奥数精品讲义第7讲染色与操作问题--深圳清华实验学校佘珊珊

1、品格能决定人生，它比天资更重要弗·桑德斯第七讲 染色与操作问题教学目标1. 掌握染色问题的分析思路和典型的染色方法；2. 理解操作问题的解题方法。经典精讲染色问题这里的染色问题不是要求如何染色，然后问有多少种染色方法的那类题目，它指的是一种解题方法。染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色，我们可以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答案。这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性、逻辑性较强，要注意学会几种典型的染色方法。【例1】 六年级一班全班有名同学，共分成排，每排人，坐在教室里，每个座位的前后左右四个位置都叫作它

2、的邻座。如果要让这名同学各人都恰好坐到他的邻座上去，能办到吗？为什么？【分析】 划一个的方格表，其中每一个方格表示一个座位。将方格黑白相间地染上颜色，这样黑色座位与白色座位都成了邻座。因此每位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格，所有黑格的坐到白格。但实际上图中有个黑格，个白格，黑格与白格的个数不相等，故不能办到。【例2】 右图是学校素质教育成果展览会的展室，每两个相邻的展室之间都有门相通。有一个人打算从室开始依次而入，不重复地看过各室展览之后，仍回到室，问他的目的能否达到，为什么？【分析】 采用染色法。如右下图，共有个展览室，对这个展览室，黑白相间地进行染色，从白室出发走过第扇门必至黑

3、室，再由黑室走过第扇门至白室，由于不重复地走遍每一间展览室，因此将走过黑白相间的个展览室，再回到白室，共走过扇门。由于走过奇数次门至黑室，走过偶数次门至白室。 现在，走过扇门，必至黑室，所以无法回到原来的白室。巩固 有一次车展共个展室，如右图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示。参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来?分析 如右下图，对每个展室黑白相间染色，那么每次只能从黑格到白格或从白格到黑格。由于入口处和出口处都是白格，而路线黑白相间，首尾都是白格，于是应该白格比黑格多个，而实际上白格、黑格都是个，故不可能做到不重复走遍每个展室。【例3】 右图是半张中国象

4、棋盘，棋盘上放有一只马。众所周知，马是走“日”字的。请问：这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点，然后回到出发点？【分析】 马走“日”字，在中国象棋盘上走有什么规律呢？为方便研究规律，如下图所示，先在棋盘各交点处相间标上和，图中共有22个和23个。因为马走“日”字，每步只能从跳到，或由跳到，所以马从某点跳到同色的点（指或），要跳偶数步；跳到不同色的点，要跳奇数步。现在马在点，要跳回这一点，应跳偶数步，可是棋盘上共有个点，所以不可能做到不重复地走遍所有的点后回到出发点。讨论：如果马的出发点不是在点上而是在点上，那么这只马能不能不重复地走遍这半张棋盘上的每个点，最后回到出发点上呢？按照上面的

5、分析，显然也是不可能的。但是如果放弃“回到出发点”的要求，那么情况就不一样了。从某点出发，跳遍半张棋盘上除起点以外的其它个点，要跳步，是偶数，所以起点和终点应是同色的点（指或）。因为步跳过的点与点各个，所以起点必是，终点也是。也就是说，当不要求回到出发点时，只要从出发，就可以不重复地走遍半张棋盘上的所有点。【例4】 右图是由个大小相同的方格组成的图形。试问能不能剪裁成个由相邻两方格组成的长方形？【分析】 将这个小方格黑白相间染色（见右下图），有个黑格，个白格。相邻两个方格必然是一黑一白，如果能剪裁成个小长方形，那么个格应当是黑、白各个，与实际情况不符，所以不能剪裁成个由相邻两个方格组成的长方形

6、。【例5】 用个和个能否盖住的大正方形？【分析】 如右图，对的正方形黑白相间染色后，发现必然盖住白黑，个则盖住白黑。则盖住了白黑或黑白，从奇偶性考虑，都是奇数。而这种形状共个，奇数个奇数相加仍为奇数，故这种形状盖住的黑格和白格都是奇数，加上另一种形状的白黑，两种形状共盖住奇数个白格奇数个黑格。但实际染色后共个白格个黑格，故不可能按题目要求盖住。注意：本题中每个盖白黑或黑白，个这种形状盖住的不一定是白黑或黑白，因为可能一部分盖白黑，另一部分盖黑白。这是一个容易犯错的地方。前铺 能否用个所示的卡片拼成一个的棋盘？分析 不能。将的棋盘黑白相间染色（见右图），有个黑格。而每张卡片盖住的黑格数只能是或者

