正方形的性质与判定例题精讲和练习题及答案---侯老师

1、第三讲正方形的性质与判定、知识要点1. 正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.2. 正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形.它具有前三者的所有性质:1边的性质：对边平行，四条边都相等.2角的性质：四个角都是直角.对角.3对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，？每条对角线平分一组4对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形.平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）3. 正方形的判定1:对角线相等的菱形是正方形2:对角线互相垂直的矩形是正方形，正方形是一种特殊的矩形3:四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形4： 一组邻边相等的矩形是正方形5

2、: 组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形典型例题例1 如图12-2-14，已知过正方形 ABC%角线BD上一点P，作PE± BC于E，作PF丄CD于F.试说明AP= EF.甘 E.V 12-2U4分析：由PE丄BC, PF丄CD知，四边形PECF为矩形，故有 EF= PC,这时只需证 AP= CP, 由正方形对角线互相垂直平分知AP= CP解：连结AC PC,四边形ABCD为正方形， BD垂直平分 AC AP= CP./ PE丄BC, PF丄CD / BCD= 90°,四边形PECF为矩形， PC= EF, AP= EF.注意：在正方形中，常利用对角线互相垂直平分

3、证明线段相等.无论是正方形还是矩形经常通过连结对角线证题，这样可以使分散条件集中.思考：由上述条件是否可以得到 API EF.提示：可以，延长 AP交EF于N,由PE/ AB,有/ NPE=Z BAN又/ BAN=Z BCP 而/ BCP=Z PFE 故/ NPE=Z PFE而/ PFE+Z PEF= 90°，所以/ NPEFZ PEF= 90°，贝U API EF.例 2 如图 12-2-15 , ABC中，Z ABC= 90°, BD平分Z ABC DEI BC, DF丄AB 试说 明四边形BEDF是正方形.解：I/ ABC= 90°, DEL BC

4、, DE/ AB,同理，DF/ BC BEDF是平行四边形./ BD平分/ ABC DEL BC, DFL AB, DE= DF.又/ ABC= 90°, BEDF是平行四边形，四边形BEDF是正方形.思考：还有没有其他方法？提示：（有一种方法可以证四边形 DFBE为矩形，然后证 BE= DE可得.另一种方法, 可证四边形DFBE为菱形，后证一个角为 90°可得）注意：灵活选择正方形的识别方法.例3 如图12-2-16所示，四边形 ABCD是正方形， ADE是等边三角形，求/ BEC的大小.分析：等边三角形和正方形都能提供大量的线段相等和角相等，常能产生一些等腰三角形，十分

5、便于计算.在本题中，必须注意等边三角形与正方形不同的位置关系在（1）图中, ABE和厶DCE都是等腰三角形， 顶角都是150°,可得底角/ AEB与/ DEC都是15°,贝 BEC为30°.而在 图中，等边三角形在正方形内部，ABE和厶DCE是等腰三角形，顶角是30°,可得底角/ AEB和/ DEC为75°,再利用周角可求得/ BEC= 150° .解： 当等边 ADE在正方形 ABCD外部时，AB= AE,/ BAE= 90°+ 60°= 150°,所 以/ AEB= 15° .同理可得/ D

6、EC= 15°，则/ BEC= 60° 15° 15°= 30 ° .(2)当等边 ADE在正方形 ABCD内部时，AB= AE,/ BAE= 90° 60 ° = 30°，所以/AEB= 75° .同理可得/ DEC= 75°，则/ BEC= 360° 75° 75° 60°= 150° .【中考考点】会用正方形的性质来解决有关问题，并能用正方形的定义来判断四边形是否为正方形.【命题方向】本节出题比较灵活，填空题、选择题、证明题均可出现.正方形

7、是特殊的平行四边形，考查正方形的内容，实质上是对平行四边形知识的综合, 涉及正方形知识的题型较多，多以证明题形式出现.【常见错误分析】已知如图12-2-18 , ABC中，/ C= 90°，分别以 AC和BC为边向外作正方形 ACFH和 正方形BCED HML BA的延长线于 M, DK AB的延长线于 K 试说明 AB= DK+ HM错解：延长DK到S,使KS= HM连结SB./ 2=Z 3,Z 2+Z 4= 90°,/ 3+Z 4= 90°.在厶ABC SDB中，/ ACB=Z SBD= 90°,BC= BD，/ 2= 90°/ 4=Z 5

