西安工业信号检测与估计SDE_18信号检测理论

1、2021-10-15SDE_16 信号检测理论综述1信号检测理论综述信号检测理论综述Part II Signal Detection Theory雷斌雷斌Signal Detection and Estimation 信号检测与估值信号检测与估值 第十六讲第十六讲 Spring 2015 2021-10-15SDE_16 信号检测理论综述2What is SDE About? Goal: SuckGoal: Suck useful information out of messy data useful information out of messy data 目标

2、：从杂乱的数据中提取有用信息目标：从杂乱的数据中提取有用信息 Strategy: Formulate probabilistic model of data Strategy: Formulate probabilistic model of data y y, , which depends on underlying parameter(s) which depends on underlying parameter(s) 策略：阐明策略：阐明y,y,与未知参数与未知参数 的相关程度的相关程度 Terminology depends on parameter space:Terminolo

3、gy depends on parameter space:参数空间相关术参数空间相关术语语 Detection (simple hypothesis testing): 检测（简单假设检验）检测（简单假设检验） 0,1, i.e. 0=target absent, 1=target present 待估参量待估参量01分布分布 0无目标无目标 Classification (multihypothesis testing): 分类分类（多元假设检验） 0,1,M, i.e. DC-9, 747, F-15, MiG-31 Estimation 估值 Rn, Cn, etc. (not too

4、 hard) L2(R), (square-integrable functions), etc. (harder)b2021-10-15SDE_16 信号检测理论综述3估计理论估计理论 Estimation theory 参数估计测试或经验数据. 从噪声中接收到的信号里提取信息的统计参数估计 A branch of statisticsstatistics and signal processingsignal processing that deals with estimating the values of parameters based on measured / empirica

5、l data measured / empirical data 统计和信号处理的一个分支，用于从测量和经验数据中估计参数数值 The parameters describe the physical scenarioThe parameters describe the physical scenario想定 or or object that answers a question posed by the estimator.object that answers a question posed by the estimator.这些由估计器输出的参数数值描述了我们想知道的物理量 For

6、 example, it is desired to estimate the proportion of a For example, it is desired to estimate the proportion of a population of voters who will vote for a particular population of voters who will vote for a particular candidate. That proportion is the unobservable parameter; candidate. That proport

7、ion is the unobservable parameter; the estimate is based on a small random sample of voters.the estimate is based on a small random sample of voters.例如，很想知道选民对特定候选人的支持率。这种支持率是很难进行完全统计的；估计是在对少量人群取样基础上作出的。2021-10-15SDE_16 信号检测理论综述4估计理论估计理论 Estimation theory (con)Or, for example, in Or, for example, in

8、 radarradar the goal is to estimate the the goal is to estimate the location of objects (airplanes, boats, etc.) by analyzing the location of objects (airplanes, boats, etc.) by analyzing the received echo and a possible question to be posed is received echo and a possible question to be posed is “w

9、here are the airplanes?”“where are the airplanes?”又如，雷达的设计目标是通过回波估计出目标的位置，回答To answer where the airplanes are, it is necessary to To answer where the airplanes are, it is necessary to estimate the distance the airplanes are at from the radar estimate the distance the airplanes are at from the radar

10、stationstation相对雷达站的位置, which can provide an absolute , which can provide an absolute location if the absolute location of the radar station is known.location if the absolute location of the radar station is known.当雷达站位置已知则可以获得绝对定位。 In estimation theory, it is assumed that the desired In estimation

11、theory, it is assumed that the desired information is embedded into a information is embedded into a noisy signalnoisy signal. .估计中，假设想要的信号含噪。 Noise adds uncertainty Noise adds uncertainty噪声添加了不确定性and if there was no uncertainty then there would be no need and if there was no uncertainty then there

12、would be no need for estimation.for estimation.如果没有这种不确定性，则谈不上估计。2021-10-15SDE_16 信号检测理论综述5检测理论检测理论 Detection theory or 信号检测理论signal detection theory噪声中信号检测的统计假设检验理论 is a means to quantify the ability to discern between is a means to quantify the ability to discern between signalsignal and and noise

13、noise. .区分是信号还是噪声的方法。 It has It has applications in many fields such as applications in many fields such as qualityquality controlcontrol质量控制, , telecommunicationstelecommunications电话通信, and , and psychologypsychology心理学. The concept is similar to the . The concept is similar to the signal to noise

