二项式定理在数列求和中的应用

1、二项式定理在数列求和中应用班级：数学1403姓名：王琪学号：14404337二项式定理在数列求和中的应用【摘要】 本文利用二项式定理和杨辉三角的内在联系，结合组合不等式，推导出形如an na(a 2,3,4)的前n项和的公式，并给出求更高次求和公式的一般方 法。【关键词】 二项式定理 组合数 方程的根 系数一、项式定理和杨辉三角介绍：1, 二项式定理：(a b)n C0anb0 CRB C；an 2b2 卅 C；an rbr |c；a°bn其中cn叫做二项式系数。2, 杨辉三角：二项式定理的应用非常广泛，也很重要，主要表现在两个方面：一是它所 揭示的方法富有启发性；二是它与高等数学联

2、系紧密学习与掌握它，既有利于 培养学生联想和抽象思维的能力，也有利于其今后进一步的学习二项式定理在中国被称为“贾宪三角”或“杨辉三角”，一般认为是北宋数 学家贾宪所首创它记载于杨辉的详解九章算法(1261)之中.在阿拉伯数学 家卡西的著作算数之钥(1427)中也给出了一个二项式定理系数表，他所用 的计算方法与贾宪的完全相同在欧洲，德国数学家阿皮安努斯在他1527年出版 的算数书的封面上刻有此图，但一般称之为“帕斯卡三角形”.因为帕斯卡在1654 年也发现了这个结果而在1664年和1665年间，也就是由于瘟疫流行而迫使牛顿从剑桥躲开的前 夕，牛顿就开始了二项式定理的研究， 值得注意的是，牛顿只处

3、理了二项式的自 乘幕是分数或负数的情况.牛顿第一次提到二项式定理是在 1676年6月13日他写 给奥尔登堡转给莱布尼兹的一圭寸信中，此后牛顿对于该定理进行不断的推理、猜 想和证明，最终建立了二项式定理.牛顿在建立了二项式定理以后，马上就抛弃 了他以前用于求积的插值法，而把这个定理当做确定曲线下方面积的一个最简单 最直接的方法来使用随着时间的推移，二项式定理被越来越多的人运用， 直到今天，二项式定理 已经是中学数学内容的重要部分，也是当今高考的难点之一 .二项式定理是在处理有关两个元素和的方幕的问题时常常考虑到的一个重要公 式，是组合数学中一个基础而重要的定理，在微积分、概率论、初等数论等许多

4、数学分支中都可见其踪影二、二项式的性质二项式定理：.理解二项式定理应注意：(1) 二项式中，a是第一项，b是第二项，顺序不能变；(2) 展开式中有n 1项(比指数多1);(3) C0,C：,|,Cn 是二项式系数；(4) a的指数降幕，b的指数是升幕，两者的指数的和等于 n ；(5) 二项式展开时要注意各项的符号规律；(6) 注意二项式定理的可逆性.二项式定理除了要注意以上几点外还具有一些性质a b n的二项展开式中，首末两端“等距离”的两项的二项式性质一二项式系数表中，除性质二以外其余位置的数都，所有二项式系数的和等于令a b 1即得系数相等，即cm c之和，cm cnm1a b n的二项展

5、c° c!性质三种计算方法结果相等来解释）性质四 a b n的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即CnCn|C：川 CC；川C71 川2n1.（令a 1,b1 即得）.三、重要组合恒等式：（1）,cnC： 1Cr 1 Cr(n 1)!(n 1)!证明："1 n 1(r 1)!( nr)! r!(n 1r)!Jr r!( n r)!(n r)n!r!(n r)!C；（证毕）(2), C； C；1 Crr2 川 Cn1 Cn tn r)证明（数学归纳法）：当n r 1时 上式 左边=1右边是C；1，所以是正确的。假设上式对n k（k r）正确 即C

6、； C； 1 Cl 2川Ck 1 C： 1那么就有c； c； 1 C | C： 1 C： C： 1 C：再有组合不等式（1）可 得c； C； 1 C III C；1 c： c；故综上所述 对于所有大于r的正整数n （2）式都是成立的。四、一元n次多项式根与系数的关系对于多项式xn a1xn 1 a2Xn 2 |”an必0若x1,x2, x| xn是它的n个根 则有一下等式成立：（1）1a1 X1 X2 川 Xn（1）2a2 X1X2 X1X3 川 Xn 1Xn（1）iaix：1x：2 |x：（所有i个不同的根的乘积的和）（1）n a1a2a|an五、应用举例为了方便应用，（2）式也可以写成c：

7、 C： 1 Crr 2卅 C： n 1r 1Cr n( n r)当r=1 , 2, 3, 4的时候上式也就是:11 2 3 川 n n(n 1)六、归纳总结命题一:证明:nkmk 11m两式相减有:1015III抽IIIIII3m3m1)1 n(n 1)(n 2)3!(n丄n(n4!nkm11)(n1)(nkmk 12)丄 n(n 1)(n 4!2)( n 3)n 1m2)( n 3)n(n5!1)( n2)(n3)( n 4)n命题二：1k 1由乘法的定义可知:n个1相加的结果为n。n命题三:kk 12证明：由二项式定理知:1 2 k2 2k1,从而:nk2 2kn即:k2证明：由二项式定理

8、可知:k 1 3 k3 3k2 3k 1，从而 32k 3k3k 1由此可得:nnk 1 2nn2 kk21k 1k 1k 1k 1n1 2 1nn n1n即：kk1n n 12命题四n 1k21n n 1 2n 1k i6即：k1 3k33k23 kk 1k1k1k 1由此可得：nnnnn3 k2k 1 3k33k1k 1k 1k 1k 1k 1“ 3“c n n1n1 13 -n2k 1k1nnnnn1k 11n n 1 2n 12n4即：k2 -n n 1 2n 1k 16命题五：证明：由二项式定理可知:k 1 4 k4 4k3 6k2 4k 1，从而即:k4 4k36k24knk4k3

9、nk2由此可得:nnnnnn4 k3k 14k46k24k1k 1k 1k1k 1k 1k 141n n 1n116nn 12n14n622n n12n即：k3nn1k 12命题六：nk41-nn1 2n13n23n1证明：由二项式定理可知:k55k410k310k25k 1，从而k5 5k410k310k25kn即： kk 1k5k41n10k 1k3n10kk2由此可得:n5 k4k 11n n30k5102nn10k 1k31 3n2 3nF面我们讨论一般情况下数列的和,由二项式定理可知：k 1mm 1 mCm 1 kn而有 kk 11mcm；km1C*1kmn10k 110即:k22n

10、nkm11m mCm 1k1 m 11kmCm1 m1kCm1kCmCm 1k Cm 1，从可得:C：1kmk 1nkmk 1nmCm1 m 11kmCm1 m 11kCm 1kCm1Cm1kCm1即:m 1 m 1Cm 1 kCm 1kkm至此，我们求出了连续自然数任意次方的和推论若多项式f(k)k(k 1)(k 2)(k a 1)他的根分别是k10, k2 1,k3 2|ka a 1，贝U他的展开式中ka 1的系数是a1(0123III a 1) (3 21)aa2k*2k*3M ka 1ka同理 f'(k) k(k 1)(k 2)(k a 2)展开式中ka 2的系数是：a；(0 1 2 川 a 2)二项式定理有着广泛的应用，如果不能够准确把握其本质，