比例线段及相似性质和判定

1、比例线段与相似性质和判定、比例的性质1.abc"d二ad二be,这一性质称为比例的基本性质2.acbd（反比定理）;bdac3.aca丄（或dc）（更比定理）;bdcdbaaca bc d4.（合比定理）;bdbdaca -bc d5.（分比定理）;bdbd6.aca bc d（合分比定理）;bda -bc d，由它可推出许多比例形式a c ma c ma7.(b dn =0)(等比定理).b dnb 亠d nb二、成比例线段1比例线段对于四条线段a , b, c, d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如-b d（即a:b=c:d ）,那么这四条线段a ,

2、 b , c, d叫做成比例线段，简称比例线段.2 比例的项a c在比例式（a:b=c:d ）中，a , d称为比例外项，b , c称为比例内项，d叫做a , b , c的第四b d比例项.a b三条线段（a:b=b:c）中，b叫做a和c的比例中项.b c3 .黄金分割«»BACB如图，若线段AB上一点C把线段AB分成两条线段 AC和BC （ AC BC ），且使AC是AB和BC的比例中项（即AC2二AB BC ）则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中梟5 -13 5ACAB ： 0.618AB , BCAB -0.382AB , AC 与 AB 的比

3、叫做黄金比.2 2三、平行线分线段成比例定理1 .定理两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例.2 .推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.3. 推论的逆定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角 形的第三边.4. 三角形一边的平行线性质平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成 比例.如图，AB II CD II EF，贝V 竺,CE DFCE DF AC BD CE DF .若将AC称为上，CE称为AC - BD ' AE - BF 

4、9; AE BF下，AE称为全，上述比例式可以形象地表示为上上下下上上下下下 下上当三条平行线退化成两条的情形时，就成了“A ”字型,上，全_全，全AE AFBC ef=ebfc'AEAFEFABACBC考点一：比例的性质?考点说明：如果要考查多以选择和填空为主，重点掌握等比性质【例1】，则52x y 3z3x-2y-z的值为【巩固】【拓展】a c -e，则b d则k的值为【例2】已知x: y : z =1:3:5求的值x 3y z【巩固】已知:2 求 xy+3z234考点二：黄金分割?考点说明：如果要考查可能出现在22题之中，需要掌握黄金分割的定义【例3】如图所示，乐器上的一根弦 A

5、B=80cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点 C是靠近点B的黄金分割点（即 AC是AB与BC的比例中项），支撑点 D是靠近点A的黄金分割点，贝UAC =cm , DC =cm .«ft AD CB【例4】如图所示，在黄金分割矩形二与1中，分出一个正方形ABFE，求空CD考点三：平行线分线段成比例定理?考点说明：平行线分线段成比例定理的考查多数以选择或填空的形式展开【例5】 如图，DE II BC，且DB二AE，若AB =5, AC =10，求AE的长.【例6】如图，已知DE II BC , EF II AB，则下列比例式中错误的是（）ADAECEEAA .B.ABACCFFB

6、DEADEFCFC.D.BCBDABCB【拓展】如图，6ABC中，D为BC边的中点，延长AD至E，延长AB交CE的延长线于P 若AD =2E , 求证：AP =3AB 【例7】已知，如图边长为2的等边 ABC ,DE II BC , S BCD : S ABC【例8】 如图，在 OCE中，AD II BE、BD II CE，若OA=3, AC =9，则AB的长为【例9】 已知，如图在平行四边形 ABCD , P为BC上任一点，连接 DP交AB的延长线于Q求证:BC AB _BP BQB考点四：梅涅劳斯定理?考点说明：梅涅劳斯型在选择和填空中考察较多，需要熟练掌握该定理以提高解题速度梅涅劳斯定理

7、：如果一条直线与 ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于 F、D、E点，那么AF BDFB DCCA"这条直线叫 ABC的梅氏线, ABC叫梅氏三角形.C 作 CG II DF证法一：如左图，过DB FB EC DC FG， AE AFFGBCDAF BD CE AF FB匹邛AF AF AGFB - BD，BD BD CE DC，EA 一 AGDC - DC三式相乘即得:AF BDFB DCCE AG BDEA 一 BD DCAG证法三：如右图,分别过A、B、C作DE的垂线，分别交于Hi、H2、FB DC EA FB FG证法二：如中图，过 A作AG II BD交DF的延长线于

8、贝U有 AH1 II BH2 II CH 3,所以生BD匹=如FB DC EA BH 2业如=1CH3 AHi【例10】如图，在UABC中，M是AC的中点,E是AB上一点，且AE AB，连接EM并延长，交BC 4的延长线于D，则BCCDA【例11】如图，在 ABC中，D为BC边的中点，E为AC边上的任意一点， BE交AD于点0.(1)当A-1时，求A0的值；AC2AD(2)当AE1二一、1时，求A°的值；AC34AD(3)试猜想AE-1时A。的值，并证明你的猜想ACn 1AD【巩固】如图， AD是 ABC的中线，点E在AD上，F是BE延长线与AC的交点（1）如果-是AD的中点，求证：

9、AF 1” FC 一2 'AF 1 AE（2）由（1）知，当E是AD中点时，一一=-成立，若E是AD上任意一点（E与A、D不 FC 2 -D重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由【拓展】在 ABC中，底边BC上的两点-、F把BC三等分，BM是AC上的中线，A-、AF分别交BM于 G、H 两点，求证： BG:GH : HM =5:3: 2B-FC考点五：相似三角形的性质?考点说明：利用相似三角形的性质如对应边成比例，求线段的长，或者转化角度。如图，四边形 ABCD是平行四边形,则 BF:FD =()A. 4: 5B.4:9C. 4:10D. 5:9E 为 B

10、C 上一点，AE 交 BD 于 F。若 BE: EC =4:5 ,A已知 E 为梯形 ABCD 一腰 AB 上一点，且 AE:EB=2:1 , EF II BC 交 CD 于 F , AD =5 , EF =7 ,则BC长为（）A. 8C.10B. 9D. 11如图，在梯形 ABCD中，AB II CD , AB =a , CD , E为边AD上的任意一点，EF II AB，且EF交BC于点F .若E为边AD上的中点，贝U EF = （用含有a , b的式子表示）；若E为边AD上距点A最近的n等分点（n_2,且n为整数），则EF = （用含有n , a , b的式子表示）CII-F如图，n 1

11、个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设厶B2D1C1的面积为Si , B3D2C的面积为S2， BmDnCn的面积为Sn，则&=； Sn= （用含n的式子表示）5Q，若以A、如图，在ABC中，AB=6 , AC=4 , P是AC的中点，过P点的直线交AB边于点P、Q为顶点的三角形和以 A、B、C为顶点的三角形相似，贝U AQ的长为（）A. 3B. 3或-3C.3 或-4D.43考点四：相似三角形的判定?考点说明：熟练掌握相似三角形的判定方法,如图，小正方形的边长均为 1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与 ABC相似的是（）CAB在 ABC中，/B =25 , AD是BC边上的高，且 ADBD DC，则.BCA的度数为如图，已知.DAB=/EAC，若再增加一个条件就能使结论 ABDE二AD BC成立，则这个条件可以是已知：如图，点 P是边长为4的正方形ABCD内一点，PB=3, BF_BP于点B，试在射线BF上 找一点M，使得以点B,M,C为顶点的三角形与