14、ratiosignal to noise ratio used in the sciences used in the sciences与自然科学中信噪比的概念类似, and it is also usable in , and it is also usable in alarm alarm managementmanagement报警管理, where it is important to , where it is important to separate important events from separate important events from background n

15、oisebackground noise因为从背景噪声中分离出重要事件非常关键. .2021-10-15SDE_16 信号检测理论综述6检测理论检测理论 Detection theory (con) According to the theory, there are a number of According to the theory, there are a number of psychological determiners of how we will detect a psychological determiners of how we will detect a signal

16、, and where our threshold levels will be.signal, and where our threshold levels will be.理论上讲，有很多心理上的因素，如 如何检测信号、阈值在什么地方等 。 ExperienceExperience经验, expectations, expectations期望, , physiological statephysiological state生理状态 (e.g, fatigue (e.g, fatigue如疲劳) ) and other factors affect thresholdsand other

17、 factors affect thresholds阈值. . For instance, a sentryFor instance, a sentry哨兵in wartime will likely detect in wartime will likely detect fainter stimuli than the same sentry in peacetime.fainter stimuli than the same sentry in peacetime.例如，哨兵在战时比和平时期更容易。2021-10-15SDE_16 信号检测理论综述7判决问题：是A不是A？ 雷雷达达和和声

18、纳声纳信信号处号处理理Threshold阈值2021-10-15SDE_16 信号检测理论综述8其它 数字通信：从接收信号中判决发送方是数字通信：从接收信号中判决发送方是0 0还是还是1 1 声纳：检测敌方潜艇的出现声纳：检测敌方潜艇的出现 图像处理：使用红外检测飞机的出现图像处理：使用红外检测飞机的出现 生物医学：检测心脏的心律失常的出现生物医学：检测心脏的心律失常的出现 语音识别：从语音波形中区分出数字语音识别：从语音波形中区分出数字1234512345 控制：检测被控系统突然变化的出现控制：检测被控系统突然变化的出现 地震学：地下油田与非油田的检测地震学：地下油田与非油田的检测2021-

19、10-15SDE_16 信号检测理论综述9Signal-to-Noise Ratio信噪比 Measured in dB!Measured in dB! Ability to recognize target in random noiseAbility to recognize target in random noise Noise is always present. At some range, noise is greater that targets return Noise sets lower limit of units sensitivityNoise sets lower

20、 limit of units sensitivity Threshold levelThreshold level 阈值阈值 used to remove excess noiseused to remove excess noiseThreshold阈值2021-10-15SDE_16 信号检测理论综述10信源概率转移机构观测空间R判决准则H0或H1H0或H1观测空间观测空间R：在信源不同输出下，观测空间在信源不同输出下，观测空间R是由概率转移机构是由概率转移机构所形成的可能观测的集合。观测量可以是一维的，也可以是所形成的可能观测的集合。观测量可以是一维的，也可以是N维矢量。维矢量。两种信

21、号状态下两种信号状态下N维观测信号矢量的维观测信号矢量的N维联合概率密度维联合概率密度为为 。x 如果没有噪声的干扰，信源输出的某一种确知信号将映射到观如果没有噪声的干扰，信源输出的某一种确知信号将映射到观测空间中的某一点，但在噪声干扰的情况下，他将以一定的概率映测空间中的某一点，但在噪声干扰的情况下，他将以一定的概率映射到整个观测空间，观测空间某点射到整个观测空间，观测空间某点 的概率为的概率为 。(|),0,1ip x Hi)|(iHxp第三章第三章 信号检测的基本理论信号检测的基本理论 3.2 3.2 假设检测的基本概念假设检测的基本概念基本检测理论模型基本检测理论模型2021-10-1

22、5SDE_16 信号检测理论综述11信源概率转移机构观测空间R判决准则H0或H1H0或H1基本检测理论模型基本检测理论模型判决准则：判决准则：观测信号落入观测空间后，就可以用来推断哪一个观测信号落入观测空间后，就可以用来推断哪一个假设成立是合理的，即判决信号属于哪种状态。为此需要建立假设成立是合理的，即判决信号属于哪种状态。为此需要建立一个判决准则，判决观测空间的每一个点对应着一个相应的假一个判决准则，判决观测空间的每一个点对应着一个相应的假设设Hi（i=0,1)例如：例如：在二元信号检测中，把整个观测空间在二元信号检测中，把整个观测空间R划分为划分为R0和和R1两个子空间，称为判决域。两个子

