋糕块数超过多少块的概率达到0 7知72。已或212 (), P Xkkk求或求 ()() 2 () 1XnpXnPpPnpqnpqnpq , , 8 1 2 3, 25 % 1 50 % 2 25 % 3 400 2 0.45 0. 55 (XnPpn六、（ 分）商店出售价格分别为 元 块， 元 块，元 块三种蛋糕 有的顾客购买元 块的蛋糕，有的顾客购买元 块的蛋糕， 有的顾客购买元 块的蛋糕， 顾客购买何种价格的蛋糕是相互独立的，利用

19、中心极限定理求： 4、售出的块蛋糕中价格为元 块的蛋糕所占的比例在的概知率求。已 ) 8 1 2 3, 25 % 1 50 % , 2 25 % 3 2 0.45 0.55 .9(XPpn六、（ 分）商店出售价格分别为 元 块， 元 块，元 块三种蛋糕 有的顾客购买元 块的蛋糕，有的顾客购买元 块的蛋糕， 有的顾客购买元 块的蛋糕， 顾客购买何种价格的蛋糕是相互独立的，利用中心极限定理求： 5、售出多少块蛋糕才能保证价格为元 块的蛋糕所占的比例在的概率达已知到0 544。),n求 8 1 2 3, 25 % 1 50 % 2 25 % 3 400 2 9 ., n六、（ 分）商店出售价格分别为 元 块， 元 块，元 块三种蛋糕 有的顾客购买元 块的蛋糕，有的顾客购买元 块的蛋糕， 有的顾客购买元 块的蛋糕， 顾客购买何种价格的蛋糕是相互独立的，利用中心极限定理求：