一元二次方程概念PowerPoint 演示文稿

1、2锦12锦2教学目标：教学目标：1、了解一元二次方程的概念。了解一元二次方程的概念。2 2、会把一元二次方程化成一般形式。、会把一元二次方程化成一般形式。3 3、会找一元二次方程二次项系数，、会找一元二次方程二次项系数， 一次项系数，和常数项一次项系数，和常数项4 4、会列一元二次方程。、会列一元二次方程。2锦3方程方程整式方程整式方程分式方程分式方程一元一次方程一元一次方程 2x+7=42x+7=4二元一次方程二元一次方程 3x-4y=63x-4y=6？一、复习引入一元二次方程一元二次方程 x2+3x+2=0 什么是一元二次方程？什么是一元二次方程？例1： 要将一块长要将一块长100cm宽宽

2、 50cm的长方形铁的长方形铁块的四个角分别剪去一相同大小的正方形，块的四个角分别剪去一相同大小的正方形，从而制成一面积为从而制成一面积为3600 的铁皮盖盒，的铁皮盖盒，小王不知道怎么裁剪，你能不能用数学方小王不知道怎么裁剪，你能不能用数学方程的思想帮小王合理策划呢？程的思想帮小王合理策划呢？A裁剪前裁剪前裁剪后裁剪后B2cm4锦22锦5怎样解这道实际应用题呢？怎样解这道实际应用题呢？ 解：我们设剪去的正方形的边长为解：我们设剪去的正方形的边长为xcm，那，那 么制成的盖盒么制成的盖盒B的边长分别为（的边长分别为（100-2x)cm、（50-2x)cm，面积为，面积为3600 ,得到：得到：

3、 （100-2x)(50-2x)=3600 化简为：化简为：2cm2753500 xx对于这样的一元二次方程我们对于这样的一元二次方程我们如何去求得其解呢？如何去求得其解呢？想一想？解法2锦65m8m18平方米平方米8-2x5-2x有一块四周镶有有一块四周镶有宽度相等的宽度相等的花边的地毯，它花边的地毯，它的长的长8米，宽长米，宽长5米，如果地毯中央长方形图米，如果地毯中央长方形图案的面积为案的面积为18平方米，那么花边有多宽？平方米，那么花边有多宽？用什么模型解决该问题？用什么模型解决该问题？数学化数学化x例2：2锦75cm8cmx解解 :设花边的宽为设花边的宽为Xm，根，根据题意，可列方程

4、据题意，可列方程（8-2x）（）（5-2x）= 188-2x5-2x有一块四周镶有有一块四周镶有宽度相等的宽度相等的花边的地毯，它的花边的地毯，它的长长8米，宽长米，宽长5米，如果地毯中央长方形图案米，如果地毯中央长方形图案的面积为的面积为18平方米，那么花边有多宽？平方米，那么花边有多宽？例例240-16x-10 x+4x2=182锦8观察等式观察等式 10+ 11 +12 =13+14五个连续整数，五个连续整数，前三个数的平方和前三个数的平方和等于等于后两个数的平方和后两个数的平方和，你还能找到其他的五个连续整数，怎么找？你还能找到其他的五个连续整数，怎么找？ 设：五个连续整数中的第一个数

5、为设：五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数可，那么后面四个数可 表示为表示为x+1， x+2，x+3，x+4根据题意，可得根据题意，可得 例例3：数字问题：数字问题x +（x+1）+ （x+2） =（x+3）+ （x+4） 根据题意得根据题意得:x(x-1)=228x-x=56问题情景问题情景9锦屏镇中学 陈林华2021-12-162锦10方法一：两次勾股定理。方法一：两次勾股定理。引例引例4、一个长为一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面的垂直距离为的顶端距离地面的垂直距离为8m, 如果梯子的顶如果梯子的顶端下滑端下滑1m，那么，那么梯子的底端滑动多

6、少梯子的底端滑动多少m?m8m10m7m6m10m数学化1m2锦11X+6方法二方法二：设梯子底端滑动：设梯子底端滑动x米，由勾股定理得：米，由勾股定理得： （x+6）+7 =10例例3、一个长为一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面的垂直距离为顶端距离地面的垂直距离为8m, 如果梯子的顶端如果梯子的顶端下滑下滑1m，那么，那么梯子的底端滑动多少梯子的底端滑动多少m?xm8m10m7m6m10m数学化1m2锦12一元二次方程的概念一元二次方程的概念上面三个问题得到的三个方程可化简为：上面三个问题得到的三个方程可化简为：(8-2x)(-x)=18 2x2 13