23、空间，称为判决域。判判为为；判判为为1100,HRxHRx 判决准则2021-10-15SDE_16 信号检测理论综述121.3 检测问题的数学描述：概率的观点噪声增加噪声增加11 以以1 1检测为检测为例：例： X X1 1wn X=wnwn X=wn100010Threshold level信信号号检检出出0 00 0：检检出出1 1：虚虚警警 False AlertFalse Alert1 10 0：漏：漏检检MissMiss1 1：检检出出 hithit2021-10-15SDE_16 信号检测理论综述13 检出概率检出概率PdPd：正确检出有信号（是：正确检出有信号（是1 1、是、是

24、0 0） 虚警概率虚警概率PfaPfa：非：非1 1而检测判决为而检测判决为1 1 漏检概率漏检概率PmPm：是：是1 1而检测判决为而检测判决为0 02021-10-15SDE_16 信号检测理论综述14二元假设检验的统计术语对照表 统计学统计学家家 检验统计检验统计量量(T(x)(T(x)和和门门限限(r)(r) 零假零假设设(H(H0 0) ) 备选备选假假设设(H(H1 1) ) 判定域判定域 第一第一类错误类错误( (当当H H0 0为真时为真时判判H H1 1成立成立) ) 第二第二类错误类错误( (当当H H1 1为真时为真时判判H H0 0成立成立) ) 显显著性水平或著性水平

25、或检验检验的尺度的尺度(a)(a) 第二第二类错误概类错误概率率(b)(b) 检验检验的的势势(1(1一一b) b) 工程工程师师 检测检测器器 只有噪只有噪声声假假设设 信信号号+ +噪噪声声假假设设 信信号号存在判存在判决决域域 虚虚警警(FA False Alert)(FA False Alert) 漏警（漏警（MissMiss） 虚虚警警概概率率( (P PFAFA) ) 漏漏检概检概率率( (P PMM) ) 检测概检测概率率( (P PD D) )2021-10-15SDE_16 信号检测理论综述15二元检测与多元检测 语语音判音判决决：从输从输入中判入中判决决是是0 0到到9 9

26、的的哪哪一一个个 Decision Boundaries判别边界EBF (diagonal cov. Matrices)EBF (full cov. Matrices)2021-10-15SDE_16 信号检测理论综述16多元假设检验：QAM最大似然解码 Maximum Likelihood DecodingLet C be the code we use for transmission and u be the word which is Let C be the code we use for transmission and u be the word which is receive

27、d through the channel.received through the channel. C发送，收到V CMLDCMLD (Complete Maximum Likelihood Decoding): If v satisfies that d(v,u) is minimum for all codewords in C, then we conclude that v is the transmitted codeword no matter v is unique or not. v断定为某码字C原则是d最小的（最接近），不管是否独立 IMLDIMLD(Incomplete

28、 MLD): If v(as above) is not unique, (Incomplete MLD): If v(as above) is not unique, then ask for retransmission.then ask for retransmission.非独立，可能多码字，要求重传12ERROR2021-10-15SDE_16 信号检测理论综述174 QAM16 QAM64 QAMCarrier to Interference (C/I)Codeset64164Noise/interference Terminal measures carrier to inter

29、ference (C/I) and reports to BS终端测量载波相互冲突干涉（混合载波），将其传给BS Lower QAM modulations more robust in poor C/I conditions要调制不好的混合载波需降低QAM正交幅度调制来提高鲁棒性Modulation & coding structures have been identified that come within 2dB of Shannon limit.调制和编码已经在香农定理中被限定在2dVBTimeAdaptive Modulation & Coding自适应调制和编码

30、自适应调制和编码2021-10-15SDE_16 信号检测理论综述18二元假设检验朴素想法：错判代价相同 ASKASK、FSKFSK、PSKPSK中，判中，判0 0还还是判是判1 1？错错判均判均为误为误码码 如果同分布，如果同分布， 如果不同分布？如果不同分布？var(0) var(1)var(0) var(1)2021-10-15SDE_16 信号检测理论综述19二元假设检验：虚警概率一定情况下的门限 PDFPDF：N(0,1) N(1,1) N(0,1) N(1,1) N(u,N(u, 2 2) ) 需要根据需要根据单个观测单个观测x0 x0来来确定确定u u0 0还还是是1 1 二元假

