专题18,选修2-1综合练习（理）（解析版）

1、专题18,选修2-1综合练习（理）（解析版） 1 题 专题 18 选修 2-1 综合练习 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1圆 12 2= + y x 与直线 3 - = kx y 有公共点的充分不必要条件是( )。 a、 2 2 - £ k 或 2 2 ³ k b、 2 2 - £ k c、 2 ³ k d、 2 2 - £ k 或 2 > k 【答案】b 【解析】圆 12 2= + y x 与直线 3 - = kx y 有公共点 Û 1132

2、£+ kÛ 2 2 - £ k 或 2 2 ³ k ， " 2 2 - £ k '是"圆 12 2= + y x 与直线 3 - = kx y 有公共点的充分不必要条件'，故选 b。 2已知双曲线 c ： 12222= -byax( 0 > a ， 0 > b )的一条渐近线方程是 x y 3 = ，它的一个焦点坐标为 ) 0 2 ( ， ，则双曲线 c 的方程为( )。 a、 12 62 2= -y x b、 1322= - yx c、 16 22 2= -y x d、 1322= -yx 【答

3、案】d 【解析】双曲线 c ： 12222= -byax( 0 > a ， 0 > b )的一个焦点坐标为 ) 0 2 ( ， ， 2 = c ，焦点在 x 轴上， 渐近线方程是 x y 3 = ， 3 =ab，令 m b 3 = ( 0 > m )，则 m a= ， 2 22 2= = + = m b a c ， 1 = m ， 1 = a ， 3 = b ，双曲线方程为 1322= -yx ，故选 d。 3已知点 ) 1 2 ( ， a 为抛物线 py x 22= ( 0 > p )上一点，则 a 到其焦点 f 的距离为( )。 a、23 b、212 + 2 c、

4、2 d、 1 2 + 【答案】a 【解析】把 ) 1 2 ( ， a 代入抛物线中，解得 1 = p ，则抛物线的准线方程为21- = y ， 由抛物线的定义得23)21( 1 | | = - - = af ，故选 a。 4若 a 、 b 、 c 是空间的非零向量，则下列命题中的真命题是( )。 a、 a c b c b a × × = × × ) ( ) ( b、若 | | | | b a b a × - = × ，则 b a/ c、若 c b c a × = × ，则 b a/ d、若 b b a a 

5、5; = × ，则 b a = 【答案】b 【解析】 c b a × × ) ( 是与 c 共线的向量， a c b × × ) ( 是与 a 共线的向量， a 与 c 不一定共线，a 错， 若 | | | | b a b a × - = × ，则 a 与 b 方向相反， b a/ ，b 对， 若 c b c a × = × ，则 0 ) ( = × - c b a ，即 c b a - ) ( ，不能推出 b a/ ，c 错， 若 b b a a × = × ，则 | |

6、| | b a = ， a 与 b 方向不一定相同，不能推出 b a = ，d 错， 故选 b。 5如果1p 、2p 、np 是抛物线 c ： x y 42= 上的点，它们的横坐标依次为1x 、2x 、nx ， f 是抛物线c 的焦点，若 102 1= + × + +nx x x ，则 = + × + + | | | | | |2 1f p f p f pn( )。 a、 10 + n b、 20 + n c、 10 2 + n d、 20 2 + n 【答案】a 【解析】由题可知抛物线的焦点为 ) 0 1 ( ， ，准线为 1 - = x ， 由抛物线定义可知 1 | |

7、1 1+ = x f p 、 1 | |2 2+ = x f p 、， 故 10 | | | | | |2 1+ = + × + + n f p f p f pn，故选 a。 6正方体1 1 1 1d c b a abcd- 中， m 、 n 分别为 d a 1 、 ac 上的点，且满足 md d a 31= ， nc an 2 = ，则异面直线 mn 与1 1 dc 所成角的余弦值为( )。 3 a、55 b、42 c、55 2 d、33 【答案】c 【解析】以 d 为原点， da 、 dc 、1dd 为 x 轴、 y 轴、 z 轴建系，设 3 = ab ， 则由 md d a 3

8、1= 、 nc an 2 = 可得： ) 3 3 0 (1， ， c 、 ) 3 0 0 (1， ， d 、 ) 1 0 1 ( ， ， m 、 ) 0 2 1 ( ， ， n ， ) 0 3 0 (1 1， ，- = d c ， ) 1 2 0 ( - = ， ， mn ，则55 2| | | |cos1 11 11 1- =××>= <mn d cmn d cmn d c ， ， 又 mn 与1 1 dc 所成角为锐角， 则异面直线 mn 与1 1 dc 所成角的余弦值为55 2| cos |1 1= > < mn d c ， ， 故选 c。 7