7、x 11 = 0 .x+（x+1)+(x+2)=(x+3)+(x+) x2 8x 200.（ x） x2 12 x 15 0.共同特点？共同特点？1、化简后都是整式方程、化简后都是整式方程2、只含有一个未知数，、只含有一个未知数，3、未知数的最高次数是、未知数的最高次数是22锦13 经过经过变形变形后，只含有后，只含有一个未知一个未知数数，并且未知数的，并且未知数的最高次数是最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程的整式方程，叫做一元二次方程 。什么叫做一元二次方程什么叫做一元二次方程 ？2锦14基础练习基础练习1：你能判断下列等式哪些是一元二次方程，你能判断下列等式哪些是一元二次方程，哪些不

8、是吗。哪些不是吗。x1 x23x+2=0 2x2-9x=0 x(x+2)=11+2(20 x-5) +x2-3=0 2+3=52x2-9x=0 x(x+2)=11+2(20 x-5) x2+3x+2=0 x(x+1)=x(x+7)2锦15 下列方程中有（下列方程中有（ ）是一元二次方程）是一元二次方程（1） （2）（3） （4）（5） （6）（A A）（）（1 1）（）（5 5）（）（6 6） （B B）（）（1 1）（）（4 4）（）（5 5） （C C）（）（1 1）（）（3 3）（）（4 4） （D D）（）（2 2）（）（4 4）（）（5 5）A基础练习基础练习2：2锦16重新定义一元

9、二次方程：重新定义一元二次方程：把一个把一个整式方程经整式方程经过变形后，只过变形后，只含有一个未含有一个未知数知数x，且可，且可以化为以化为ax2+bx+c=0（a，b，c为为常数，常数，a0）形式的整式方程。）形式的整式方程。 2x2 13x 11 = 0 . x2 8x 200. x2 12 x 15 0.2锦17把把ax2+bx+c=0 （a0）称为一元二次方程一般称为一元二次方程一般形式，形式，一元二次方程定义：一元二次方程定义： 其中其中ax2是二次项，是二次项，a是二次项的系数。是二次项的系数。 其中其中bx是一次项，是一次项， b是一次项的系数。是一次项的系数。 其中其中c是常

10、数项。是常数项。注意：注意：一般形式的一般形式的右边右边必须是必须是0，左边左边按降幂排列：按降幂排列：当然也可以没有一次项、常数项。当然也可以没有一次项、常数项。2锦18方程方程一般形式一般形式二次项系二次项系数数一次项一次项常数项常数项x x2 2-3x=-2-3x=-2 4x4x2 2+7x=0+7x=0 3y3y2 2=6=6 x-7xx-7x2 2=1=1 请完成下表请完成下表点拨点拨：1 1按顺序化成一般形式按顺序化成一般形式a ax+bx +c=0 ， 2 2 要认真区别是求方程的各项还是各项的系数。要认真区别是求方程的各项还是各项的系数。 3 3当系数为负数时，千万不要丢负号。

11、当系数为负数时，千万不要丢负号。 4 4二次项为负时，也可以把他们都改变符号，使之成为正号。二次项为负时，也可以把他们都改变符号，使之成为正号。x-3x +2=01-3X24x+7x =04+7X03y-6=030-6-7x+x -1=0-7+X-1基础练习基础练习3：2锦191 1、课本、课本4 4页练习页练习 第第1 1题题 第第2 2题题2 2、课本、课本4 4页习题页习题22.122.1 第第1 1题题 第第2 2题题基础练习基础练习4：2锦20解解2： x x2 2十十12x12xx x2 224x24x3636 5x 5x2 2十十36x-32=036x-32=0所以一般形式为所以

12、一般形式为5x5x2 2十十36x-32=036x-32=0二次项系数为二次项系数为 ： 5 5一次项系数为一次项系数为 ： 3636常数项为常数项为 ： -32-32基础练习基础练习4：2锦21方程方程一般形式一般形式二次项二次项系数系数一次项一次项系数系数常数常数项项3x2=5x-1(x+2)(x -1)=64-7x2=03x25x10 x2 x80或或7x2 0 x4035 111 870 435 111870 4或或7x2 4070 47x2 40知识技能知识技能2基础练习基础练习4：2锦22请请写出一个一元二次方程，要求二次项写出一个一元二次方程，要求二次项系数为负数，一次项系数是整