31、二元假设检验设检验);(01HHPPFA下下 希望使希望使);(11HHPPD达达到最大到最大虚警概率dttHxHHPPD2111121exp21;0Pr);( Neyman-PearsonNeyman-Pearson方法：方法： 在在给给定定约约束束条条件件“狼来了”的教训2021-10-15SDE_16 信号检测理论综述20检验势和最佳判定域选择使Pd最大的R集。在统计学中，Pd称为检验的势检验的势( power of the test)。获得最大势的判定域称为最佳判定域最佳判定域。2021-10-15SDE_16 信号检测理论综述213.3 Neyman-Pearson定理 定理定理3.

32、1(NeymanPearson)3.1(NeymanPearson)对对于一于一个给个给定的定的);(01HHPPFA其中其中门门限由限由求出求出似然比检验)2;() 1;()(HxpHxpxL 使使P PD D最大的判最大的判决为决为dxHxpPxLxFA);(0)(;NP(Neyman-Pearson)检测器虚警概率虚警概率判决门限判决门限2021-10-15SDE_16 信号检测理论综述22各类错误随门限变化2021-10-15SDE_16 信号检测理论综述23Ex3.2 WGS中DC电平 P506P506NP(Neyman-Pearson)检测器2021-10-15SDE_16 信号检

33、测理论综述24给定PFA, 检测性能随ENR单调递增ENR : 信号能量噪声比 signal energy-to-noise ratio, ENR2021-10-15SDE_16 信号检测理论综述25假设假设H Hj j为真时判决所付出为真时判决所付出的条件平均代价为的条件平均代价为 10|ijiijjHHPCHC若若H Hj j为真的概率为真的概率P(HP(Hj j ) )已知，则判决所付出的总平均代价已知，则判决所付出的总平均代价（也称为平均风险）为（也称为平均风险）为 10101100|jijijijHHPHPCHCHPHCHPCiRjjidxHxpHHP)|(|贝叶斯贝叶斯准则准则(B

34、ayes Criterion)：平均代价最小：平均代价最小贝叶斯准则：贝叶斯准则：就是在假设Hj的先验概率P(Hj)已知，各种判决代价因子Cij给定的情况下，使平均代价C最小的准则。代价因子代价因子Cij：表示假设Hj为真时，判决假设Hi成立所付出的代价。约束条件C10C00，C01C11。2021-10-15SDE_16 信号检测理论综述26贝叶斯准则（贝叶斯准则（Bayes)极小化极大准则（极小化极大准则（minimax)奈曼奈曼-皮尔逊准则（皮尔逊准则（Neymann-Pearson)贝叶斯准则（贝叶斯准则（Bayes Criterion)贝叶斯准则：贝叶斯准则：就是在假设就是在假设Hj

35、的先验概率的先验概率P(Hj)已知，各种判已知，各种判决代价因子决代价因子Cij给定的情况下，使平均代价给定的情况下，使平均代价C最小的准则。最小的准则。1. 概念概念代价因子代价因子Cij：表示假设表示假设Hj为真时，判决假设为真时，判决假设Hi成立所付出的成立所付出的代价。约束条件代价。约束条件C10C00，C01C11。常用的信号检测准则常用的信号检测准则2021-10-15SDE_16 信号检测理论综述27Three Common Cost Functions2021-10-15SDE_16 信号检测理论综述28假设假设H Hj j为真时判决所付出的条件平均代价为为真时判决所付出的条件

36、平均代价为 10|ijiijjHHPCHC若若H Hj j为真的概率为真的概率P(HP(Hj j ) )已知，则判决所付出的总平均代价已知，则判决所付出的总平均代价（也称为平均风险）为（也称为平均风险）为 10101100|jijijijHHPHPCHCHPHCHPC ， iRjjidxHxpHHPwhere)|(|:贝叶斯准则：平均代价贝叶斯准则：平均代价C的表达式的表达式2021-10-15SDE_16 信号检测理论综述292021-10-15SDE_16 信号检测理论综述302021-10-15SDE_16 信号检测理论综述312021-10-15SDE_16 信号检测理论综述32202