8、 ABC SDB重合， AB= SD= SKDK,即 AB= HM DK.分析指导：由于S、B C三点共线未经证明，所以/ 2 =/ 3的理由是不充足的，因此又犯了思维不严密的错误.正解：如图12-2-18，延长DK交CB延长线于S,下面证 KS= MH在厶 ACB SBD中,/ BD= BC, / SBD=/ ACB= 90 ° ,又/ 2=/ 3=/ 5, ACB与 SBD重 合， AB= DS, BS= AC= AH.在厶 BKS和 AMH中,/ 1=/ 2=/ 3,/ AM=/ SKB= 90°, BS= AH, BKS与 AMHt 合， KS= HM， AB= D

9、K HM.【学习方法指导】正方形是最特殊的平行四边形，它既是一组邻边相等的矩形，又是有一个角为直角的菱形，所以它的性质最多，易混淆.故最好把平行四边形、矩形、菱形、正方形列表写出它们的定义、性质、判定，这样更容易记忆和区分三、作业正方形的判定选择题（共 8 小题） 1已知四边形 ABCD是平行四边形，再从AB=BC/ ABC=90，AC=BDACLBD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ）A. 选 B .选 C .选D .选2下列说法中，正确的是（）A. 相等的角一定是对顶角B. 四个角都相等的四边形一定是正方形C. 平行四边形的对

10、角线互相平分D. 矩形的对角线一定垂直3. 下列命题中是假命题的是（）A. 组对边平行且相等的四边形是平行四边形B. 组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形C. 一组邻边相等的平行四边形是菱形D. 组邻边相等的矩形是正方形4. 已知四边形 ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的有（）当AB=BC时，它是菱形；当 ACL BD时，它是菱形；当/ ABC=90时，它是矩形； 当AC=BD寸，它是正方形.A. 1组B . 2 组C . 3组 D . 4组5. 四边形ABCD勺对角线AC=BD ACLBD分别过 A B、C、D作对角线的平行线，所成的 四边形EFMh（）A.正方形 B .菱形 C

11、.矩形 D .任意四边形6如果要证明平行四边形 ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明（）A. AB=AD且 ACL BD B. AB=AD且 AC=BD C . Z A=/B 且 AC=BD D. AC和 BD互相垂直 平分7.下列命题中，真命题是（）A. 对角线相等的四边形是矩形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形&如图，在厶ABC中，Z ACB=90 , BC的垂直平分线 EF交BC于点D,交AB于点E,且BE=BF 添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形

12、的是（）A. BC=AC B. CFL BF C. BD=DFD. AC=BF二.填空题（共6小题）9.能使平行四边形 ABCD为正方形的条件是 （填上一个符合题目要求的条件即可）.10 .如图，在Rt ABC中，Z C=90 , DE垂直平分 AC, DFL BC当厶ABC满足条件 时，四边形DECF是正方形.（要求：不再添加任何辅助线，只需填一个符合要求的条件）11. 如图，菱形 ABCD的对角线相交于点 0,请你添加一个条件：_ ，使得该菱形为正方形.12. 如图，在四边形 ABCD中, AB=BC=CD=DA对角线AC与BD相交于点0,若不增加任何字 母与辅助线，要使四边形 ABCD是

13、正方形，则还需增加一个条件是_.13. 已知四边形ABCD中, / A=Z B=Z C=90 ,若添加一个条件即可判定该四边形是正方形， 那么这个条件可以是.14要使一个菱形成为正方形，需添加一个条件为 .三.解答题（共8小题）15. 已知：如图， ABC中，/ ABC=90 , BD是/ ABC的平分线，DEL AB于点E, DF丄BC于点F.求证：四边形 DEBF是正方形.16. 如图，在四边形 ABCD中, AB=BC对角线 BD平分/ ABC P是BD上一点，过点P作PMLAD, PNL CD垂足分别为 M N.(1 )求证：/ ADBM CDB(2)若/ ADC=90，求证：四边形