9、已知椭圆 c ： 12222= +byax( 0 > > b a )，点 m 、 n 、 f 分别为椭圆 c 的左顶点、上顶点、左焦点，若 = Ðmfn o90 + Ðnmf ，则椭圆 c 的离心率是( )。 a、21 2 - b、21 3 - c、21 5 - d、23 【答案】c 【解析】依题意有2 2b a mn + = ， c a mf - = ， a nf = ，o90 + Ð = Ð nmf mfn ， nmf nmf mfn Ð = + Ð = Ð cos ) 90 sin( sino，即2 2b

10、aaab+= ，解得21 522-=ab， 离心率21 5122-= - =abe ，故选 c。 8如图，正方体1 1 1 1d c b a abcd- 的棱长为 1 ， e 、 f 分别是棱 bc 、1dd 上的点，若 e b 1 平面 abf ， 4 则 ce 与 df 的长度之和为( )。 a、21 b、22 c、23 d、 1 【答案】d 【解析】以1 1 ad 、1 1 cd 、 d d 1 为 x 、 y 、 z 轴建系，设0x ce = ，0y df = ， 则 ) 1 1 (0， ， x e ， ) 0 1 1 (1， ， b ， ) 1 0 0 (0y f - ， ， ， )

11、 1 1 1 ( ， ， b ， ) 1 0 1 (0 1， ， - = x e b ， ) 1 1 (0y fb ， ， = ，由于 e b 1 平面 abf ， 1 0 0 1 ) 1 1 ( ) 1 0 1 (0 0 0 0 0 0 1= + Þ = + + - = × - = × y x y x y x fb e b ， ， ， ， ， 故 ce 与 df 的长度之和为 1 ，故选 d。 9已知抛物线 c ： x y 162= ，焦点为 f ，直线 l ： 1 - = x ，点 l aÎ ，线段 af 与抛物线 c 的一个交点为 b ，若 fb

12、fa 5 = ，则 = | | af ( )。 a、 3 4 b、 2 6 c、 35 d、 40 【答案】c 【解析】过 b 作 be l 于 e ，设 l 与 x 轴的交点为 d ，则| | | | |fdbefaba= ， fb fa 5 = ， | |5| | |45| | |be befdbafa= = = ， 4 | | = be ， 又 7 3 | | | | = + = be fb ， 35 | | 5 | | = = fb fa ，故选 c。 10如图，边长为 2 的正方形 abcd 中，点 e 、 f 分别是 ab 、 bc 的中点，将 ade d 、 ebf d 、 fc

13、d d 分别沿 de 、 ef 、 fd 折起，使得 a 、 b 、 c 三点重合于点a¢，若四面体 efda¢的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为( )。 a、 p 5 b、 p 6 c、 p 8 d、 p 10 5 【答案】d 【解析】四面体 efda¢为底面为等腰 efa¢d ，顶点为 d 的三棱锥 ef a d ¢ - ， 则 1 = ¢ = ¢ f a e a ， 2 = ef ， 2 =¢da ， 5 = = df de ， 则 e a a d¢ ¢， f a a d¢

14、; ¢，则 ¢ a d平面 efa¢， 又2 2 2ef f a e a = ¢ + ¢ ，则 efa¢d 为直角三角形， f a e a ¢ ¢ ， 以a¢为原点如图建系，则 ) 0 0 0 ( ， ，a¢， ) 0 0 1 ( ， ， e ， ) 0 1 0 ( ， ， f ， ) 2 0 0 ( ， ， d ， 设四面体 efda¢的外接圆的圆心为 ) ( z y x o ， ， ，则 od of oe a o = = = ¢ ， 由空间两点间距离公式知：2 2 2 2

15、 2 2) 1 ( z y x z y x + + - = + + ，2 2 2 2 2 2) 1 ( z y x z y x + - + = + + ， 2 2 2 2 2 2) 2 ( - + + = + + z y x z y x ，解得21= x ，21= y ， 1 = z ， 半径为26231 )21( )21(2 2 2= = + + = r ， 该球的表面积为 p = ´ p = p = 6 )26( 4 42 2r s ，故选 b。 11已知1f 、2f 分别是双曲线 e ： 12222= -byax( 0 > a ， 0 > b )的左、右焦点，且 2

