二倍角的正弦余弦正切公式

1、二倍角的正弦余弦正切公式教学目标1.会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式.（重点）2 .掌握二倍角公式及其变形公式的应用.（难点）3.二倍角公式与两角和与差的正弦、余弦、正切公式的区别与联系.（易混点）基础初探教材整理二倍角的正弦、余弦、正切公式阅读教材 P133例5以上内容，完成下列问题.1 .二倍角的正弦、余弦、正切公式记法公式S2asin 2 a = 2sin a COS aGaCOS 2 a = COS a Sin aT2 a2ta n atan 2 a =丄 21 tan a2.余弦的二倍角公式的变形3.正弦的二倍角公式的变形(1)sina COS1a = 2S in 2a , COS

2、sin 2 a2sin a2(2)1 士 sin 2 a = (sin a 士 COS a ).1.判断（正确的打“错误的打“X”）（1）二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.（）存在角a，使得sin 2 a = 2sin a成立.（）对于任意的角 a , cos 2 a = 2cos a都不成立.（）解：（1） X .二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二nn倍角的正切公式，要求a工2 + kn （k Z）且a ±4 + kn （k Z）,故此说法错误.V.当a = k n (k Z)时，sin 2 a = 2sin a .(3) X.当cos a = 1 时，c

3、os 2 a = 2COS a .【答案】(1) X (2) V (3) X12.已知 cos a = 3，则 cos 2 a 等于.(1)cosa - sin4解：由cos1 /曰21 27a = 3,得 cos 2 a = 2cos a 1 = 2X 3 1 = 【答案】79化简求值.nnnsin 24 cos 24 cos ”；(3)1 2sin 2 750 ° ;1 3tan 2 150 °tan 150+2ta n 150灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项，然后求得解:(1)cos 4a sin4=cos2 寺sin2cos=cos a .1原式=2 2si

4、nn24cosn24ncoF1=2Sinn 1讶 42sinnn12 cos 121=-sin4n 16 = 8.1二原式=8"原式=cos(2 x 750° ) = cos 1 500=cos(4 x 360° + 60° ) = cos 60 ° =才1二原式=2"2tan 150原式=2tan2150°+1 3tan2 150=2tan 150 °= tan (2x 150°)11=tan 300 ° = tan(360° 60°)13=tan 60 ° =3

5、 .原式=121 tan 150二倍角公式的灵活运用:(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现.主要形式有:12sin a COS a = sin 2 a , sin a COS a=Msin 2 a ,cossin 2 a2sin a2cos.2 oc sina = COs 2 a ,2ta n a1 tan 2 aa cos a = (sincos a )2, 1 + cos 2 a= 2cos2 a , cos21 + cos 2 a2sintan 2 a .公式的变形：公式间有着密切的联系，这就要求思考时要融会贯通，有目的地活用公式.主要形式有:2 21 士

6、sin 2 a = sin a+ cos a ± 2sin1 cos 2 a再练一题1.求下列各式的值:(1)sin12cosn12；2tan 150 ° 1 ta n2150°1 sin 10cos 10 ° 'cos 20 ° cos 40 ° cos 802si n解:(1)原式=n/cos2n12sin6 = 1=4.原式=tan(2 x 150° ) = tan 300 ° = tan(360 ° 60° )2 2cos 102sin 10 cos 104si n 20=sin

7、 20=4.原式=2sin 20 cos 20 cos 40 cos 802si n 202sin 40-cos 40 cos 804sin 20 °2sin 80 cos 808si n 20_ sin 160=8sin 20_ 1=8.(3)原式=cos1010 ；3T010sin 10 cos 104 (sin 30 ° cos 10 ° cos 30 ° sin 10 ° ) =2sin 10 ° cos 10 °利用二倍角公式解决求值问题A.C.(1)已知 sin a = 3cos那么B.D.tan 2 a的值为（

8、已知sin nn +=3,则cos7一 9B.D.2342n2131的值等于（32(2016 天津高一检测)已知cos a = 4, sin p = 3, a是第二象限角，p 求sin 2 a的值；求C0S(2 a + B )的值.(1) 可先求tan a，再求tan 2 a ;2nnn n(2) 可利用3 n 2 a= 2§ a及空一a = 石+况求值；(3) 可先求sin 2 a , cos 2 a , cos B，再利用两角和的余弦公式求 C0s(2 a+ B ).解:(1)因为 sin a = 3cos a ,所以 tan a = 3,所以tan 2 a2ta n a =1