37、1-10-15SDE_16 信号检测理论综述332021-10-15SDE_16 信号检测理论综述34信源概率转移机构观测空间R判决准则H0或H1H0或H1观测空间观测空间R：在信源不同输出下，观测空间在信源不同输出下，观测空间R是由概率转移机构是由概率转移机构所形成的可能观测的集合。观测量可以是一维的，也可以是所形成的可能观测的集合。观测量可以是一维的，也可以是N维矢量。维矢量。两种信号状态下两种信号状态下N维观测信号矢量的维观测信号矢量的N维联合概率密度维联合概率密度为为 。x 如果没有噪声的干扰，信源输出的某一种确知信号将映射到观如果没有噪声的干扰，信源输出的某一种确知信号将映射到观测空

38、间中的某一点，但在噪声干扰的情况下，他将以一定的概率映测空间中的某一点，但在噪声干扰的情况下，他将以一定的概率映射到整个观测空间，观测空间某点射到整个观测空间，观测空间某点 的概率为的概率为 。(|),0,1ip x Hi)|(iHxp第三章第三章 信号检测的基本理论信号检测的基本理论 3.2 3.2 假设检测的基本概念假设检测的基本概念基本检测理论模型基本检测理论模型2021-10-15SDE_16 信号检测理论综述35信源概率转移机构观测空间R判决准则H0或H1H0或H1基本检测理论模型基本检测理论模型判决准则：判决准则：观测信号落入观测空间后，就可以用来推断哪一个观测信号落入观测空间后，

39、就可以用来推断哪一个假设成立是合理的，即判决信号属于哪种状态。为此需要建立假设成立是合理的，即判决信号属于哪种状态。为此需要建立一个判决准则，判决观测空间的每一个点对应着一个相应的假一个判决准则，判决观测空间的每一个点对应着一个相应的假设设Hi（i=0,1)例如：例如：在二元信号检测中，把整个观测空间在二元信号检测中，把整个观测空间R划分为划分为R0和和R1两个子空间，称为判决域。两个子空间，称为判决域。判判为为；判判为为1100,HRxHRx 判决准则2021-10-15SDE_16 信号检测理论综述36 M元信号检测中，信源有元信号检测中，信源有M种可能的输出信号状态，分别记种可能的输出信

40、号状态，分别记为为H Hj j,(j=0,1,2,M-1),(j=0,1,2,M-1)。 在噪声的干扰背景中，信源在噪声的干扰背景中，信源的每种输出信号经过概率转移机的每种输出信号经过概率转移机构生成随机观测量。构生成随机观测量。 成成立立。，则则判判假假设设或或判判决决方方法法：，或或随随机机观观测测量量为为jjjjjHRxRxMjHxHx . 1, 2 , 1 , 0|M元信号检测的判决域元信号检测的判决域R6R0R1R2R3R4R5第三章第三章 信号检测的基本理论信号检测的基本理论 3.2 3.2 假设检测的基本概念假设检测的基本概念M元信号检测理论模型元信号检测理论模型2021-10-

41、15SDE_16 信号检测理论综述37第三章第三章 信号检测的基本理论信号检测的基本理论 3.2 3.2 假设检测的基本概念假设检测的基本概念判判决决假假设设H H0 0H H1 1H H0 0（H H0 0|H|H0 0）（H H1 1|H|H1 1）H H1 1（H H1 1|H|H0 0）（H H0 0|H|H1 1）二元信号的判决结果。二元信号的判决结果。对于二元假设检验，判决结果必然是下面四中情况之一：对于二元假设检验，判决结果必然是下面四中情况之一：(1)假设假设H0为真，判决假设为真，判决假设H0成立，记为（成立，记为（H0|H0）；）；正确判断正确判断(2)假设假设H0为真，判

42、决假设为真，判决假设H1成立，记为（成立，记为（H1|H0）；）；错误判断错误判断(3)假设假设H1为真，判决假设为真，判决假设H0成立，记为（成立，记为（H0|H1）；）；错误判断错误判断(4)假设假设H1为真，判决假设为真，判决假设H1成立，记为（成立，记为（H1|H1）；）；正确判断正确判断二元信号的判决情况二元信号的判决情况2021-10-15SDE_16 信号检测理论综述38第三章第三章 信号检测的基本理论信号检测的基本理论 3.2 3.2 假设检测的基本概念假设检测的基本概念判判决决假假设设H H0 0H H1 1H H0 0P P（H H0 0|H|H0 0）P P（H H0 0