16、 | |2 1= f f ，若 p 是该双曲线右支上一点，且满足 | | 2 | |2 1pf pf = ，则2 1 fpf d 面积的最大值是( )。 a、 1 b、34 c、35 d、 2 【答案】b 【解析】设 m pf = | |1， n pf = | |2， q = Ð2 1 pff ，由题意得 n m 2 = ， 1 = c ， 由双曲线定义得 a n m 2 = - ， a a c a n - = - ³ = 1 2 Þ31³ a Þ32³ n Þ942³ n ， 由余弦定理得22 2 244 524

17、cosnnmnc n m -=- += q ， 2222)44 5( 1 sin212 1nnn mn sf pf- = q =d 349256)920( 94116 40 9412 2 2 4³ + - - = - + - = n n n ， 当949202> = n 时，2 1 fpf d 面积的最大值是34，故选 b。 6 12点 p 到曲线 c 上每一点的距离的最小值称为点 p 到曲线 c 的距离，已知点 ) 0 2 ( ， p ，若点 p 到曲线 c 的距离为 3 ，在下列曲线中不符合题意的是( )。 a、 0 32 2= - y x b、 3 ) 3 ( ) 1 (

18、2 2= - + + y x c、 45 9 52 2= + y x d、 x y 22= 【答案】c 【解析】a 选项，由 0 32 2= - y x 可知 0 3 = ± y x ， 则点 ) 0 2 ( ， p 到直线 0 3 = ± y x 的最短距离为 3 = d ，符合题意， b 选项， 3 ) 3 ( ) 1 (2 2= - + + y x 是圆心为 ) 3 1 ( ， - c ，半径为 3 = r 的圆， 则点 ) 0 2 ( ， p 到曲线 c 的最短距离为： 3 3 ) 3 ( ) 1 2 ( | |2 2= - + + = - = r pc d ，符合

19、题意， c 选项， 45 9 52 2= + y x 可化为椭圆 c ： 15 92 2= +y x，设 c 上任意一点 ) sin 5 cos 3 ( q q， q ， 则点 ) 0 2 ( ， p 到曲线 c 上任意一点的距离为： q + q + q - = q + q - = =2 2 2 2sin 5 cos 9 cos 12 4 ) sin 5 ( ) cos 3 2 ( | | pq d q - = - q = + q - q = cos 2 3 ) 3 cos 2 ( 9 cos 12 cos 42 2， 5 1 £ £ d ，最小值为 1 ，不符合题意， d

20、 选项， x y 22= 上任意一点 ) 2 2 (2t t m ， ，则点 ) 0 2 ( ， p 到曲线 c 上任意一点的距离为： 2 2 4 2 2 24 4 8 4 ) 2 ( ) 2 2 ( | | t t t t t pm d + + - = + - = = 343)21( 2 4 4 42 2 2 4³ + - = + - = t t t ，符合题意， 故填 c。 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13已知1f 、2f 为椭圆 c ： 116222= +yax的左、右焦点， m 为椭圆上一点，且2 1 fmf d 内切圆的周长等于 p 3 ，

21、若满足条件的点 m 恰好有两个，则 = a 。 【答案】 5 ± 【解析】由题意得内切圆的半径等于23，因此2 1 fmf d 的面积为2) ( 3) 2 2 (2321 c ac a+= + ´ ´ ， 7 即 c yc am2 | |212) ( 3´ ´ =+，满足条件的点 m 恰好有两个， m 为椭圆短轴端点，即 4 | | =my ， c a 5 3 = ，而 162 2= -c a ， 252= a ， 5 ± = a 。 14已知抛物线 y x 42= 的焦点为 f ，准线为 l ， p 为抛物线上一点，过 p 作 l

22、pa 于点 a ，当o30 = Ðafo ( o 为坐标原点)时， = | | pf 。 【答案】34 【解析】令 l 与 y 轴交点为 b ，在 abf rtd 中，o30 = Ðafb ， 2 = bf ， 33 2= ab ，若 ) (0 0y x p ， ( 00 >x )，则33 20= x ， 代入 y x 42= 中，则310 =y ，而341 | | | |0= + = = y pf pf 。 15如图所示，平行六面体1 1 1 1d c b a abcd- 中， 11 = = aa ad ab ，o1201 =Ð = Ð baa