9、tan1 22X 33= =一 a1 324'因为cos 3=sin=sin1a = 3,所以cos 2a79.2 n=2cos【答案】(1)D (2)C(3)因为a是第二象限角，cos a3=4,所以sina 1 曲a 享所以 sin 2 a = 2sina COS a = 2X因为 B -2，冗，sin B = 3,所以cos2cos 2 a = 2cos91a_ 1=2x 196-1=8,所以cos(2 a+ B ) = cos 2 a cos B sin 2 a sin1=8x53.7,25+673_ V x 3= 24直接应用二倍角公式求值的三种类型(1) sina (或 c

10、os a )角三角函数的关系> cosa ) 一倍角公式 > sin 2 a (或 cos 2 a ).(2) sina (或 cos a ) 一倍角公式 > cos 2 a = 1 a (或 sin2sin 2 a (或2cos2 a 1).(3)sin a(或cos a )的角三角函数的关系cos a (或 sin a ),tan二倍角公式 、t 2tan a>tan 2 a .再练一题2. (1)已知 a 专,n , sincos 2 a =, tan 2 a =已知sinn4 + a sin1厂=6，且 an ，求 tan 4a的值.解：(1)因为a，所以cos

11、 a =5所以sin2 a = 2sina cos a = 2X等=4, cos 2a= 1552si n2a = 1 2X5'tan 2sin 2 a 4 厂-3.a =cos 2【答案】n因为sin =sinn=cos7 + a，则已知条件可化为sinncos 7 + a6'即?sin 2所以所以+ a6?+ 2 a1=3,1仇=二.因为1sincos 2aan2n ，所以2 a ( n, 2 n),从而sin 2=1 cos22 a =所以tan 2sin 2 acos 2 a-2 2,2ta n 2 a- 2 故 tan 4 a_=4也=1 tan 22a =1( 2

12、2)利用二倍角公式证明求证：(1)cos 2(A + B) sin 2( A B) = cos 2 Acos 2 B;2 2(2)cos 6 (1 tan 6 ) = cos 2 6 .(1)可考虑从左向右证的思路：先把左边降幕扩角，再用余弦的和、差角公式转化为右边形式.(2)证法一：从左向右：切化弦降幕扩角化为右边形式；证法二：从右向左：利用余弦二倍角公式升幕后向左边形式转化.(1)左边=1 + cos (2A+ 2B)21 cos (2A 2B)2cos (2A+ 2B) + cos (2A 2B)2=1(cos 2Acos 2B- sin 2Asin 2B+ cos 2Acos 2B+s

13、in 2Asin 2B)=cos 2 Acos 2 B=右边,sin 2 Bcos2 6二等式成立.=cos2 6sin 2 6 = cos 2 6 =右边.法:左边=cos2 6法二：右边= cos 2 6 = cos2 6 sin 2 62 sin 2 622 亠=cos 6 1 冇=cos 6 (1 tan 6 )=左边cos 6'7证明问题的原则及一般步骤：(1) 观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端 都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.(2) 证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构 等方面的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同

14、名”、“变量 集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.3.证明：1+ sin 2 a112cos =ta n a a+ sin 2 a = 2tan a+ 2.再练一题a COSa证明：左边=2 2sin a + cos a + 2sin22cos a + 2sin a COS a(Sin a + COS a )2cos a (sin a + cossin a + cos2cos a1a +空=右边.所以2cos21+sin 2 aa + Sin 2 a+ 1成立.倍角公式的灵活运用探究1时，如1 + sina cos a 1 + cos a + sin在化简 1 + sina+ cos

15、a + 1 cos a+ Sin何灵活使用倍角公式?【提示】在化简时，如果只是从a的关系去整理，化简可能感觉无从下手，但如果将 a看成3的倍角，可能会有另一种思路，aaa2sin 2 cos + sin 3 原式=+aaa2cos y cos + sin yaaaaa2cos cos + sinsin cos -2 2222a .2s in Sin= +aaa+ cos cos sin -2 2 2 22_a a sin a sin cos 2探究 2 如何求函数 f(x) = 2cos解:f(x) = 5 3 1 + C；s 2x+ 3 =3- 3 + 2 3cos 2 x 2sin 2 x

16、=3 3 + 23cos 2 x sin 2 xx 1 2 3 sin xcos x(x R的最小正周期?【提示】求函数f (x)的最小正周期，可由f (x) = (2cos 2x 1) 3X (2sinxcosx)= cos 2x3sin 2x= 2sin* 2x，知其最小正周期为n求函数 f (x) = 53cos2x + 3sin 2x 4sin xcos x , x 4, 7nn的最小值，并求其单调减区间.化简f (x )的解析式f (x)= Asin (x +©)+ B宀3X+ ©的范围求最小值，单调减区间1 cos 2 x2sin 2 x=3 3 + 4 sin