43、|H|H1 1）H H1 1P P（H H1 1|H|H0 0）P P（H H1 1|H|H1 1）P(HP(Hi i|H|Hj j) )含义含义：在假设：在假设HHj j为真的条件下，判决假设为真的条件下，判决假设HHi i成立的概率。成立的概率。假设观测量落在假设观测量落在R Ri i域判决域判决HHi i成立，则有成立，则有 1 , 0,)|(| jidxHxpHHPiRjji二元信号的判决概率二元信号的判决概率2021-10-15SDE_16 信号检测理论综述3920nAHx， 20nNn ，x0P(n)21nAHx，+AxP(x|H1)-AxP(x|H0)举例说明，当举例说明，当N=

44、1时。时。二元信号的概率分布2021-10-15SDE_16 信号检测理论综述40第三章第三章 信号检测的基本理论信号检测的基本理论 3.2 3.2 假设检测的基本概念假设检测的基本概念x+AP P( (x|H|H1 1) )-AP(x|H0)P(H1|H0)x0R1R0P(H0|H1)二元信号检测的判决域划分与判决概率二元信号检测的判决域划分与判决概率2021-10-15SDE_16 信号检测理论综述41第三章第三章 信号检测的基本理论信号检测的基本理论 3.2 3.2 假设检测的基本概念假设检测的基本概念P(Hi|Hj)含义含义：在假设：在假设H Hj j为真的条件下，判决假设为真的条件下

45、，判决假设HHi i成立的概率。成立的概率。假设观测量落在假设观测量落在R Ri i域判决域判决HHi i成立，则有成立，则有|(|),0,11， ，iijjRP HHp x Hdxi jM显然将有显然将有MM2 2种判决结果，其中只有种判决结果，其中只有MM种判决是正确的。种判决是正确的。小结：小结：为了获得某种意义上的最佳检测结果，需正确划分为了获得某种意义上的最佳检测结果，需正确划分观测空间观测空间R R中各个判决域中各个判决域R Ri i(i=0,1,2,M-1(i=0,1,2,M-1）。）。问题：问题：需要寻求最佳检测准则，获得最佳检测结果。需要寻求最佳检测准则，获得最佳检测结果。M

46、元信号的情况元信号的情况2021-10-15SDE_16 信号检测理论综述42贝叶斯准则（贝叶斯准则（Bayes)极小化极大准则（极小化极大准则（minimax)奈曼奈曼-皮尔逊准则（皮尔逊准则（Neymann-Pearson)3.3 贝叶斯准则（贝叶斯准则（Bayes Criterion)贝叶斯准则：贝叶斯准则：就是在假设就是在假设Hj的先验概率的先验概率P(Hj)已知，各种判已知，各种判决代价因子决代价因子Cij给定的情况下，使平均代价给定的情况下，使平均代价C最小的准则。最小的准则。1. 概念概念代价因子代价因子Cij：表示假设表示假设Hj为真时，判决假设为真时，判决假设Hi成立所付出的

47、成立所付出的代价。约束条件代价。约束条件C10C00，C01C11。常用的信号检测准则常用的信号检测准则2021-10-15SDE_16 信号检测理论综述43假设假设H Hj j为真时判决所付出的条件平均代价为为真时判决所付出的条件平均代价为 10|ijiijjHHPCHC若若H Hj j为真的概率为真的概率P(HP(Hj j ) )已知，则判决所付出的总平均代价已知，则判决所付出的总平均代价（也称为平均风险）为（也称为平均风险）为 10101100|jijijijHHPHPCHCHPHCHPC ， iRjjidxHxpHHPwhere)|(|:贝叶斯准则：平均代价贝叶斯准则：平均代价C的表达

48、式的表达式2021-10-15SDE_16 信号检测理论综述44 01)|(1)|(1)|(1010RjRjRjxdHxpdxHxpRRRRRdxHxp， xdHxPCCHPHxPCCHPHPCHPCdxHxPHPCdxHxPHPCxdHxPHPCxdHxPHPCHHPHPCCRRRRRjijijij11101101000011101011111101001000001010|)(|)()()(|)(|)(|)(|)(|01010 整理得：整理得：固定固定平均代价平均代价q(x)2021-10-15SDE_16 信号检测理论综述45根据根据Bayes准则，应使准则，应使C最小。最小。判决域划分