14、MPND正方形.17. 如图，在 Rt ABC中，/ ACB=90，过点 C的直线 MN/ AB D为AB边上一点，过点 D 作DEIBC交直线 MN于E,垂足为F,连接CD BE(1) 求证：CE=AD(2) 当D在AB中点时，四边形 BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；(3) 若D为AB中点，则当/A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你 的理由.18. 如图，在 ABC中，点 D E分别是边 AB AC的中点，将 ADE绕点E旋转180°得到 CFE(1) 求证：四边形 ADCF是平行四边形.(2) 当厶ABC满足什么条件时，四边形 ADCF是正方形？请说明

15、理由.A19如图，分别以线段 AB的两个端点为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧交于 M N两 点，连接 MN交AB于点 D C是直线 MN上任意一点，连接 CA CB过点D作DEL AC于点 E, DFL BC 于点 F.(1) 求证： AEDA BFD(2) 若AB=2当CD的值为时，四边形 DECF是正方形.20 .如图，AB是CD的垂直平分线，交 CD于点M过点 M作MEL A C, MFL AD垂足分别为E、F.(1 )求证：/ CABM DAB(2)若/ CAD=90，求证：四边形 AEMF是正方形.21. 如图， ABC中，点 0是边AC上一个动点，过 0作直线 MN/ BQ

16、设 MN交/ACB的平分 线于点E,交/ ACB的外角平分线于点 F.(1) 探究：线段 0E与OF的数量关系并加以证明；(2) 当点0运动到何处时，且 ABC满足什么条件时，四边形 AECF是正方形？(3) 当点0在边AC上运动时，四边形 BCF 是菱形吗？(填“可能”或“不 可能”)3CD22. 已知：如图， ABC中，点0是AC上的一动点，过点 0作直线 MN/ AC设 MN交/ BCA 的平分线于点E,交/ BCA的外角/ACG的平分线于点F,连接AE、AF.(1 )求证：/ ECF=90 ;(2)当点0运动到何处时，四边形 AECF是矩形？请说明理由;(3) 在(2)的条件下， AB

17、C应该满足条件：_ ，就能使矩形 AECF变为正方形.(直接添加条件，无需证明)参考答案与试题解析一选择题（共 8 小题）1已知四边形 ABCD是平行四边形，再从AB=BC/ ABC=90，AC=BDACLBD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ）A. 选B.选C.选D.选考点：正方形的判定；平行四边形的性质分析：要判定是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形.解答：解：A、由得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形 ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意;B由得有一个角是直角的平行

18、四边形是矩形，由得对角线相等的平行四边形是矩形， 所以不能得出平行四边形 ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；C由得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形 ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；D由得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由得对角线互相垂直的平行四边形是菱 形，所以平行四边形 ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意.故选： B.点评：本题考查了正方形的判定方法： 先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； 先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角. 还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定.2.

19、下列说法中，正确的是（）A. 相等的角一定是对顶角B 四个角都相等的四边形一定是正方形C 平行四边形的对角线互相平分D 矩形的对角线一定垂直考点：正方形的判定；对顶角、邻补角；平行四边形的性质；矩形的性质分析：根据对顶角的定义，正方形的判定，平行四边形的性质，矩形的性质对各选项分析判断利用排除法求解解答：解：A、相等的角一定是对顶角错误，例如，角平分线分成的两个角相等，但不是对顶角，故本选项错误；B四个角都相等的四边形一定是矩形，不一定是正方形，故本选项错误；C平行四边形的对角线互相平分正确，故本选项正确；D矩形的对角线一定相等，但不一定垂直，故本选项错误.故选： C点评：本题考查了正方形的判

20、定， 平行四边形的性质， 矩形的性质， 对顶角的定义，熟记各性质与判定方法是解题的关键.3. 下列命题中是假命题的是（）A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B. 一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形C. 一组邻边相等的平行四边形是菱形D. 一组邻边相等的矩形是正方形考点：正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定.专题：证明题.分析：做题时首先熟悉各种四边形的判定方法，然后作答.解答：解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，（平行四边形判定定理）；正确B 组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形，不一定是矩形，还可能是不规则四边 形，错误C 一组邻边相等的平行