13、数，常数系数为负数，一次项系数是整数，常数项是分数项是分数-x2+8x+ =0 869巩固提高巩固提高1：（开放题）（开放题）2锦232：若若axax2 -2 -bx+6=0bx+6=0是一元二次方程应满足的条件是：是一元二次方程应满足的条件是： 是一元一次方程应满足的条件是：是一元一次方程应满足的条件是：3.已知已知关于关于x的方程的方程(k2-1)x2+2(k-1)x+2k+2=0当当k_时，它是一元二次方程，此时各项时，它是一元二次方程，此时各项系数分别为系数分别为_当当k_时，它是一元一次方程。时，它是一元一次方程。巩固提高：巩固提高：11(k2-1)，2(k-1)2k+221.1.2

14、一元二次方程24锦屏镇中学 陈林华2021-12-16教学目标教学目标v1）理解方程的解的概念；v2）会用方程的解求待定系数。25锦屏镇中学 陈林华2021-12-16 1、什么是一元二次方程？一元二次方程的一般形式是怎样的？知识回顾2、什么叫方程的解？一元方程的解也叫根) a x 2 + b x + c = 0 (a 0) a x 2 是二次项，a是二次项系数b x 是一次项，b是一次项系数c 是常数项26锦屏镇中学 陈林华2021-12-16 认识了一元二次方程,接下来我们就要探究一元二次方程的解. 方程解的定义: 能使方程左右两边相等的未知数的值就叫方程的解(一元方程的解也叫根)探究新知

15、27锦屏镇中学 陈林华2021-12-16 要组织一次排球邀请赛要组织一次排球邀请赛, ,参赛的每两队参赛的每两队之间都要比赛一场之间都要比赛一场, ,根据场地和时间等条根据场地和时间等条件件, ,赛程计划安排赛程计划安排7 7天天, ,每天安排每天安排4 4场比赛场比赛, ,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛比赛组织者应邀请多少个队参加比赛? ?解解:设邀请了设邀请了x队参加比赛队参加比赛,根据题意得根据题意得:28) 1(21xx即:x(x-1)=56你能根据方程探索出方程的解吗?28锦屏镇中学 陈林华2021-12-16关于关于x的一元二次方程的一元二次方程x(x-1)=56将将x=8代入

16、一元二次方程代入一元二次方程x(x-1)=56左边左边=8 7=56=左边x=8是方程的解是方程的解将将x=-7代入一元二次方程代入一元二次方程x(x-1)=56左边左边=7=56= （-8）左边x=-7是方程的解是方程的解检验：29锦屏镇中学 陈林华2021-12-16你能否说出下列方程的解?v1)v2)v3)23270 x 0) 6(2x0362x一元二次方程的根的情况与一元一次方程有什么不同吗?根思考30锦屏镇中学 陈林华2021-12-161)下面哪些数是方程 的根? -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 2)你能写出方程 的根吗?062xx02xx即:平方后是它本身的数是哪些?

17、x1=0或x2=1练习31锦屏镇中学 陈林华2021-12-16 例题讲解 221(1)10,0axxaxa、已知关于的一根的一元二次是程则方的值为A.1 B.-1 C.1或-1 D.0B32锦屏镇中学 陈林华2021-12-16例题讲解 例题讲解222222(2)3400,243?mxxm xmmm的、关于有一根为则方的值为多少程33锦屏镇中学 陈林华2021-12-1622222:04022432 24 2332432 ( 2)4 ( 2)31931 .29mmmmmmm 解 是方程的解得或代数式的值为代入经检验都符合题或意34锦屏镇中学 陈林华2021-12-16 例题讲解2223,20

18、0620080,(20062007)(20062007).m nxxmmnn、已知都是方程的根 试求的值35锦屏镇中学 陈林华2021-12-164015)20072008)(20072008()20072006)(20072006(2008200620082006:020082006020082006:,020082006,:2222222nnmmnnmmnnmmxxnm即由根的定义知的根是方程解36锦屏镇中学 陈林华2021-12-16210,0.abcaxbxc、若则一元二次方程必有一解为220,0.abcaxbxc、若则一元二次方程必有一解为x=-1x=1 拓展提高37锦屏镇中学 陈林