23、bad ，o601 =Ðdaa ，则线段1ac 的长度是 。 【答案】 2 【解析】1 1aa ad ab ac + + = ， 1 1212 2 212 2 2 aa ad aa ab ad ab aa ad ab ac × + × + × + + + = 2211 1 2 )21( 1 1 2 )21( 1 1 2 1 1 1 = ´ ´ ´ + - ´ ´ ´ + - ´ ´ ´ + + + = ， 2 | |1= ac 。 16已知 f 是双曲线 c ： 1

24、822= -yx 的右焦点， p 是 c 左支上一点， ) 6 6 0 ( ， a ，当 apf d 周长最小时，该三角形的面积为 。 【答案】 6 12 【解析】设双曲线的左焦点为1f ，由双曲线定义知， | | 2 | |1pf a pf + = ， apf d 的周长为 a af pf pa af pf a pa af pf pa 2 | | | | | | | | | | 2 | | | | | | | |1 1+ + + = + + + = + + ， 由于 a af 2 | | + 是定值，要使 apf d 的周长最小，则 | | | |1pf pa + 最小， 即 p 、 a 、

25、1f 共线， ) 6 6 0 ( ， a ， ) 0 3 (1， - f ， 直线1af 的方程为 16 6 3= +-y x，即 36 2- = =yx ， 代入 1822= -yx 整理得： 0 96 6 62= - + y y ，解得 6 2 = y 或 6 8 - = y 舍)， 8 p 点的纵坐标为 6 2 ， 6 12 6 2 6216 6 6211 1= ´ ´ - ´ ´ = - =d d d pff aff apfs s s 。 三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17（10 分）已知

26、r mÎ ，设命题 p ： 1 1 ， - Î "x ， 0 2 8 4 22 2³ - + - - m m x x 成立，命题 q ： 2 1 ， Î $x ，1 ) 1 ( log221- < + -mx x 成立。如果" q pÚ '为真，" q pÙ '为假，求 m 的取值范围。 【解析】若 p 为真：对 1 1 ， - Î "x ， 2 2 8 42 2- - £ - x x m m 恒成立， 设 2 2 ) (2- - = x x x f ，

27、配方得 3 ) 1 ( ) (2- - = x x f ， ) (x f 在 1 1 ， - 上的最小值为 3 - ， 3 8 42- £ - m m ，解得2321£ £m ， p 为真时2321£ £m ， 3 分 若 q 为真： 2 1 ， Î $x ， 2 12> + -mx x 成立，xxm12-< 成立， 设xxxxx g1 1) (2- =-= ，易知 ) (x g 在 2 1 ， 上是增函数， ) (x g 的最大值为23) 2 ( = g ， 23< m ， q 为真时23< m ， 6 分

28、q pÚ 为真， q pÙ 为假， p 与 q 一真一假， 当 p 真 q 假时ïïîïïíì³£ £232321mm，23= m ，当 p 假 q 真时ïïîïïíì<> <232321mm m 或，21< m ， 综上所述， m 的取值范围是21< m 或23= m 。 10 分 18 （12分）已知等腰梯形 abcd 如图1所示，其中 cd ab/ ， e 、 f 分别为

29、 ab 、 cd 的中点，且 2 = =ef ab ，6 = cd ， m 为 bc 中点，现将梯形 abcd 按 ef 所在直线折起，使平面 efcb 平面 efda ，如图 2 所示，n 是线段 cd 上一动点，且 nd cn l = 。 (1)当21= l 时，求证： / mn 平面 adfe ； (2)当 1 = l 时，求二面角 f na m - - 的余弦值。 【解析】(1)证明：过点 m 作 ef mp 于点 p ，过点 n 作 fd nq 于点 q ，连接 pq ， 1 分 由题意，平面 efcb 平面 efda ， 9 mp 平面 efda ，且 22=+=cf bemp ，

30、 2 分 ef cf ， ef df ， ef 平面 cfd ， ef nq ，由 fd nq ， 3 分 nq 平面 efda ，又 nd cn21= ， 232= = cf nq ，即 nq mp/ ， nq mp = ， 4 分 则 pq mn / ，由 Ë mn 平面 adfe ， Ì pq 平面 adfe ， / mn 平面 adfe ； 5 分 (2)以 f 为坐标原点， fe 方向为 x 轴， fd 方向为 y 轴， fc 方向为 z 轴，如图建系， 则 ) 2 0 1 ( ， ， m ， ) 0 1 2 ( ， ， a ， ) 0 0 0 ( ， ， f ，