21、四边形是菱形，正确；D 组邻边相等的矩形是正方形，正确.故选 B点评：本题主要考查各种四边形的判定，基础题要细心.4. 已知四边形 ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的有（） 当AB=BC寸，它是菱形；当 ACL BD时，它是菱形；当/ ABC=90时，它是矩形； 当AC=BD寸，它是正方形.A.1 组B. 2 组C. 3组D. 4组考点：正方形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定.分析：根据邻边相等的平行四边形是菱形可判断正确； 根据所给条件可以证出邻边相等，可判断正确；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断正确；根据 对角线相等的平行四边形是矩形可以判断出错误.解答：解

22、：根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形,当AB=BC寸，它是菱形正确； 四边形ABCD是平行四边形， BO=OP/ ACL BD AB2=BO2+AO2P AD2=DO2+AO2P AB=ADP四边形ABCD是菱形，故正确； 根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可知正确； 根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC=BD寸，它是矩形，不是正方形，故错误;故不正确的有1个.故选：A.点评：此题主要考查了菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定，关键是熟练掌握三种特殊平行四边形的判定定理.5. 四边形ABCD勺对角线AC=BD ACLBD,分别过 A B、C、D作对角线的平行

23、线，所成的 四边形EFMN()A.正方形B.菱形C.矩形D.任意四边形考点：正方形的判定.分析：根据平行线的性质和判定得出/ NAOM AODM N=90 ,EN=NM=FM=ERS而判断即可.解答：证明：如图所示：分别过A B C D作对角线的平行线， AC/ MN EF, EN/ BD/ MF对角线 AC=BD ACL BD/ NAOM AODM N=90 , EN=NM=FM=EF四边形EFMN是正方形.故选：A.V点评：此题主要考查了正方形的判定以及平行线的性质和判定等知识，熟练掌握正方形的判定定理是解题关键.6 如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行

24、四边形的基础上，进一步证明（）A.AB=AD且 ACL BD B.AB=AD且 AC=BD C ./ A=/B 且 AC=BD D AC 和 BD互相垂直平分考点：正方形的判定.分析：根据正方形的判定对各个选项进行分析从而得到最后的答案.解答：解：A、根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，或者对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能判断平行四边形ABCD是正方形；B根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形为矩形，所以能判断四边形ABCD是正方形；C 一组邻角相等的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形也是矩形，即只能证明四边形ABCD是矩形，不能判断四边形 ABCD是正

25、方形；D对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以不 能判断四边形ABCD是正方形.故选B.点评：本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种： 先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等;先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角.7下列命题中，真命题是（）A. 对角线相等的四边形是矩形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形考点：正方形的判定； 平行四边形的判定； 菱形的判定； 矩形的判定； 命题与定理.分析：A、根据矩形的定义作出判断；B根据菱形的性质作出

26、判断；C根据平行四边形的判定定理作出判断;D根据正方形的判定定理作出判断.解答：解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；B对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；C对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；D对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误;故选 C.点评：本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定.解答此题时，必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系.&如图，在厶ABC中，/ ACB=90 , BC的垂直平分线 EF交BC于点D,交AB于点E,且BE=BF, 添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（

27、）A.BC=ACB. CF丄 BFC. BD=DFD. AC=BF考点：正方形的判定；线段垂直平分线的性质.分析：根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE=ECBF=FC进而得出四边形 BECF是菱形；由菱形的性质知，以及菱形与正方形的关系，进而分 别分析得出即可.解答：解： EF垂直平分BC BE=EC BF=CF/ BF=BE BE=EC=CF=BF四边形BECF是菱形；当BC=AC寸，/ ACB=90 ,则/A=45°时，菱形 BECF是正方形./ A=45°,Z ACB=90 , / EBC=45 / EBF=2/ EBC=2< 45&#

