量子力学教程第三十讲

1、Spin and identical particle 第三十讲第三十讲7.7 7.7 全同粒子体系的波函数，全同粒子体系的波函数，泡利原理泡利原理Spin and identical particle1.知道多粒子体系波函数的构成方法和条件。知道多粒子体系波函数的构成方法和条件。2. 掌握多粒子体系波函数的对称性，及两种掌握多粒子体系波函数的对称性，及两种不同粒子的对称性。不同粒子的对称性。学 习 内 容学 习 内 容重点难点重点Spin and identical particle7.7 7.7 全同粒子体系的波函数，泡利原理全同粒子体系的波函数，泡利原理一、两粒子体系一、两粒子体系在不考

2、虑粒子间相互作用时，体系的哈米顿算符在不考虑粒子间相互作用时，体系的哈米顿算符)()(2010qHqHH 以以 和和 表示表示 的第的第i i个本征值和本征函数，则个本征值和本征函数，则单粒子的本征值方程为：单粒子的本征值方程为：ii0H01110222() ()()()()()iiijjjHqqqHqqq 体系的哈米顿算符的本征值方程为：体系的哈米顿算符的本征值方程为： ),(),(2121qqEqqHSpin and identical particle)()(),(2121qqqqji本征波函数本征波函数 （7.7-4） 本征能量本征能量 ijE若两粒子交换，则若两粒子交换，则2121(

3、,)()()ijqqqq（7.7-6） 能量值仍为能量值仍为 是简并的，这种简并称为是简并的，这种简并称为交换简并交换简并。 ijE如果两粒子处于同一状态，如果两粒子处于同一状态， ji则（则（7.7-47.7-4）和（）和（7.7-67.7-6）给出同一个对称波函数）给出同一个对称波函数 122112( ,)(,)( ) ()iiq qq qqq如果两粒子处于不同状态，如果两粒子处于不同状态，ji 则（则（7.7-47.7-4）和（）和（7.7-67.7-6）式的函数既不对称，也）式的函数既不对称，也不反对称，故不符合全同粒子体系波函数的要求。不反对称，故不符合全同粒子体系波函数的要求。Sp

4、in and identical particle 这表明（这表明（7.7-47.7-4）和（）和（7.7-67.7-6）两式所表示的函数，）两式所表示的函数，只能部分满足全同粒子体系对波函数的要求，不能只能部分满足全同粒子体系对波函数的要求，不能完全满足，故不能作为全同粒子体系的波函数。完全满足，故不能作为全同粒子体系的波函数。 但由（但由（7.7-47.7-4）和（）和（7.7-67.7-6）两式的和、差可以）两式的和、差可以构成对称函数和反对称函数。构成对称函数和反对称函数。sA玻色系统：玻色系统： 1212211( , )( , )( , )2sq qq qq q费米系统：费米系统：

5、1212211( , )( , )( , )2Aq qq qq qSpin and identical particle泡 利 原 理对玻色子系统，波函数取形式，当两个对玻色子系统，波函数取形式，当两个玻色子处于同一个状态时玻色子处于同一个状态时 ，这时，这时 ，故几率密度，所以允许。，故几率密度，所以允许。 12(,)sq q1221( ,)(,)ssq qq q 12( ,)0sq q0),(221qqs对于费米系统，波函数取形式，当两费对于费米系统，波函数取形式，当两费米子处于同一个状态时，故使几率密度米子处于同一个状态时，故使几率密度，所以不允许。，所以不允许。),(21qqA0),(

6、21qqA212( ,)0Aq q泡利不相容原理：泡利不相容原理：费米系统中，两个费米子不能处费米系统中，两个费米子不能处 于同一个状态于同一个状态正是这个原理，使核和原子等的结构有序。正是这个原理，使核和原子等的结构有序。Spin and identical particle二、二、N N粒子体系粒子体系将两粒子体系推广到将两粒子体系推广到N N粒子体系粒子体系单粒子的本征值方程：单粒子的本征值方程：0()()()nknkknHqqq 体系的薛定格方程：体系的薛定格方程：),(),()(212110NNNinqqqEqqqqH本征函数本征函数 1212( ,)( ) ( )()NijkNq