31、 ) 3 0 0 ( ， ， c ， ) 0 3 0 ( ， ， d ， )23230 ( ， ， n ， 6 分 设平面 amn 的法向量分别为 ) (1 1 1 1z y x n ， ， = ， ) 2 1 1 ( ， ，- - = am 、 )21231 ( - - = ， ， mn 则ïîïíì= - + - = ×= + - - = ×021230 21 1 1 11 1 1 1z y x mn nz y x am n，取 11 =x ，则 11 =y 、 11 =z ，即 ) 1 1 1 (1， ， = n ，

32、8 分 设平面 fan 的法向量分别为 ) (2 2 2 2z y x n ， ， = ， ) 0 1 2 ( ， ， = fa 、 )23230 ( ， ， = fn 则ïîïíì= + = ×= + = ×023230 22 2 22 2 2z y fn ny x fa n，取 12 =x ，则 22- = y 、 22 =z ，即 ) 2 2 1 (2， ，- = n ， 10 分 设二面角 f na m - - 的平面角为 q ，经观察 q 为锐角， 则93|9 32 1 ) 2 ( 1 1 1| | | | | |

33、 cos | cos2 12 12 1=´´ + - ´ + ´=××= > < = qn nn nn n， ， 二面角 f na m - - 的余弦值为93。 12 分 19（12 分）设圆 0 15 22 2= - + + x y x 的圆心为 a ，直线 l 过点 ) 0 1 ( ， b 且与 x 轴不重合， l 交圆 a 于 c 、 d 两点，过 b 作 ac 的平行线交 ad 于点 e 。 (1)证明 | | | | eb ea + 为定值，并写出点 e 的轨迹方程； (2)设点 e 的轨迹为曲线1c ，直线 l

34、 交1c 于 m 、 n 两点，过 b 且与 l 垂直的直线与圆 a 交于 p 、 q 两点，求四边形 mpnq 面积的取值范围。 【解析】(1)证明： | | | | ac ad = ， ac eb/ ，故 adc acd ebd Ð = Ð = Ð ， | | | | ed eb = ，故 | | | | | | | | | | ad ed ea eb ea = + = + ， 1 分 又圆 a 的标准方程为 16 ) 1 (2 2= + + y x ，从而 4 | | = ad ， 4 | | | | = + eb ea ， 2 分 10 由题设得 ) 0

35、1 ( ， - a ， ) 0 1 ( ， b ， 2 | | = ab ， 点 e 的轨迹是以 a 、 b 为焦点的椭圆， 设 e ： 12222= +byax( 0 > > b a )， 0 ¹ y ， 3 分 则 2 = a 、 1 = c ， 3 = b ，则轨迹 c 的方程为 13 42 2= +y x( 0 ¹ y )； 4 分 (2)当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 ) 1 ( - = x k y ( 0 ¹ k )， ) (1 1y x m ， 、 ) (2 2y x n ， ， 由îíì= +

36、- =12 4 3) 1 (2 2y xx k y得： 0 12 4 8 ) 4 3 (2 2 2 2= - + - + k x k x k ， 0 > d 恒成立， 6 分 则222 14 38kkx x+= + ，222 14 312 4kkx x+-= × ，222 124 3) 1 ( 12| | 1 | |kkx x k mn+= - + = ， 7 分 过点 ) 0 1 ( ， b 且与 l 垂直的直线 m ： ) 1 (1- - = xky ， a 到 m 的距离为122+ k， 8 分 13 44 )12( 4 2 | |22222+=+- =kkkpq ， 故

37、四边形 mpnq 的面积3 411 12 | | | |212+ = ´ ´ =kpq mn s， 9 分 可得当 l 与 x 轴不垂直时，四边形 mpnq 面积的取值范围为 ) 3 8 12 ( ， ， 10 分 当 l 与 x 轴垂直时，其方程为 1 = x ， 3 | | = mn ， 8 | | = pq ，四边形 mpnq 的面积为 12 ， 11 分 综上，四边形 mpnq 面积的取值范围为 ) 3 8 12 ， 。 12 分 20（12 分）四棱锥 abcd p - 中， pd 平面 abcd ， a bc ad 2 2 = = ( 0 > a )， b