28、176; =90°菱形BECF是正方形.故选项A正确，但不符合题意；当CF丄BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项B正确，但不符合题意;当BD=DF寸，禾U用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项 C正确，但不符合题意；当AC=BF时，无法得出菱形 BECF是正方形，故选项 D错误，符合题意.故选：D.点评：本题考查了菱形的判定和性质及中垂线的性质、直角三角形的性质、正方形的判定等知识，熟练掌握正方形的相关的定理是解题关键.二.填空题（共6小题）9. 能使平行四边形 ABCD为正方形的条件是AC=BD且ACLBD （填上一个符合题目要求的条件即可）.考点：

29、正方形的判定；平行四边形的性质.专题：开放型.分析：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，矩形和菱形的结合体是正方形.解答：解：可添加对角线相等且对角线垂直或对角线相等，且一组邻边相等；或对角线垂直，有一个内角是 90°.答案不唯一，此处填：AC=BEfi ACLBD点评：本题考查正方形的判定，需注意它是菱形和矩形的结合.10. 如图，在 Rt ABC中，/ C=9C° , DE垂直平分 AC, DF丄BC当厶ABC满足条件 AC=BC 时，四边形DECF是正方形.（要求：不再添加任何辅助线，只需填一个符合要求的条件）考点:正方形的判定.专题:计算

30、题；开放型.分析：由已知可得四边形的四个角都为直角，因此再有四边相等即是正方形添加条件.此题可从四边形 DECF是正方形推出.解答：解：设AC=BC即厶ABC为等腰直角三角形，/ C=90 , DE垂直平分 AC DF丄 BC/ C=Z CEDM EDF2 DFC=90 ,DF=AC=CE2DE=BC=CF2 DF=CE=DE=CF四边形DECF是正方形，故答案为：AC=BC点评：此题考查的知识点是正方形的判定，解题的关键是可从四边形DECF是正方形推出 ABC满足的条件.11. 如图，菱形 ABCD勺对角线相交于点 0,请你添加一个条件：AC=BD或AB丄BC ，使得该菱形为正方形.考点：正

31、方形的判定；菱形的性质.专题：压轴题.分析：根据正方形判定定理进行分析.解答：解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加： AC=BD根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：AB丄BC故添加的条件为： AC=BD或 AB! BC点评：本题答案不唯一，根据菱形与正方形的关系求解.12. 如图，在四边形 ABCD中，AB=BC=CD=DA寸角线AC与BD相交于点0,若不增加任何字 母与辅助线，要使四边形 ABCD是正方形，则还需增加一个条件是AC=BD或AB丄BC .考点：正方形的判定；菱形的判定.专题：开放型.分析：根据菱形的判定定理及正方形的判定定理即可解答.解答：解：在四边形 ABCD中,

32、AB=BC=CD=DA四边形ABCD是菱形要使四边形 ABCD是正方形，则还需增加一个条件是：AC=BD或 AB丄BC点评：解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定定理，即有一个角是直角的菱形是正方形.13. 已知四边形ABCD中, / A=Z B=Z C=90 ,若添加一个条件即可判定该四边形是正方形, 那么这个条件可以是AB=AD或ACL BD等 .考点：正方形的判定；矩形的判定与性质.专题：开放型.分析：由已知可得四边形 ABCD是矩形，则可根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形添加条件.解答：解：由/A=Z B=Z C=90可知四边形 ABCD是矩形，根据根据有一组邻边相等或对角

33、线互相垂直的矩形是正方形，得到应该添加的条件为：AB=AD或ACL BD等.故答案为：AB=AD或 ACL BD等.点评：本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种： 先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等； 先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角.14. 要使一个菱形成为正方形，需添加一个条件为有一个角是直角或对角线相等.考点：正方形的判定；菱形的性质.专题：开放型.分析：根据菱形的性质及正方形的判定进行分析，从而得到最后答案.解答：解：要使一个菱形成为正方形，需添加一个条件为：有一个角是直角或对角线相等.点评：解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定定理：

34、(1) 有一个角是直角的菱形是正方形；(2 )对角线相等的菱形是正方形.三.解答题(共8小题)15. 已知：如图， ABC中，/ ABC=90 , BD是/ ABC的平分线，DEL AB于点E, DF丄BC 于点F.求证：四边形 DEBF是正方形.考点：正方形的判定.专题：证明题.分析：由DEL AB DF丄BC / ABC=90，先证明四边形DEBF是矩形，再由 BD是/ ABC的平分线，DEL AB于点E, DFL BC于点F得出DE=DF判定四边形 DEBF是正方形.解答：解：T DEL AB DFL BC/ DEBM DFB=90 ,又/ ABC=90 ,四边形BEDF为矩形，/ BD

