对数及其运算第一课时

1、一般地，如果一般地，如果 做以做以a为底为底 N的的对数对数，记作，记作 ，其中，其中a定义定义：) 1, 0(aaNax且，那么数，那么数 x叫叫Nxalog叫做对数的叫做对数的底数底数，N叫做叫做真数真数。说明：说明：(1) 我们把叫作指数式，Nax叫作对数式，Nxalog由定义知两者是等价的，即：(0,1)aaNaxNxalog（2）0,NRx，负数和零没有对数。(2) 指数式与对数式的对比指数式与对数式的对比 式子式子 名称名称 a b N 指数式: a b =N 对数式: log a N=b 幂的底数幂的底数指数指数对数的底数对数的底数对数对数幂值幂值真数真数两式中b、a、N的关系是

2、同一的，只不过写法不一样，位置和读法不一样，请完成下表：（3）对数式的引入，给出了用对数值来表示幂指数的值的方法。试把下列式中的x表示出来:181.0113x201.0113x301.0113x1.0118log131.0120log131.0130log13(4)通常把以10为底的对数叫常用对数，并把10log,N简记作lg.N例如：例如： 5log10简记作简记作lg5； 5 . 3log10简记作简记作lg3.5. 在科学技术中常常使用以无理数在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828为底的对数，即以为底的对数，即以e为底的对数叫自然对数。为底的对数叫自然对数。 为了简便，为了简便，

3、N的自然对数的自然对数 Nelog简记作简记作lnN。 例如：例如： 3loge简记作简记作ln3 ; 10loge简记作简记作ln10（5）自然对数：）自然对数： 你能写出下列对数的值吗？2log 12log 2lg 1lg10ln1lne3log 13log 311110000你发现有什么规律？1的对数等于0， 底的对数等于11log, 01logaaalogaNbbNalogbaablog,aNaN(5)如果把式子中的N用代换，把式子中的b用代换，logabNbaN会得到什么样的式子？从而得到：这两个式子，我们叫对数恒等式例1 将下列指数式写成对数式： （1） （4） （3） （2） 6

4、25544625log5641266641log2 273aa27log313. 531mm13. 5log31?底数?对数?真数?幂?指数?底数?log?a?Nb?a?b?=N（1） （4） （3） （2） 例2 将下列对数式写成指数式：01. 0102 201. 0lg125153 31251log510303. 2e303. 210ln27313 327log31?底数?对数?真数?幂?指数?底数?log?a?Nb?a?b?=N642log3x 223233164(4 )416x642log3x （1）解：因为所以log 8 6xlog 86x0 x 11136628(2 )22x （2

5、）解: 因为68x 所以又因所以例3计算： （4） （3） 解法一： 解法二：解法二：解法一： 因为 则 因为 则 利用对数的定义或恒等式求式子的值，首先要设成对数式，再转化为指数式或指数方程求解，另外利用对数恒等式可直接求解，所以有两种解法。lg100 x于是21010010 ,xlg100, x2.x 因为于是210lg100lg2,2.x 2lnex2ln,ex2ln,ex即2,xee于是2.x因为2ln2,e于是2.x2ln2,e 所以（5） （6） 27log981log43 解法一： 解法二：设 ,27log9x 则 ,279 x ,3332x 23 x239log3log27lo

6、g239399解法一： 解法二：设 则 81log43x,8134x,3344x16 x16)3(log81log1643344?底数?对数?真数?幂?指数?底数?log?a?Nb?a?b?=N即即log,aNaNlogbaab对数恒等式对数恒等式定义：一般地，如果 1, 0aaa的b次幂等于N, 就是 Nab，那么数 b叫做以a为底 N的对数，记作 bNaloga叫做对数的底数，N叫做真数。?底数?对数?真数?幂?指数?底数?log?a?Nb?a?b?=N自然对数自然对数：对数的基本性质：对数的基本性质：（1） 零和负数没有对数（2） 1的对数等于0，即（3） 底的对数等于1，即log 10.alog1.aa （4）对数恒等式log,aNaNlogbaab以以10为底