38、c ad/ ， a pd 3 = ，q = Ðdab 。 (1)若o60 = q ， a ab 2 = ， q 为 pb 的中点，求证： pc dq ； (2)若o90 = q ， a ab = ，求平面 pad 与平面 pbc 所成角的大小。 【解析】(1)证明：连接 bd ， abd d 中， a ad = ， a ab 2 = ，o60 = Ðdab ， 由余弦定理：o60 cos 22 2 2× × - + = ab da ab da bd ，解得 a bd 3 = ， 2 分 abd d 为直角三角形， ad bd ， bc ad/ ， bd

39、bc ， 11 又 pd 平面 abcd ， pd bc ， d bd pd = i ， bc 平面 pbd ， 3 分 Ì bc 平面 pbc ，平面 pbd 平面 pbc ， 又 a bd pd 3 = = ， q 为 pb 中点， pb dq ， 4 分 平面 i pbd 平面 pb pbc = ， dq 平面 pbc ， 又 Ì pc 平面 pbc ， pc dq ； 5 分 (2)由o90 = q ， a ab = ，可得 a cd bd 2 = = ，取 bc 中点 m ，则 abmd 为矩形， 以 d 为坐标原点分别以 da 、 dm 、 dp 所在直线为 x

40、 、 y 、 z 轴， 建立空间直角坐标系 xyz d - ， 则 ) 0 0 0 ( ， ， d 、 ) 0 0 ( ， ， a a 、 ) 0 ( ， ，a a b 、 ) 0 ( ， ，a a c - 、 ) 0 0 ( a m ， ， 、 ) 3 0 0 ( a p ， ， ， 7 分 dm 平面 pad ， dm 是平面 pad 的法向量， ) 0 0 ( ， ，a dm = ， 8 分 设平面 pbc 的法向量为 ) ( z y x n ， ， = ， ) 3 ( a a a pb - = ， ， ， ) 0 0 2 ( ， ， a bc - = ，ïî

41、9;íì= ×= ×00bc npb n， 令 1 = z ，可得ïîïíì= -= - +0 20 3axa ay ax，解得 ) 1 3 0 ( ， ， = n ， 10 分 设平面 pad 与平面 pbc 所成角的平面角为 q ，2323| | | | cos = =××= qaan dmn dm， 平面 pad 与平面 pbc 所成角为6p。 12 分 21 （12 分）如图所示，在四棱锥 abcd p - 中，底面 abcd 是平行四边形， pd 底面 abcd ， 2 =

42、=ab pa ， pa bc21= ， 3 = bd ， e 在 pc 边上。 (1)求证：平面 pda 平面 pdb ； (2)当 e 是 pc 边上的中点时，求异面直线 ap 与 be 所成角的余弦值； (3)若二面角 c bd e - - 的大小为o30 ，求 de 的长。 【解析】(1)证明：底面 abcd 是平行四边形， 1 = = bc ad ， 又 3 = bd ， 2 = ab ，满足2 2 2ab bd ad = + ， bd ad ， 1 分 又 pd 底面 abcd ， bd pd ， bd 平面 pad ， 2 分 Ì bd 平面 pdb ，平面 pda 平面

43、 pdb ； 3 分 12 (2)以 d 为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则 ) 0 0 0 ( ， ， d 、 ) 0 0 1 ( ， ， a 、 ) 0 3 0 ( ， ， b 、 ) 0 3 1 ( ， ， - c 、 ) 3 0 0 ( ， ， p ， 4 分 e 是 pc 边上的中点， )232321( ， ， - e ， 则 ) 3 0 1 ( ， ， - = ap ， )232321( ， ，- - = be ， 5 分 设直线 ap 与 be 所成角的平面角为 a ， 77 2| | | | | | cos | cos =××= > < =

44、abe apbe apbe ap， ； 6 分 (3)由 c ， e ， p 三点共线，得 dc dp de ) 1 ( l - + l = ，且 1 0 £ l £ ， 从而有 ) 3 ) 1 ( 3 1 ( l l - - l = ， ， de ， ) 0 3 0 ( ， ， = db ， 7 分 设平面 edb 的法向量为 ) ( z y x n ， ， = ，ïîïíì= = ×= l + l - + - l = ×0 30 3 ) 1 ( 3 ) 1 (y db nz y x de n， 令 3 = x ，则 0 = y ，ll -=1z ，可取 )10 3 (ll -= ， ， n ， 1