7、qqqqq（7.7-13） NnnNqHqHqHqHH1002010)()()()(（7.7-13） 本征能量本征能量12NESpin and identical particle三、费米子体系波函数三、费米子体系波函数可见，在不考虑粒子间相互作用时，全同粒子可见，在不考虑粒子间相互作用时，全同粒子体系的能量等于各单粒子能量之和，哈米顿算符的体系的能量等于各单粒子能量之和，哈米顿算符的本征函数是各单粒子的本征函数的积。因此，解多本征函数是各单粒子的本征函数的积。因此，解多粒子体系的问题，归结为解单粒子的薛定格方程。粒子体系的问题，归结为解单粒子的薛定格方程。下面分别讨论费米系统和玻色系统的波函

8、数形式。下面分别讨论费米系统和玻色系统的波函数形式。 由由N N个费米子组成的体系的个费米子组成的体系的本征本征函数是反对称函数是反对称的的，依照（，依照（7.7-137.7-13）式）式),(21NAqqq)()()()()()()()()(!1212121NkkkNjjjNiiiqqqqqqqqqN称为称为斯莱斯莱特行特行列式列式 Spin and identical particle 是归一化的， 是 的归一化因子。将斯莱特行列式展开，共有 项如（7.7-13）式的形式，因而, 是体系薛定格方程 的本征函数解。)(liq!1N!NAAAEHA 交换任意两个粒子，在斯莱特行列式中就表现出两

9、列相互交换，这就使行列式改变符号。所以 是反对称的。A 如果N个粒子中，有两个处于同一个状态，则斯莱特行列式中有两行完全相同，这使行列式等于零，从而使 ，几率 。要使 ，不能有两粒子处在同一单粒子态。这也就是泡利的不相容原理。0A02A02ASpin and identical particle例 一个体系由三个费米子组成，粒子间无相互作一个体系由三个费米子组成，粒子间无相互作用，它们分别可能处于单粒态用，它们分别可能处于单粒态 、 、 ，求系统波，求系统波函数。函数。123Solve)()()()()()()()()(! 31),(332313122212312111321qqqqqqqqq

10、qqqA1122331223311321321 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )3!qqqqqqqqq122133112332132231( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )qqqqqqqqqSpin and identical particle四、玻色子体系的波函数四、玻色子体系的波函数 N N个玻色子所组成的体系的波函数应是对称的。个玻色子所组成的体系的波函数应是对称的。它也由（它也由（7.7-137.7-13）式进行构成。所不同的是单粒）式进行构成。所不同的是单粒子态子态 中，能容纳的玻色子数不受限制，可大中，能容纳的玻色子

11、数不受限制，可大于于1 1。波函数形式可表示为：。波函数形式可表示为： iPNkjiNsqqqPCqqq)()()(),(2121式中式中P P表示表示N N个粒子在波函数中的某一种排列，个粒子在波函数中的某一种排列， 表表示对所有可能的排列求和，而示对所有可能的排列求和，而C C则为归一化常数。则为归一化常数。PSpin and identical particle 设设N N个玻色子中，有个玻色子中，有 个处于个处于 态，有态，有 个处于个处于 态，有态，有 个处于个处于 态，而态，而 ，则体系的，则体系的 波函数为：波函数为：i1n2njkNnkllNn111121211211!( ,

12、, ,)( )( )()()( )!kkllsNiinjnjn nknPnnnnq qqPqqqqqN 个个个式中，因为N 个粒子排列共有 kllknNnnnN！121!种不相同的形式。Spin and identical particle所以归一化因子为：1!kllCnNEx.1 在在N N个全同玻色子所组成的体系中，如果有个全同玻色子所组成的体系中，如果有 个个粒子处在单粒子态粒子处在单粒子态 中中, , ，求此体系的归，求此体系的归一化波函数。一化波函数。iniiiNn Solve： 当当N N个全同玻色子处于个全同玻色子处于N N个不同的单粒子个不同的单粒子状态时，体系的玻函数为：状态