17、n§cos 2 x cos gsin 2=3- 3 + 4sin7n"24，2X2X3n n7 n所以当2x § = ，即x =牙时,f(x)取最小值为3 3 2 2.因为y=sin 2x3在n, 7-4上单调递增，所以f(x)在nn,去上单调递减本题考查二倍角公式，辅助角公式及三角函数的性质.解决这类问题经常是先利用公式将函数表达式化成形如y = Asin( 3X + © )的形式，再利用函数图象解决问题.再练一题4 .求函数y = sin 4x + 2 3sin xcos x cos4 x的最小正周期和 最小值，并写出该函数在0 ,n 上的单调递减区

18、间.解:y= sin 4x+ 2 3sin xcos x cos4x=(sin 2x+ cos2x)(sin 2x cos2x) + 2 3sin xcos x=cos 2 x+ “ 3sin 2 x1sin 2 x 2cos 2 xn=2sin 2x 2 n所以T=.=n,ymin2.nn3 n由 2k n+ y < 2x - < 2k n+ , k Z,n5 n彳得 k n + W X W k n+ , k Z,36又x 0 , n ，所以令k = 0,得函数的单调递减区间为构建体系1. sin 22 ° 30' cos 22 ° 30 的值为(A.

19、B.J2C.D.1解:原式=qsin 45【答案】 B12.已知sin x = 4,贝卩cos 2x的值为(A.B.C.D.1解:因为sin x = 4,所以 cos 2 x= 1 2sin1x = 1 2X 42 7=8.【答案】 A12sin 12）cos 乃 + sin 的值为（）B.n _V36 = 2 .D.2 n2 n解：原式=cos 12 sin 12= cos2sin2a COS a COS a2COS2 a=tan5 - 6-=1 一 2【答案】D4.已知1小sin 2 a cos2i ata na=-3,则1 + cos 2 a解 :sin 2 a -2-cos a2si

20、na cos a 2- cos a一一211 + cos 2 a1 + 2cos a -5【答案】562si n解:(1)原式=nn2ncoscos5552sin2 n 2 nsin cos sin55sin2sin4si n4si nn5 = 1 n=4.55.求下列各式的值:(1)cosn2 ncos55112兀coS 8.2 n1 2cos 十r、8(2)原式=22 n2cos 1821 n=一二COS 一2 4学业分层测评学业达标、选择题1.若 sin a=3cosA.B.C.D.小 sin 2 a解：-cos a2sin a2cos acos a 2sin a 6COS a6. co

21、s acos【答案】 D2.(2016 铁岭高一检测)已知sin2小=3，贝U cos( n2a)=A. 一B.31D.解：因为sin2a= 3，所以 cos( n2a)=-cos 253. 2a = (1 2sin a )2X2 2_ 13 =_ 9.【答案】 B3.sin a + COS a 1 sin a COS a 2,则 tan 2A.B.C.D.解:因为sinsin a + COS aoc COS1a 2,整理得tana = 3,所以tan 22ta n a = 1 tana 2X2 a 1 (3) = 33) 2= 4.【答案】4. （2016 沈阳高一检测）若sinx tan

22、x<0，贝A 1 + cos 2 x等A.2cos xC.2sin xB. 2cos xD. 2sin x解：因为 sin x tan x<0,所以x为第二、三象限角，所以cos x<0,所以1 + cos 2 x= 2cos2 x = . 2|cos x|=“ 2cos x.【答案】 B5.已知cos 2 x-2cos x + 寸15,贝卩 sin 2 x=(24一25cos 2 x-2cos x + 寸15,2 . 2 .cos xsin x 1 cos x sin x 5'1cos x + sin x =匚,51 + sin 2x=25'sin 2242

23、5.【答案】A二、填空题冗36. （2016 广州高一检测）已知sin x =，贝卩sin 2 x的值45等于n 3解:法一：sin -x = 5,n2 n cosy-2x = 1 2sin 7 x=1-2X 5725,sin 2 x = cos 2x =725.法二：由sinn34x =5,12得2(sin x cos x)="曰3，二 sin x5cos x=两边平方得1 sin 218X= 25,7X=25.【答案】7257 .已知sin 2I，则COS asin a =解：因为所以sina >COS a即cosoc sin a<0,又 sin 21=4,则有cos

24、 a sin a = ”，(cos a sin a ) 211 4=【答案】三、解答题8.化简：tan 70cos10 ° ( ,3tan 201).解：原式sin 70=cos 70 ° cos103sin- 1cos 20sin 70 ° cos 10cos 70 °sin 70 °cos 70 ° cos 103sin 20 ° cos 20 cos 20 °2sin ( 10°)cos 20 °sin 70 ° sin 20 cos 70 ° cos 20=1.9 .求证:(1) sin 10<3cos 10=4;4 3.(4cos12° 2)1证明：(1)左边=sin 10132 qcos 10 sin 10书 cos 10cos 10sin 10