35、是/ABC 的平分线，且 DEL AB DFL BC DE=DF矩形BEDF为正方形.点评：本题考查正方形的判定、角平分线的性质和矩形的判定.要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形.16. 如图，在四边形 ABCD中, AB=BC对角线 BD平分/ ABC P是BD上一点，过点P作PMLAD PNL CD垂足分别为 M N.(1 )求证：/ ADBM CDB(2) 若/ ADC=90，求证：四边形 MPN是正方形.专题:证明题.分析：（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明厶 ABDA CBD由全等三角形的性质即可得到：/ ADB=/ CDB（2）若/ ADC

36、=90，由（1）中的条件可得四边形 MPND!矩形，再根据两边相等的四边形 是正方形即可证明四边形 MPND!正方形.解答：证明：（1）V对角线BD平分/ ABC / ABDM CBD 在厶ABD和厶CBD中,AB=CB一,-,BD=BD ABDA CBD( SAS , / ADBM CDB(2)TPMLAD PNL CD/ PMDWPND=90 ,/ ADC=90 ,四边形MPND!矩形，/ ADBM CDB/ ADB=45 PM=MD四边形MPND!正方形.点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、矩形的判定和性质以及正方形的判定，解题的关键是熟记各种几何图形的性质和判定.1

37、7. 如图，在 Rt ABC中，/ ACB=90，过点 C的直线 MN/ AB, D为AB边上一点，过点 D 作DEL BC交直线 MN于E,垂足为F,连接CD BE(1) 求证：CE=AD(2) 当D在AB中点时，四边形 BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；(3) 若D为AB中点，则当/A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你 的理由.考点：正方形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定.专题：几何综合题.分析：(1)先求出四边形 ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可;(2) 求出四边形 BECD是平行四边形，求出 CD=B D根据菱形的判定推出即可；(3

38、) 求出/ CDB=90，再根据正方形的判定推出即可.解答：(1)证明：T DEL BC/ DFB=90 ,/ ACB=90 ,/ ACBM DFB AC/ DE/ MN/ AB 即 CE/ AD四边形ADEC是平行四边形， CE=AD(2) 解：四边形 BECD是菱形，理由是：TD为AB中点， AD=BD/ CE=AD BD=CE/ BD/ CE四边形BECD是平行四边形，/ ACB=90 , D 为 AB 中点， CD=B，D四边形BECD是菱形；(3) 当/A=45时，四边形 BECD是正方形，理由是：解：/ ACB=90，/ A=45, / ABCM A=45, AC=BC，D为BA中

39、点， CDL ABM CDB=90 ，四边形BECD是菱形，四边形BECD是正方形，即当/ A=45时，四边形 BECD是正方形.点评：本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力.18. 如图，在 ABC中，点 D E分别是边 AB AC的中点，将 ADE绕点E旋转180°得到 CFE(1) 求证：四边形 ADCF是平行四边形.(2) 当厶ABC满足什么条件时，四边形 ADCF是正方形？请说明理由.考点：正方形的判定；平行四边形的判定.分析：(1 )利用旋转的性质得出点A E、C三点共线，点D、E、F三点共线

40、，且AE=CD DE=FE即可得出答案；(2)首先得出CDLAB即/ADC=90，由(1)知，四边形 ADCF是平行四边形，故四边形 ADCF是矩形.进而求出 CD=AD即可得出答案.解答：(1)证明： CFE是由 ADE绕点E旋转180°得到，点A、E、C三点共线，点 D、E、F三点共线，且 AE=CE DE=FE故四边形ADCF是平行四边形.(2 )解：当/ ACB=90 , AC=BC寸，四边形 ADCF是正方形.理由如下：在厶ABC中，T AC=BC AD=BD CDL AB 即/ ADC=90 .而由(1)知，四边形 ADCF是平行四边形， 四边形ADCF是矩形.又/ AC

