二项式定理的练习及答案

1、二项式定理得练习及答案基础知识训练(一)选择题1展开式中常数项就是()A、第 4 项 B、 C、 D、22. (x-l)u展开式中x得偶次项系数之与就是()A、2018 B、1023 C、1024D、 10243. 展开式中有理项得项数就是()A、4 B、5 C、6 D、74. 若与同时有最大值，则m等于()A、4 或 5 B、5 或 6 C、3 或 4 D. 55. 设(2x3)则 ao+ai+a2+a3 得值为()A、 1 B、 16 C、 15 D、 156 展开式中得中间两项为()A、B、CD、(二) 填空题7. 在展开式中,得系数就是.8. 9. 得展开式中得有理项就是展开式得第项.

2、10. (2x1)5展开式中各项系数绝对值之与就是.11. 展开式中系数最大得项就是12.0、991'精确到0、01得近似值就是.(三) 解答题13. 求(1+x+x2) (lx)10展开式中x"得系数.14. 求(1+x)+ (l+x)'+(1+x)°展开式中 得系数.15. 已知(12x)5展开式中第2项大于第1项而不小于第3,求x得取值范闱.16. 若展开式中,x得系数为21,问m、n为何值时,F得系数最小？17. 自然数n为偶数时,求证：18. 求被9除得余数.19. 已知得展开式中，第五项与第三项得二项式系数之比为14;3,求展开式得常数项.20.

3、 在(x：+3x+2)5得展开式中，求x得系数.21. 求(2x+l)12展开式中系数最大得项.参考解答：1. 通项,由，常数项就是，选(B)2. 设f (x) = (xl)u,偶次项系数之与就是，选(C)3. 通项，当r=0, 2, 4, 6时，均为有理项，故有理项得项数为4个，选(A)4. 要使最人，因为17为奇数，则或或n二9,若n二&要使最大，则m=4,若n二9,要使最大，则或或 m二5,综上知,m二4或m二5,故选(A)5. C 6、C 7、；8、4n;9、3,9, 15,2110. (2x1)5展开式中各项系数系数绝对值之与实为(2x+l)5展开式系数之与，故令x二1,则所

4、求 与为3：11. (l+3x+3x'+x)性(l+x)3此题中得系数就就是二项式系数，系数最人得项就是T子、12. 0、9915二(10、009) 5=13. ，要得到含得项,必须第一个因式中得1与(lx)。展开式中得项作积，第一个因式中得一 £与(1x)9展开式中得项作积，故X得系数就是.14. =,原式中乳实为这分子中得X*,则所求系数为.15 由16. 由条件得m+n二21, F得项为，则因nN,故当n二10或11时上式有最小值，也就就是m二11 与n=10,或m=10与n=U时,x得系数最小.17. 原式二(C： + C； + C； + + C：T + C：) +

5、(C； + C： + C； + + C穿)=2» + 2 = 3.2心18. 8011 = (81 - I)11 = C®81u- CSl10 + + C；81 -1 = 8U- l(k e Z),VkGZ, .9klGZ,被 9 除余&19. 依题意A3n(nl) (n2) (n3)/4!=4n(nl)/2!n=10.设第r+1项为常数项，又令，此所求常数项为180.20.在(x+1)5展开式中，常数项为1,含x得项为，在(2+x)5展开式中，常数项为2'32,含x得项为 展开式中含x得项为，此展开式中x得系数为24021.设Te得系数最大，则Tm得系数不

6、小于T与Ty得系数，即有展开式中系数最人项为第5项,T5=三、拓展性例题分析例1在二项式得展开式中，前三项得系数成等差数列，求展开式中所有有理项.分析:本题就是典型得特定项问题，涉及到前三项得系数及有理项,可以通过抓通项公式 解决.解:二项式得展开式得通项公式为：前三项得得系数为:，由已知:， 通项公式为为有理项,故就是4得倍数， 依次得到有理项为.说明:本题通过抓特定项满足得条件,利用通项公式求出了 r得取值，得到了有理项.类似 地,得展开式中有多少项就是有理项？可以通过抓通项中厂得取值，得到共有17页系数与为.例2 (1)求展开式中得系数;(2)求展开式中得常数项.分析:本题得两小题都不就

7、是二项式展开，但可以转化为二项式展开得问题,(1)可以视为两个二项展开式相乘;(2)可以经过代数式变形转化为二项式.解:展开式中得可以瞧成下列几种方式得到，然后合并同类项：用展开式中得常数项乘以展开式中得项，可以得到;用展开式中得一次项乘以展开式中 得项可得到;用中得乘以展开式中得可得到;用中得项乘以展开式中得项可得到，合并同类项 得项为：(2)由展开式得通项公式，可得展开式得常数项为.说明:问题(2)中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决.这时我们还可以通过合并 项转化为二项式展开得问题来解决.例3求展开式中得系数.分析:不就是二项式，我们可以通过或把它瞧成二项式展开.解:方法一：其中含得

8、项为.含项得系数为6.方法二：=l + 6(x-x2) + 15(x-x2)2 + 20(x-x2)3 + 15(x-x2)4 + 6(x-x2)5 +(x-x2)6其中含得项为.项得系数为6.方法3:本题还可通过把瞧成6个相乘，每个因式各取一项相乘可得到乘枳得一项,项可由 下列几种可能得到.5个因式中取禺一个取1得到.3个因式中取兀一个取，两个取1得到.1个因式中取兀两个取，三个取1得到.合并同类项为，项得系数为6.例4求证:(1);(2).分析:二项式系数得性质实际上就是组合数得性质,我们可以用二项式系数得性质来证 明一些组合数得等式或者求一些组合数式子得值解决这两个小题得关键就是通过组合

9、数公 式将等式左边各项变化得等数固定下来,从而使用二项式系数性质.解:©川 _ n 如_灯!_伙_1)!(”_約!5-1)!伙_1)!( + 灯!=nC/c-in-l左边右边.左边右边.说明:本题得两个小题都就是通过变换转化成二项式系数之与，再用二项式系数得性质 求解此外，有些组合数得式子可以直接作为某个二项式得展开式，但这需要逆用二项式定理 才能完成，所以需仔细观察，我们可以瞧卞面得例子：例5:求得结果.仔细观察可以发现该组合数得式与得展开式接近，但要注意:从而可以得到：.例6利用二项式定理证明:就是64得倍数.分析：64就是8得平方，问题相当于证明就是得倍数，为了使问题向二项式定

10、理贴近,变形, 将其展开后各项含有，与得倍数联系起来.解:就是64得倍数.说明:利用本题得方法与技巧不仅可以用来证明整除问题,而且可以用此方程求一些复 杂得指数式除以一个数得余数.例7展开.分析1:用二项式定理展开式.解法1:分析2:对较繁杂得式子，先化简再用二项式定理展开.解法2:=- (1024x15-3840x12 + 5760x9 4320.? +162(1? - 2437)3 2x说明:记准、记熟二项式得展开式，就是解答好与二项式定理有关问题得前提条件.对较复 杂得二项式，有时先化简再展开会更简便.例8若将展开为多项式，经过合并同类项后它得项数为().A.ll B.33C.55D.66分析:瞧作二项式展开.解:我们把瞧成,按二项式展开，共有“项”，即这时，由于“与”中各项得指数各不相同,因此再将各个二项式展开，不同得乘积展开后,都不会出现同类项.下面，再分别考虑每一个乘积.其中每一个乘积展开后得项数由决定，