19、华2021-12-1623420,0.abcaxbxc、若则一元二次方程必有一解为 24,0axbxc、根据下表的对应值 试判断一元二次方程的一解的范围是x3.233.243.253.26-0.06-0.020.030.07cbxax2A 3x 3.23C 3.24x 3.25D 3.25x 3.26B 3.23x 3.24Cx=2 拓展提高x0038锦屏镇中学 陈林华2021-12-16通过这节课的学习，谈谈你掌握了什么？3、整体代入思想1、理解方程的解的概念； 2、会用方程的解求待定系数 解的运用（代入）39锦屏镇中学 陈林华2021-12-162锦40 已知关于已知关于x x 的方程的方

20、程 当当K K 时，方程为一元二次方程，时，方程为一元二次方程，当当K K 时，方程为一元一次方程。时，方程为一元一次方程。3 3=3巩固提高巩固提高4：2锦41根据题意列方程：根据题意列方程： 从前有一天，一个醉汉拿者竹竿进屋从前有一天，一个醉汉拿者竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高尺，竖着比门框高2尺，另一个醉汉教尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了，你醉汉一试，不多不少刚好进去了，你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程。列出方

21、程。巩固提高巩固提高5：课本课本49页第页第3题）题）2锦422尺尺解解: :设竹竿有设竹竿有x x尺尺, ,则门宽则门宽(x-4)(x-4)尺尺, ,门高门高(x-2)(x-2)尺尺4尺尺X-4X-2x(x-4)+(x-2)=x 解解: :设门宽设门宽x x尺尺, ,则竹竿有则竹竿有(x+4)(x+4)尺尺, , 门高门高(x+2)(x+2)尺尺x+(x+2)=(x+4)2锦43三个连续整数三个连续整数两两相乘两两相乘，再求和再求和是是242，求这三个整数。求这三个整数。设三个连续整数中间的为设三个连续整数中间的为x，另两个（，另两个（x-1），），（x+1）x （x-1）+ x （x+1）

22、 +（x+1）（）（x-1）= 242 巩固提高巩固提高6：课本课本48页第页第1题）题） x2 2x8 00.2锦441 1一元二次方程的定义：一元二次方程的定义： 2一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般形式：3方程ax2+bx+c=0的条件：的条件： 经过变形后，只含有经过变形后，只含有一个未知数一个未知数，并且，并且未知数的次数未知数的次数是二次是二次，这样的，这样的整式方程整式方程叫一元二次方程叫一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0 ，a，b，c 为常数为常数 )（1）当）当a0时，是一元二次方程。时，是一元二次方程。（2）当）当a=0并且并且b0 时时 ，是一元一次方程，是

23、一元一次方程。2锦451 1 指出下列方程中哪些是一元二次方程指出下列方程中哪些是一元二次方程（1） （2）（3）（6）（5）(4)2锦462.方程 化成一般形式后， a,b,c分别（） （A）3，4，2 （B）3, 2，4 （C）3，2，4（D）2，2，03. 3. 方程 的二次项系数是，常数项为， 的值为 。 B解解：因为因为a= ，b=-1 ，c=0 所以所以b-4ac= 02锦474.4.一元二次方程一元二次方程 化成一般式后，化成一般式后， 二次项系数为二次项系数为1 1，一次项系数为，一次项系数为1 1，则，则a a 的值为（）的值为（）（A A）1 1（B B）1 1（C C）2

24、 2（D D）2 22锦485试问当试问当m，n是什么实数时，关于是什么实数时，关于x的方程的方程（n+1）（）（）（）是一元二次方程？（）是一元二次方程？（）是一元一次方程？（）是一元一次方程？解：当0,即-时是一元二次方程当当=0,且2m+n-3 0是一元一次方程是一元一次方程即即:n=-1 且且 m 2时是一元一次方程时是一元一次方程.2锦496.方程方程 (a-1)x -6x+5=0 ,则当则当 a _ 时，时，b_ 时是一元二次方程时是一元二次方程. 当当a_时，时，b_ 时时,是一元一次方程是一元一次方程2b+17若关于的方程若关于的方程 （m +1）x x2 2+m+2=，是一元

25、二次方程求出是一元二次方程求出m的取值范围。的取值范围。2锦508 8一元二次方程一元二次方程 有两个解为有两个解为1 1和和1,1,则有则有 ，且有且有 . .2锦51结束寄语 运用方程（方程组）解答相关运用方程（方程组）解答相关的实际问题是一种重要的数学的实际问题是一种重要的数学思想思想方程的思想方程的思想. . 一元二次方程也是刻画现实世一元二次方程也是刻画现实世界的有效数学模型界的有效数学模型. .下课了!2锦52作业：作业： 1、课本上剩余的：、课本上剩余的： 2、练习册：、练习册： 3、预习估算法解一元二次方程。、预习估算法解一元二次方程。2锦532若方程若方程 是关于是关于X X