41、B=90 , CD冷紀二AD，故四边形ADCF是正方形.点评：此题主要考查了平行四边形的判定以及正方形的判定等知识，得出四边形ADCF是矩形是解题关键.19如图，分别以线段 AB的两个端点为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧交于 M N两 点，连接 MN交AB于点 D C是直线 MN上任意一点，连接 CA CB,过点D作DEL AC于点 E, DFL BC 于点 F.(1) 求证： AEDA BFD(2) 若AB=2当CD的值为 1 时，四边形 DECF是正方形.考点：正方形的判定；全等三角形的判定.分析：(1)先由作图知 MN是线段AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得出CA=CB AD

42、=BD由等边对等角得到/ A=Z B,然后利用 AAS即可证明厶AEDA BFD(2)若AB=2,当CD的值为1时，四边形 DECF是正方形.先由 CD=AD=BD=1 MNLAB得出 ACD与 BCD都是等腰直角三角形，则/ ACDM BCD=45，/ ECF=90，根据有三个角是 直角的四边形是矩形证明四边形DECF是矩形，再由等角对等边得出ED=CE从而得出矩形DECF是正方形.解答：(1)证明：由作图知， MN是线段AB的垂直平分线，C是直线 MN上任意一点，MN交AB于点D, CA=CB AD=BD/ A=Z B.在厶AED与厶BFD中，上 AED 二 ZBFD 二Za=Z&

43、，AD=BD AEDA BFD( AAS ；(2)解：若AB=2,当CD的值为1时，四边形DECF是正方形.理由如下: / AB=2 AD=BD=AB=1./ CD=AD=BD=1MNL AB ACD与厶BCD都是等腰直角三角形，/ ACDM BCD=45 ,/ ECF=/ ACD# BCD=90 ,/ DEC# DFC=90 ,四边形 DECF是矩形，/ CDE=90 - 45° =45°,# ECD# CDE=45 , ED=CE矩形DECF是正方形.故答案为1.点评：本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定，正方形的判定，等腰直角三角形的判定与性质，难度适中.

44、20 .如图，AB是CD的垂直平分线，交 CD于点M过点 M作MEI A C, MH AD垂足分别为E、F.(1 )求证：/ CAB=/ DAB(2)若/ CAD=90，求证：四边形 AEMF是正方形.考点：正方形的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质.专题：证明题.分析：(1)根据AB是CD的垂直平分线，得到 AC=AD然后利用三线合一的性质得到/ CABd DAB即可；(2 )首先判定四边形 AEMF是矩形，然后证得 ME=MF利用邻边相等的矩形 AEMF是正方形 进行判定即可.解答：(1)证明：T AB是CD的垂直平分线， AC=AD又 AB丄 CD/ CABd DAB(等

45、腰三角形的三线合一)；(2)证明：T MEL A C, MFL AD / CAD=90 ,即/ CADd AEMdAFM=90 , 四边形AEMF是矩形,又/ CABd DAB MEI A C, MH AD ME=M,F矩形AEMF是正方形.点评：本题考查正方形的判定，线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质的知识，综合性较强，难度不大.21. 如图， ABC中，点 0是边AC上一个动点，过 0作直线 MN/ BC 设 MN交/ACB的平分 线于点E,交/ ACB的外角平分线于点 F.(1) 探究：线段 0E与OF的数量关系并加以证明；(2) 当点0运动到何处时，且 ABC满足什么条件时，四边形 AECF是正方形？(3) 当点0在边AC上运动时，四边形 BCFE不可能 是菱形吗？(填“可能”或“不可 能”)考点：正方形的判定；菱形的判定.分析：(1)由直线 MN/ BC MN交d BCA的平分线于点 E,交/ BCA的外角平分线于点F,易证得 0EC与A0FC是等腰三角形，则可证得0E=0F=QC(2)正方形的判定问题，AECF若是正方形，则必有对角线0A=0C所以0为AC的中点，同样在 ABC中，当/ACB=90时，可满足其为正方形；(3 )菱形的判定问题，若使菱形，则必有四条边相等，对角线互相垂直.解答：解：(1) 0E=0F理由如下：/ CE是/ACB的角平