概率论与数理统计浙大四版习题答案

1、1. 一随机地取74.00174.005求总体均值卩及方差c第七章参数估计8只活塞环，测得它们的直径为（以74.00374.00174.00073.998mm计)74.00674.0022的矩估计，并求样本方差S2。解：u,b 2的矩估计是X 74.002n2 6(Xi x) 6 10i 1S26.86 10 6。2.二设X1, X1,，Xn为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布 律中的未知参数的矩估计量。ecex (e °,X c0,其它f(x).ex e 1,00,其它(5)P(Xx) m px(1xfp)m其中c>0为已知，e>1, e为未知参数。其中B&

2、gt;0, B为未知参数。x,x0,1,2,m,0 p1, P为未知参数。解：（1） E（X）xf (x)dxec excdx -c1c ec,令韦E(X)xf(x)dx 0 打 X edxX,得e解得?m3.三求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。(5)E (X) = mp令 mp = X ,解：（1 ）似然函数nL(e)i 1f (xi) encn e(x1x2Xn)ln L( e)n ln( e)n e ln c (1 e)n ,业出i 1 i d en In cln xi 0（解唯一故为极大似然估计量）In Xinln ci 1 L(B)nn_f (Xi) e 2(X1X2Xn)

3、 0 1,ln L(B)n2nln( 0)(01) In Xii 1dl nL(0)nd 02101nln Xi0,i 1?（nln xi ）2。（解唯一）故为极大似然估2.一 0计量。nmmnXinmn召(5) L(p)PXXipi1 (1p) i1 ,i -1X1Xnnnnln L(p)lnmXixi ln p (mnXi)l n(1p),i 1i 1i 1i 1mnxii 101 pnXid In L(p) i 1_ dppnXi-解得 p q ,（解唯一）故为极大似然估计量。mn m4.四（2）设X1 , X1,，Xn是来自参数为入的泊松分布总体的一个样本，试求入 的极大似然估计量及矩

4、估计量。解：（1）矩估计 X 冗（入），E （X ）=入故P=X为矩估计量。（2）极大似然估计L(入)nP(Xi；入)i 1nnln L（入）<i ln 入ln xi!n 入i 1nXii 1din L(入)i 1n 0 ,解得Pd入入X为极大似然估计量。nXi心 enx1 !x2! Xn!(其中 p(Z) PX Xi对e x,Xi 0,1,)0)05.六一地质学家研究密歇根湖湖地区的岩石成分，品，每个样品有10块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数。假设这随机地自该地区取 100个样100次观察相互独立，并由过去经验知，它们都服从参数为n=10, P的二项分布。P是该地区一块石子是石

5、灰石的概率。求 p的极大似然估计值，该地质学家所得的数据如下 样品中属石灰石的石子数012345678910观察到石灰石的样品个数016723262112310解：入的极大似然估计值为?= X =0.499四(1)设总体X具有分布律X123Pk02 01 0)(1 0) 2Xi = 1，X2=2，X3=1，试求B的矩估计其中00< 0<1)为未知参数。已知取得了样本值 值和最大似然估计值。解：(1 )求B的矩估计值E(X) 10203(12 20(10) 00)(13(10)0)2 *320令 E(X)3 20则得到0的矩估计值为(2)求0的最大似然估计值XiPX11PX22PX3

6、 1Ti(Xi6 ' iX2)3(X3X4)T2(Xi2X23X3 4X4) 5(XiX2X3 X4)8 九(i)设总体 X N ( 11,/), Xi, Xi,Xn是来自X的一个样本。试确定n i常数c使c (Xii ii Xi)2为/的无偏估计。解:由于nEci ii(Xi i2Xi)n i2c E(Xi i Xi)i iiD(Xi ii2 2Xi) (E(Xi i Xi)D(Xiii)D(XJn(EXi i EXi)2 ci1(2id202)c(2 n i)/2(n i)时,i(Xiii Xi)2为2的无偏估计。十设Xi,设有估计量X2,X3,X4是来自均值为B的指数分布总体的样

7、本，其中B未知,T3哪几个是B的无偏估计量;(1) 指出 Ti, T2,(2) 在上述B的无偏估计中指出哪一个较为有效。解：(i)由于Xi服从均值为B的指数分布，所以E (Xi )=QD (Xi )= 02 ,i=i,2,3,4由数学期望的性质2° , 3°有E(Ti)i i【E(Xi) 6Eg)i才Eg)E(X4) QE(T2)i i【E(Xi) 52E(X2)1 3E(X3)4E(X4)2QE(T3)i i【E(Xi) 4Eg)Eg) Eg)Q即Ti,T2是Q的无偏估计量(2)由方差的性质2°, 3°并注意到Xi, X2, X3,X4独立，知1152

8、D（Ti） 36【d（X!）d（X2） £D（X3）d（X4） 18112D（T2）±D（X1）d（X2）d（X3）d（X4）-1e2164D （T1） D （T2）所以T2较为有效。14.十四设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为 6.05.7 5.86.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0。设干燥时间总体服从正态分布N （朽® ,求的置信度为0.95的置信区间。（1）若由以往经验知（=0.6 （小时）（2）若b为未知。解: (1)卩的置信度为0.95的置信区间为(X b za ),* n -2计算得 X6.0,查表Z0O25 1.96, b

9、0.6,即为(6.00.6 1.96) (5.608,6.392)V9（2）卩的置信度为0.95的置信区间为（X 买t a （n 1）,计算得X 6.0，查n表 to.025（8）=2.3060.S2 1(Xi x)28 i 11Q 332.64 0.33.故为(6.02.3060)(5.558,6.442)9发做试验，得炮弹口速度的样本标准差为求这种炮弹的炮口速度的标准差b的置信度为0.9516.十六随机地取某种炮弹 s=11（m/s）。设炮口速度服从正态分布。 的置信区间。解：b的置信度为0.95的置信区间为(n 1)S2(n 1)S22 (n1 21)8 11(.17.535, .2.1

10、8 )(7A21-1) 8 11 、8 11其中 a=0.05, n=9查表知X0.025 (8)17.535,2咒0.975(8) 2.18019.十九研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率。设两者都服从正态分布，并且 已知燃烧率的标准差均近似地为0.05cm/s,取样本容量为n 1= n2=20.得燃烧率的样本均值分别为X1 18cm/s, X2 24cm/s.设两样本独立，求两燃烧率总体均值差比的置信度为0.99的置信区间。解：M昭的置信度为0.99的置信区间为其中 a=0.01 , zo.oo5=2.58,1-20.052(18 242.58.2)( 6.04,5.96).2 2 2ni=n2=20, oi(r20.05 , X118, X224X 2020.二十设两位化验员 A, B独立地对某中聚合物含氯两用同样的方法各做10次测定，其测定值的样本方差依次为 SA 0.5419, Sb 0.6065.设 启 疇分别为A, B所测 定的测定值总体的方差，设总体均为正态的。设两样本独立，求方差比dA/ dB的置信度为0.95的置信区间。解：dA.需的置信度为0.95的置信区间sA