49、判决域划分: 在在R0域内，域内，q(x)0.Bayes判决准则：判决准则：。，判判为为；判判为为100)(, 0)(HxqHxq 即即LRT 110110010001)()(|)(01CCHPCCHPHxPHxPxHH其中：其中：(x)称为似然比函数，称为似然比函数，称为似然比检测门限。称为似然比检测门限。 101111010000( )|()|q xP HCCP x HP HCCP x H说明：说明：似然比检验（似然比检验（LRT：likelihood Ratio Test)是似然比函数是似然比函数(x）于与检测门限）于与检测门限进行比较，进行比较， (x）是一个依赖于观测量是一个依赖于观

50、测量x的函的函数，因此是一个检验统计量。数，因此是一个检验统计量。2021-10-15SDE_16 信号检测理论综述46简化形式：简化形式：如果似然函数含有指数形式，可以简化判决准如果似然函数含有指数形式，可以简化判决准则，即简化的贝叶斯准则为则，即简化的贝叶斯准则为 ln)(ln01HHx似然判决器似然判决器(x）计算器计算器判决器判决器xk 成成立立，成成立立，01HxHx 2021-10-15SDE_16 信号检测理论综述47对数似然判决器对数似然判决器ln(x）计算器计算器判决器判决器xk 成立成立，成立成立，01lnlnHxHx 2021-10-15SDE_16 信号检测理论综述48

51、第三章第三章 信号检测的基本理论信号检测的基本理论 3.3 3.3 贝叶斯准则贝叶斯准则例题：例题：在二元数字通信系统中，假设为在二元数字通信系统中，假设为HH1 1时，信源输出为正时，信源输出为正电压电压A A，假设为，假设为H H0 0时，信源输出为零电平。信号在通信信道传时，信源输出为零电平。信号在通信信道传输过程中叠加了高斯噪声输过程中叠加了高斯噪声n(t)n(t)；每种信源的持续时间为；每种信源的持续时间为T T，在，在接收端对接收到的信号接收端对接收到的信号 x(t) 在在T T时间内进行时间内进行N N次独立采样，样次独立采样，样本为本为xk（k=1,2,N)。已知噪声样本。已知

52、噪声样本nk k是均值为零、方差为是均值为零、方差为 n n2 2的高斯噪声。的高斯噪声。（1) 1) 试建立信号检测系统的信号模型；试建立信号检测系统的信号模型；（2 2）若似然检测门限已知，确定似然比检验的判决表达式；）若似然检测门限已知，确定似然比检验的判决表达式；（3 3）计算判决概率）计算判决概率P(H1|H0)和和P(H1|H1)。贝叶斯准则 Ex1.2021-10-15SDE_16 信号检测理论综述49解：解：（1）接收信号模型为：）接收信号模型为：解：解：（1）接收信号模型为：）接收信号模型为：TttnAtxHTttntxH 0),()(0),()(10：在（在（0，T）内进行

53、）内进行N次独立采样后，接收信号模型为：次独立采样后，接收信号模型为：NknAxHNknxHkkkk,.,2 , 1,.,2 , 1,10 ：其中其中 xk 之间相互独立。之间相互独立。2021-10-15SDE_16 信号检测理论综述50（2）已知）已知 222exp21)(nknknnp 在两种假设情况下，似然函数为：在两种假设情况下，似然函数为： 2212202exp21)|(2exp21)|(nknknknkAxHxpxHxp 由于由于N次采样的样本次采样的样本 xk 之间是独立同分布（之间是独立同分布（iid)的，所以的，所以 )Axexp()H|x(p)H|x(p)xexp()H|

54、x(p)H|x(pnNkkNnNkknNkkNnNkk212111212100221221 2021-10-15SDE_16 信号检测理论综述51这样，似然比函数为这样，似然比函数为221112202221(|)( )exp()(|)22exp()2NNkkkknnNkknnxAxP x HxP x HANAx似然比函数检验（似然比函数检验（LRT）为）为 0122122exp(HHnNkknNAxA ）2021-10-15SDE_16 信号检测理论综述52取对数取对数 ln2012212HHnNkknNAxA 进一步整理得进一步整理得2ln12101ANAxNnHHNkk （3）检验统计量）