7、，所以每张卡片盖住的黑格数是个奇数，张卡片盖住的黑格数之和也是奇数，不可能盖住个黑格。巩固 如右图，缺两格的方格有个格，能否用个图不重复地盖住它且不留空隙?分析 这种覆盖问题是典型的用染色方法解决的问题之一。用来覆盖，则用黑白相间染色，可以发现它无论横放、竖放，必然盖住一白一黑。要不重复不留空白，那总共盖住的黑格数与白格数应该相等。但从染色后整个图来看，黑格个，白格个，故不可能将整个图不重不漏地盖住。【例6】 用若干个和的小正方形能不能拼成一个的大正方形？请说明理由。【分析】 如右图所示，将或的小正方形沿格线摆在右图的任何位置，必定盖住偶数个阴影方格，而阴影方格共有个，是奇数，所以只用和的小正

8、方形，不可能拼成的大正方形。拓展 个正方形和个长方形能不能拼出的大正方形?请说明理由。分析 若仍然将的大正方形黑白相间染色，则和两种形状盖住的都是两白两黑。必须寻找其他的染色方法。新的方法必须使得和长方形无论放在何处，都分别符合一定的规律。采用如右图的染色方法，则：长方形必盖住两黑两白，共个，盖住黑白；长方形可盖住白黑或黑白。可以发现，总共只能盖住黑白或白黑，而图中实际有个黑格个白格，故不可能用个和个的长方形盖住的大正方形。对区域染色也可理解为对多个方格染色，但此时方格染色范围更广，染色方案更加灵活。操作问题【例7】 对于任意一个自然数，当为奇数时，加上；当为偶数时，除以，这算一次操作。现在对

9、连续进行这种操作，在操作过程中是否可能出现？为什么？【分析】 同学们碰到这种题，可能会“具体操作”一下，得到： 这个过程还可以继续下去，虽然一直没有得到，但也不能肯定得不到。当然，连续操作下去会发现，数字一旦重复出现后，这一过程就进入循环，这时就可以肯定不会出现。因为这一过程很长，所以这不是好方法。我们可以从另一个方面来考虑，因为和都是的倍数，而不是的倍数，所以在操作过程中产生的数也应当是的倍数。不是的倍数，所以不可能出现。【例8】 将一张正方形纸片，横着剪刀，竖着剪刀，裁成尽可能大的形状大小一样的张长方形纸片。再把这样的一张长方形纸片裁成尽可能大的面积相等的小正方形纸片。如果小正方形边长为厘

10、米，那么大正方形纸片的面积应为多少平方厘米？说明理由。【分析】 大正方形纸片被横着裁成份，竖着裁成份，所以裁成的长方形纸片的长宽比为，若将这样的纸片切割成尽可能大的正方形纸片，则正方形纸片边长应该为长方形纸片长、宽的公约数，而，所以长方形纸片的宽是小正方形纸片的边长的倍，所以长方形纸片宽厘米，大正方形纸片边长为厘米。所以大正方形纸片的面积为平方厘米。【例9】 能否把台电话中的每台电话恰好与其它台相连？【分析】 如果我们可以把个电话或个电话做到每台电话与个电话相连接，我们可以将分成个一组的共组以及个一组的共组。如下图，每个点代表一台电话，每条线段表示其两个端点为相连接的两台电话，左图为台电话的情

11、形，右图为台电话的情形。所以我们可以把台电话中的每台电话恰好与其它台相连。【例10】 下图是八间房子的示意图，相邻两间房子都有门相通。从点穿过房间到达处，如果只能从小号码房间走向大号码房间，那么共有多少种不同的走法？【分析】 只有一个口，只能选择进；有两种选择，可以选择进也可以选择进，所以有种走法；依此类推，每间房间的走法种数如下：。所以从点开始有（种）。【例11】 右图是一个的方格盘。先将其中的个方格染黑，然后按以下规则继续染色：如果某个格与两个黑格都有公共边，就将这个格染黑。这样操作下去，能否将整个方格盘都染成黑色？【分析】 开始时染黑个方格，这个方格的总周长不会超过，以后每染一个格，因为

12、这个格至少与两个黑格有公共边，所以染黑后，所有黑格的总周长不会增加。也就是说，所有黑格的总周长永远不会超过，而方格盘的周长是，所以不能将整个方格盘都染成黑色。【例12】 如图，图的方格中交替填满了和，图是从图中任意位置截取的、三种图形，并对每种图形进行操作：每个小方格同时加或同时减，如此反复多次，再将这三种图形不重叠地拼成的。问：图中的格中的数字应该是多少？【分析】 此题似乎脱离了染色问题，问的是数字，但注意到图中和的交替，想到将方格自然染色(如右图)，则黑格里全为，白格里全为。而题中的三种图形，方格必占白黑，的方格必占白黑，黑白格数都相同。再想到对它们的操作：每个小格同时加或减，因黑白格数相

13、等，那么操作中不变的应该是黑格数字和与白格数字和之差，三种图形拼出的图中这个差也应该不变。于是对比图和图，图中：黑格数字和白格数字和；图中：黑格数字和一白格数字和，即，得。前铺 对于表，每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经过若干次后（各次减去或加上的数可以不同），变为表？为什么？分析 因为每次有两个数同时被加上或减去同一个数，所以表中九个数码的总和经过一次变化后，等于原来的总和加上或减去那个数的倍， 因此总和的奇偶性没有改变。原来九个数的总和为，是奇数，经过若干次变化后，总和仍应是奇数，而表中九个数的总和是，是个偶数。奇数不可能等于偶数，所以不可能变成表。前铺 在图的方格表中，对任

