ch3-5反常积分(广义积分)

1、2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系1第第3章章 一元函数积分学及其应用一元函数积分学及其应用第第1节节 定积分的概念，存在条件与性质定积分的概念，存在条件与性质第第2节节 微积分基本公式与基本定理微积分基本公式与基本定理第第3节节 两种基本积分法两种基本积分法第第4节节 定积分的应用定积分的应用第第5节节 反常积分反常积分第第6节节 几类简单的微分方程几类简单的微分方程2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系25.1 5.1 无穷积分无穷积分5.2 5.2 瑕积分瑕积分定积分定积分积分限有限积分限有限被积函数有界被积函数有界推广推广广义积分广义积分第第5节节

2、反常积分反常积分解解取取r为为积积分分变变量量，ro q a b 1 r,bar drr 取任一小区间取任一小区间,drrr ,功元素功元素,2drrkqdW 所求功为所求功为drrkqWba 2barkq 1.11 bakq如果要考虑将单位电荷移到无穷远处如果要考虑将单位电荷移到无穷远处drrkqWa 2 arkq1.akq 说明说明: :ra 电场在处的电位为电场在处的电位为2dakqrr kqa 2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系4例例2. 曲线曲线21xy 和直线和直线1x及及 x 轴所围成的轴所围成的”无穷无穷曲曲边梯形边梯形”的面积的面积21xy A1可记作可记

3、作12dxxA其含义可理解为其含义可理解为 bbxxA12dlimbbbx11limbb11lim12008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系5第第5节节 反常积分反常积分5.1 5.1 无穷积分无穷积分 无穷区间上积分无穷区间上积分5.2 5.2 瑕积分瑕积分- -无界函数的积分无界函数的积分5.35.3 无穷区间上积分的审敛准则无穷区间上积分的审敛准则5.4 5.4 无界函数积分的审敛准则无界函数积分的审敛准则2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系6定义定义1. 设设( ),)f xa在上有定义，在上有定义，,ba 任取任取若若xxfbabd)(lim存在存在

4、,则称此极限为则称此极限为无穷积分无穷积分 的值的值, 记作记作这时称无穷积分这时称无穷积分xxfad)(收敛收敛 ;如果上述极限不存在如果上述极限不存在,就称无穷积分就称无穷积分xxfad)(发散发散 .( ),f xab在上可积，在上可积， adxxf)( adxxf)( babdxxf)(lim5.1 5.1 无穷积分无穷积分2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系7 bdxxf)( baadxxf)(lim当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分分发发散散. .2008年12月17日南京航空航天大学 理学院

5、数学系8类似地类似地 , 定义定义2. 设设( )-f xb 在(， 上有定义，在(， 上有定义，,ab 任取任取若若存在存在 ,则称此极限为则称此极限为无穷积分无穷积分 的值的值, 记作记作这时称无穷积分这时称无穷积分收敛收敛 ;如果上述极限不存在如果上述极限不存在,就称无穷积分就称无穷积分发散发散 .( ),f xab在上可积，在上可积， baadxxf)(lim( )bf x dx bdxxf)( baadxxf)(lim( )bf x dx ( )bf x dx 2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系9定义定义3. 设设( )-)f x在（，+内有定义，在（，+内有定义

6、，, () ,a b ab 任取任取若若存在存在 ,则称此极限为则称此极限为无穷积分无穷积分 的值的值,记作记作这时称无穷积分这时称无穷积分收敛收敛 ;如果上述极限不存在如果上述极限不存在,就称无穷积分就称无穷积分发散发散 .( ),f xab在上可积，在上可积，lim( )baabf x dx ( )f x dx ( )f x dx lim( )baabf x dx ( )f x dx ( )f x dx 2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系10注意注意: dxxf)( )cf x dx ( )cf x dx lim( )caaf x dx lim( )bcbf x dx

7、lim( )caaf x dx lim( )bcbf x dx 与与只要有一个极限不存在只要有一个极限不存在 , 就称就称xxfd)(发散发散 .2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系11,)()(的原函数是若xfxF引入记号引入记号; )(lim)(xFFx)(lim)(xFFx则有类似牛则有类似牛 莱公式的计算表达式莱公式的计算表达式 :xxfad)()(xFa)()(aFFxxfbd)()(xFb)()(FbFxxfd)()(xF)()(FF2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系12例例1. 计算广义积分计算广义积分.1d2 xx解解:21dxxarcta