55、检验统计量 是是N个信号的平均值，它是个信号的平均值，它是xk（k=1,2,N)的函数，是个随机变量。的函数，是个随机变量。 012121HHnNkk)x( lANAln,xN)x( l ，令令 NkkxN11说明：由于说明：由于N次采样的样本次采样的样本xk之间是独立同分布（之间是独立同分布（iid)的，因此的，因此 l(x) 在两种假设情况下均服从高斯分布，均值和方差计算过程如下。在两种假设情况下均服从高斯分布，均值和方差计算过程如下。2021-10-15SDE_16 信号检测理论综述53 NnNEHxlEHxNEHxlDnNEHxNEHxlEnNkkNkkNkkNkk2212100011

56、001| )(|1| )(01|1| )( 假设假设H H0 0情况下，均值和方差分别为：情况下，均值和方差分别为： NAnANEHxlEHxNEHxlDAnANEHxNEHxlEnNkkNkkNkkNkk2212111111111| )(|1| )(1|1| )( 假设假设H H1 1情况下，同样的方法计算均值和方差为：情况下，同样的方法计算均值和方差为：2021-10-15SDE_16 信号检测理论综述54用用l表示表示l(x)，有，有 21201,|1, 0|nnNANHlNNHl 根据判决准则，根据判决准则， dlNlNdlHlpHHPnn2220012exp121)|(|2ln:2A

57、NAwheren 2021-10-15SDE_16 信号检测理论综述55 dlAlNNdlHlpHHPnn2221112exp121)|(|解毕。解毕。2021-10-15SDE_16 信号检测理论综述56例题例题：设二元假设检验的观测信号模型为：设二元假设检验的观测信号模型为nxHnxH 1:110：其中其中 n 为均值为零，方差为为均值为零，方差为0.5的高斯观测噪声。若两种假的高斯观测噪声。若两种假设是等先验概率的，代价因子分别为设是等先验概率的，代价因子分别为试求最佳（贝叶斯）判决表示式和平均代价试求最佳（贝叶斯）判决表示式和平均代价C。284111010100 CCCC，；，贝叶斯准

58、则 Ex22021-10-15SDE_16 信号检测理论综述572110 ）（）（HPHP解：解： xxxHxPHxPx4exp5 . 021exp5 . 0215 . 021exp5 . 021|2201 ）（）（）（ 2128211421)()(1101100100 CCHPCCHP 似然比检测门限为似然比检测门限为2021-10-15SDE_16 信号检测理论综述58Bayes判决表示式为判决表示式为21)4exp(01HHx 两边取对数，得两边取对数，得1733. 001 HHx显然似然比函数显然似然比函数 服从高斯分布，服从高斯分布，令令l(x)=x在两种假设下，有在两种假设下，有x

59、x )( 5 . 021exp5 . 021)|(5 . 021exp5 . 021)|(2120lHlplHlp 2021-10-15SDE_16 信号检测理论综述59 1733. 00001733. 01108790. 0)|()|(04846. 0)|()|(dlHlpHHPdlHlpHHP 8269. 1|)(|)()()(|)(|)()()(101101100100001110101110110100001110100 HHPCCHPHHPCCHPHPCHPCxdHxPCCHPHxPCCHPHPCHPCCR说明：说明：如果调整检测门限偏离了如果调整检测门限偏离了 -0.1733，则计

60、算出的，则计算出的C均大于均大于1.8269，这从侧面验证了贝叶斯准则的却能使平均代价最小。，这从侧面验证了贝叶斯准则的却能使平均代价最小。2021-10-15SDE_16 信号检测理论综述60第三章第三章 信号检测的基本理论信号检测的基本理论概念：概念：在对各假设的先验概率在对各假设的先验概率P(Hj)和各种判决的代价因子和各种判决的代价因子Cij进行约束的条件下，将会得到它的派生准则。本节主要讨论进行约束的条件下，将会得到它的派生准则。本节主要讨论二元信号情况下，贝叶斯派生的几种准则。二元信号情况下，贝叶斯派生的几种准则。1. 最小平均错误概率准则最小平均错误概率准则派生过程：派生过程：当当C00=C1