14、意相邻的上下或左右两格中的数字同时加或减，这算一次操作，经过若干次操作后变为图，问：图中的格中的数字是几？分析 将的方格进行黑白相间染色，如右图所示，每个小格同时加或减，因黑白格数相等，那么操作中不变的应该是黑格数字和与白格数字和之差，由图知这个差是，由图可知：白格数之和黑格数之和，所以。附加题目【附1】 用个的长方形能不能拼成一个的正方形？请说明理由。【分析】 本题若用传统的自然染色法，不能解决问题。因为要用来覆盖，我们对正方形用四种颜色染色。为了方便起见，这里用、分别代表四种颜色。为了使每个长方形在任何位置盖住的都一样，我们采用沿对角线染色，如右图。这样，可以发现无论将长方形放于何处，盖住

15、的必然是、各一个。要不重叠地拼出，需个长方形，则必然盖住、各个。但实际上图中一共是个、个、个、个，因而不可能用个长方形拼出正方形。【附2】 有一批商品，每一件都是长方体形状，尺寸是。现有一批现成的木箱，内空尺寸是，问：为什么不能用这些商品将木箱装满?【分析】 采用如右图的染色方法。每件的商品必占个白的小立方体和个黑的小立方体。在整个大正方体中，的黑正方体共有(个)。故的黑正方体共：(个)。白正方体共：(个)。可见，的小立方体黑白总数不等，而每件的商品能占的黑白小立方体个数相同，故不可能用这种商品装满木箱而没有空隙。【附3】 今有枚硬币，其中有枚同样的真币和枚伪币，伪币和真币的重量不同。现需弄清

16、楚伪币究竟比真币轻还是重，但只有一架没有砝码的天平，那么怎样利用这架天平称两次，来达到目的？【分析】 枚硬币，如果进行称重的话应该保证天平两边的硬币数相等。因此应该首先拿掉一个，把剩下的枚硬币在天平两边各放个。如果这时天平两边重量相等的话，就说明剩下的那个是伪币。只要任意拿出一个真币和这个伪币再称一次就可以知道真币和伪币哪种比较重了。 如果天平两边重量不相等的话，就是说伪币还在这个硬币中。可以拿出其中比较轻的个。这时同样还是把他们分成两个枚，分到天平两边称重。 如果两边重量相等，说明这个硬币都是真的。伪币在比较重的那个中，因此伪币就应该比真币重。如果两边重量不相等，说明伪币就在这个比较轻的硬币

17、中，显然伪币就应该比真币轻。 同样道理，也可以把比较重的那个硬币分成两个进行称重，同样也可以得出结论，希望大家自己想一下。 本题实际上不要求棋子数必须是，只要去掉一个棋子后剩下的棋子可以被分成相等的两份，每一份可以再分成相等的两份，也就是减去后是的倍数就可以了，比如，等等都可以。巩固精练1. 右图是某套房子的平面图，共个房间，每相邻两房间都有门相通。请问：你能从某个房间出发，不重复地走完每个房间吗?【分析】 如图所示，将房间黑白相间染色，发现有个白格，个黑格。因为每次只能由黑格到白格或由白格到黑格，路线必然黑白相间，这样白格数目与黑格数目之差最多为才能不重复，但图中黑格比白格多个，所以无法实现

18、不重复走遍。2. 右图是由个小正方形组成的图形，能否将它剪裁成个相同的长方形？【分析】 将个小正方形剪裁成个相同的长方形，就是将图形分割成个的小长方形，将图形黑白相间染色后，发现有黑，白，黑、白格数目不等，而的小长方形覆盖的总是黑白格各一个，所以不可能做到。3. 如右图所示，将顺次排成一圈。如果报出一个数（在之间），那么就从数的位置顺时针走个数的位置。例如，就从的位置顺时针走个数的位置到达的位置；，就从的位置顺时针走个数的位置到达的位置。问：是多少时，可以走到的位置？【分析】 不存在。当时，从的位置顺时针走个数的位置，应到达的位置；当时，从的位置顺时针走个数的位置，应到达的位置。由上面的分析知，不论是什么数，结果总是走到偶数的位置，不会走到的位置。4. 右图是一个圆盘，中心轴固定在黑板上。开始时，圆盘上每个数字所对应的黑板处均写着。然后转动圆盘，每次可以转动的任意整数倍，圆盘上的四个数将分别正对着黑板上写数的位置，将圆盘上的数加到黑板上对应位置的数上。问：经过若干次后，黑板上的四个数是否可能都是？【分析】 不可能。因为每次加上的数之和都是，所以黑板上的四个数之和永远是的整数倍。而，不是的倍数，所以黑板上的四个数不可都是。 篮球运动起源于年，由美国的体育教师詹姆士·奈史密斯博士发明。年柏林奥