13、时，体系的玻函数为：12( )()()ijkNPCPqqqSpin and identical particle由于单粒子态是正交归一的，则上式变为：由于单粒子态是正交归一的，则上式变为：N这里这里 表示表示 个粒子在个粒子在 个单粒子态上各占一态个单粒子态上各占一态的某一种排列，而的某一种排列，而 表示对各种可能排列方式的表示对各种可能排列方式的种数求和，应有种数求和，应有 种。种。pPpN!NPPiidqPqPCd1)()(1*12*根据波函数的归一化条件：根据波函数的归一化条件：1!2 NC1/!CN归一化常数归一化常数Spin and identical particle 当当 个粒子

14、处于某一个态个粒子处于某一个态 时时, 有有 种种交换，即交换，即 种排列不形成新的状态，这时求和种排列不形成新的状态，这时求和的项数不是的项数不是 ，而应是，而应是inn!in!in!NinN!/ !iinCN归一化常数归一化常数归一化波波函数!()()()!iiiijjkkPnPqqqNSpin and identical particle 一体系由三个全同玻色子组成，玻色子之间无一体系由三个全同玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的玻函数怎样用单粒子系可能的状态有几个？它们的玻函数怎样用单

15、粒子态构成？态构成？ (教材习题教材习题7.6) 7.6) Solve:设两单粒子态为设两单粒子态为 和和 。Ex.2有两种情况：Spin and identical particle第 一 种 情 况 ：第 一 种 情 况 ：三粒子同处于三粒子同处于 态：态：(1)1,2,3123()( )()()sq q qqqq三粒子同处于三粒子同处于 态：态： (2)123123( ,)( )()()sq q qqqq(1) (1) 三个玻色子处在同一个状态。三个玻色子处在同一个状态。(2) (2) 两个玻色子处在同一个状态，另一个玻色子两个玻色子处在同一个状态，另一个玻色子处于另一状态。处于另一状态

16、。Spin and identical particle第 二 种 情 况 ：第 二 种 情 况 ：(3)1,2,31231322312!1!()( )( )( )3!( )( )( )( )( )( )sq q qqqqqqqqqq(4)1231232133121( ,)( )()( )3()( )( )( )( )()Sq q qqqqqqqqqq两粒子同处于两粒子同处于 态，一粒子处于态，一粒子处于 态态两粒子同处于两粒子同处于 态，一粒子处于态，一粒子处于 态态Spin and identical particle 一体系由三个全同玻色子组成，玻色子之间无一体系由三个全同玻色子组成，玻

17、色子之间无相互作用。可能的单粒子态有三相互作用。可能的单粒子态有三 ，问体系可能的状态有几个？波函数怎样由单粒子问体系可能的状态有几个？波函数怎样由单粒子态构成？态构成？321,Solve:（1 1）三个玻色子分别处于三个单态上：）三个玻色子分别处于三个单态上：状态数：状态数：Ex.3Spin and identical particle(1)1,2,31122331223311321321322311221331123321!1!1!()3!( )()()()()( )()( )()()()( )()( )()( )()()sq q qqqqqqqqqqqqqqqqqqq（2 2）三个粒子处

18、于同一个单态上）三个粒子处于同一个单态上(2)123111213(3)123212223(4)123313233(,)()()()(,)()()()(,)()()()sssq qqqqqq qqqqqq qqqqqSpin and identical particle（3 3）两粒子处在同一态，一粒子处在另一态）两粒子处在同一态，一粒子处在另一态(5)21231112231113221213211(6)31231112331113321213311!2!1( ,) ( ) ( )( )3!( ) ( )( )( ) ( )( )211( ,) ( ) ( ) ( )3( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )ssnq q qqqqqqqqqqnnq q qqqqqqqqqqSpin and identical particle22n 1(7)1,2,32122132123122223113(8)1,2,3212233212332222