26、 的一元二次方的一元二次方程，则程，则m m 的取值范围是（的取值范围是（ ）（A A） （B B） （C C） 或或 （D D） 且且 D2锦54补充训练补充训练:8把下列关于x 的方程化成一元二次方程的一般式，并指出它的二次项系数，一次项系数及常数项。（1）（2）（3）（4）（ ）（ ）2锦55 剪一块面积是剪一块面积是150cm150cm2 2的长方形铁片，使它的长方形铁片，使它 的长比宽多的长比宽多5cm5cm、这块铁片应该、这块铁片应该怎样剪怎样剪? ? 设长方形的为宽设长方形的为宽XcmXcm。列出方程列出方程 x x（x x十十5 5）150150 你能叫出这个方程的名字吗？你能

27、叫出这个方程的名字吗？ X+5X化简得化简得 x x2 2十十5x-150=05x-150=02锦56知识的升华独立独立作业作业w根据题意，列出方程：w（）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？w解：设正方形的边长为xm，则原长方形的长为(x5) m,宽为(x2) m，依题意得方程： w(x5) (x2) 54w即wx2 7x44 025xxX5X254m21.2 一元二次方程的解法进入学习20axbx c 57锦22锦58课本案例导入一元二次方程的一般式学习目标分析一元二次方程的解法本节归纳总结2锦59学习目标：返回1、熟

28、悉一元二次方程的一般式。2、理解配方法的概念，及配方法的原理，并 能熟练配得任何一元二次方程的完全平方。3、掌握十字相乘分解法，对于整数范围 内的数相乘的整式能很快分解出来。4、牢记用公式法解方程的公式，并能通过一 般式推断出来。5、通过本节的学习，可以由题目中方程 的形式来找到解题的最优方法。2锦60返回一元二次方程的一般式：一元二次方程，就是只有一个未知数一元二次方程，就是只有一个未知数且未知数最高次数为且未知数最高次数为2的整式方程，的整式方程，其一般形式为：其一般形式为：20axbxc想一想1、你能举出几个一元二次方程一般式的例子吗？2、根据一元二次方程的定义及一般式能否推断出一元三次

29、方程的定义及一般式呢？2锦61例例1: 1: 判断下列方程是不是一元二次方程判断下列方程是不是一元二次方程0313)1(2yx072)2(yx43)3(2 xx135)4(2x案例导入： 小王要将一块长100cm宽 50cm的长方形铁块的四个角分别剪去一相同大小的正方形，从而制成一面积为3600 的铁皮盖盒，小王不知道怎么裁剪，你能不能用数学方程的思想帮小王合理策划呢？A裁剪前裁剪后B2cm62锦22锦63怎样解这道实际应用题呢？ 解：我们设剪去的正方形的边长为xcm，那 么制成的盖盒B的边长分别为（100-2x)cm、（50-2x)cm，面积为3600 ,得到： （100-2x)(50-2x

30、)=3600 化简为：2cm2753500 xx对于这样的一元二次方程我们如何去求得其解呢？想一想？解法2锦64一元二次方程的解法：解方程公式法因式分解法配方法2锦65公式法：根据所提供的求根公式，把题中相关的值代入其中求出方程的解。242bbacxa 2753500 xx1a 75b 350c 15x 270 x 27050 x 5x 根据公式：其中代入公式求得：因为，所以本题解2锦66因式分解法：把一个整式通过变形化成几个整式或因式的乘积的过程。2753500 xx(70)(5)0 xx170 x 25x 5x 因式分解得：得到：又因为17050 x 所以，本题解得 为原题的解。2锦67配

31、方法：将方程的左边化成含未知数的完全平方，右边是数值的过程。2753500 xx222757575()()350022xx227575()()350022x15x 270 x 5x 27050 x 配方得到：解得：又因为，所以本题有2锦68 一、公式法：一、公式法：一元二次方程的根的判别式我们通常用一元二次方程的根的判别式我们通常用希腊字母希腊字母（读作（读作“德尔塔德尔塔”）来表示。）来表示。 因此因此b-4ac叫做一元二次方程的根的判别式叫做一元二次方程的根的判别式 用符号用符号“”表示是：表示是： =b-4ac若是若是0，则此一元二次方程有两个不相等的实，则此一元二次方程有两个不相等的实数根；数根；若是若是=0，则此一元二次方程有两个相等的实数，则此一元二次方程有两个相等