8、nx)2(2xoy211xy思考思考: ?01d2对吗xxx分析分析:)1ln(211d22xxxx原积分发散原积分发散 !注意注意: 对广义积分对广义积分, 只有在收敛的条件下才能使用只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零偶倍奇零” 的性质的性质, 否则会出现错误否则会出现错误 .2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系13证证, 1)1( p1padxx 1adxx lnax , , 1)2( p1padxx 11paxp ,1,11papp 2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系14例例3. 计算广义积分计算广义积分. )0(d0ptettp解解:tpept原

9、式00d1teptptpep21021p2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系155.2 5.2 瑕积分瑕积分引例引例:曲线曲线xy1所围成的所围成的1x与与 x 轴轴, y 轴和直线轴和直线开口曲边梯形的面积开口曲边梯形的面积 可记作可记作10dxAx 其含义可理解为其含义可理解为 10dlimxxA12lim0 x)1 (2lim02xy101xyA2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系16 badxxf)(0lim( )baf x dx 就称瑕积分就称瑕积分xxfbad)(发散发散 .这时称瑕积分这时称瑕积分xxfbad)(收敛收敛 ;如果上述极限不存在如

10、果上述极限不存在,定义中定义中a称称为为瑕点瑕点（奇点奇点）2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系17 badxxf)(0lim( )baf x dx 就称瑕积分就称瑕积分xxfbad)(发散发散 .这时称瑕积分这时称瑕积分xxfbad)(收敛收敛 ;如果上述极限不存在如果上述极限不存在,定义中定义中b称称为为瑕点瑕点（奇点奇点）2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系18 badxxf)(211200lim( )lim( )cbacf x dxf x dx xxfbad)(xxfbad)(收敛收敛 ;其中其中)(bcac 只要有一个极限不存在只要有一个极限不存在

11、 , 就称就称发散发散 .右边两个极限均存在右边两个极限均存在 , 就称就称2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系19注意注意: 若瑕点若瑕点,)()(的原函数是设xfxF的计算表达式的计算表达式 : xxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbF则也有类似牛则也有类似牛 莱公式的莱公式的若若 b 为瑕点为瑕点, 则则若若 a 为瑕点为瑕点, 则则若若 a , b 都为瑕点都为瑕点, 则则, ),(bac则则xxfbad)()()(cFbF)()(aFcF2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系20112dxx21

12、1111x下述解法是否正确: , 积分收敛例例4. 计算广义积分计算广义积分. )0(d022axaxa解解: 显然瑕点为显然瑕点为 a , 所以所以原式原式0arcsinaxa arcsin1 2例例5. 讨论广义积分讨论广义积分112dxx的收敛性的收敛性 . 解解:112dxx012dxx102dxx101x101x 所以广义积分所以广义积分112dxx发散发散 .2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系21证证, 1)1( q 101dxx 10ln x , , 1)2( q 101dxxq1011 qxq 1,111,qqq因此当因此当1 q时广义积分收敛，其值为时广义

13、积分收敛，其值为q 11；当当1 q时广义积分发散时广义积分发散. 101dxxq2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系22EXEX 计算计算10ln xdx !limnnn由此，求数列的极限：由此，求数列的极限：!1limlnlim(ln ! ln )nnnnnnnn1lim(ln1ln2lnln )1lim(ln1ln )(ln2ln )(lnln )112lim(lnlnln)nnnnnnnnnnnnnnnnn111000lnln1xdxxxdx 解解111000lnln1xdxxxdx 2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系23.)(,)()(lim)(lim)()(lim)()(lim)()1(可可积积的的在在各各自自的的无无穷穷区区间间上上是是则则称称时时都都当当各各个个积积分分的的右右边边积积分分实实数数为为无无穷穷区区间间上上的的积积分分xfcdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfbcbcaabaabbaba 反常（广义）积分反常（广义）积分小结小结2008年12月17日南京航空航天大学 理学院 数学系24（2） 无界函数的积分无界函数的积分.)(,的的在在各各自自的的区区间间上上是是可可积积则则称称时时各各个个