数值分析几十个程序

1、第一题 关于舍入误差累计的效果模拟。x*是在（0，1）上服从均匀分布的随机数，对x*取5位有效数字得到x,将产生的k（比如取为10000）个x*（x）相加得到X*（X），研究X*-X的分布情况以及X*-X和k的关系。将得到的结果用图形表示出来。k=1;kk=ones(1,1000);xc=ones(1,1000);while k<=1000r=rand(1,k);v=vpa(r,5);x0=sum(r);x1=sum(v);cha=x0-x1;xc(k)=cha;kk(k)=k;k=k+1;end;plot(kk,xc,'rh') 可以看出随着处理的数据的增大误

2、差也越来越大，但是还分布在横轴的两侧第二题 研究产生各种特定矩阵的方法（阶数在10-100），比如对称阵，三对角阵，正定矩阵，正交阵，对角占优矩阵，说明如何生成。（1）生成对称矩阵k=10;a=rand(10,10);for i=1:k %先生成一个下三角矩阵; for j=1:k if j>i a(i,j)=0; end; end;end;aa=a' %加上他本身的转置;g=a+aag = 1.9760 0.0377 0.8852 0.9133 0.7962 0.0987 0.2619 0.3354 0.6797 0.1366 0.0377 0.2135 0.6538 0.49

3、42 0.7791 0.7150 0.9037 0.8909 0.3342 0.6987 0.8852 0.6538 1.4881 0.5000 0.4799 0.9047 0.6099 0.6177 0.8594 0.8055 0.9133 0.4942 0.5000 1.7730 0.0287 0.4899 0.1679 0.9787 0.7127 0.5005 0.7962 0.7791 0.4799 0.0287 0.1429 0.5216 0.0967 0.8181 0.8175 0.7224 0.0987 0.7150 0.9047 0.4899 0.5216 1.6007 0.4

4、538 0.4324 0.8253 0.0835 0.2619 0.9037 0.6099 0.1679 0.0967 0.4538 0.7985 0.5269 0.4168 0.6569 0.3354 0.8909 0.6177 0.9787 0.8181 0.4324 0.5269 0.7448 0.1981 0.4897 0.6797 0.3342 0.8594 0.7127 0.8175 0.8253 0.4168 0.1981 1.8855 0.4177 0.1366 0.6987 0.8055 0.5005 0.7224 0.0835 0.6569 0.4897 0.4177 1.

5、9982（2）三对角矩阵k=zeros(5,5);a=rand(1,5);b=rand(1,4);c=rand(1,4);a=diag(a);b=diag(b);c=diag(c);k(1:4,2:5)=c;aa=k; %将得到的结果赋值给其他变量 因为此时的K已经不是以前的了必须再次初始化 才能不会影响以后的操作（如下一步）k=zeros(5,5);k(2:5,1:4)=b;bb=k;aa+bb+a %将上述的三个矩阵复合得到三对角;ans = 0.5005 0.8175 0 0 0 0.0714 0.4711 0.7224 0 0 0 0.5216 0.0596 0.1499 0 0 0

6、0.0967 0.6820 0.6596 0 0 0 0.8181 0.0424也是三对角k=6;a=zeros(6,6);a(1,1:2)=rand(1,2);a(6,5:6)=rand(1,2);i=2; %i不能忘了初始化while i>1&i<6a(i,(i-1):(i+1)=rand(1,3);i=i+1;end;aa = 0.1389 0.6963 0 0 0 0 0.5303 0.8611 0.4849 0 0 0 0 0.3935 0.6714 0.7413 0 0 0 0 0.5201 0.3477 0.1500 0 0 0 0 0.5861 0.2621

7、 0.0445 0 0 0 0 0.0938 0.5254（3）正定矩阵a=rand(5,5);b=a'c=a*b c = 0.3505 0.6554 0.6104 0.5783 0.7651 0.6554 1.6287 1.4020 0.9147 1.5272 0.6104 1.4020 1.4758 1.1823 1.7376 0.5783 0.9147 1.1823 1.4337 1.7436 0.7651 1.5272 1.7376 1.7436 2.3737矩阵的转置和他本身的乘积是正定的（4）正交矩阵 随机生成一个方阵，然后利用schmidt正交化对列向量进行正交化单位化得

8、到一个正交矩阵；a=rand(5,5);a=vpa(a,7);b=zeros(5,5);b(:,1)=a(:,1);for i=2:5sum=zeros(5,1); for j=1:(i-1) sum=sum+(dot(a(:,i),b(:,j)/dot(b(:,j),b(:,j)*b(:,j); end; b(:,i)=a(:,i)-sum;end; %完成对矩阵的正交化schmidt;for k=1:5b(:,k)=b(:,k)/sqrt(dot(b(:,k),b(:,k); end; %完成对矩阵的单位化;b=vpa(b,7)b*b' b = 0.4662487, -0.5697

9、477, 0.4464938, 0.5031049, 0.07435341 0.4330088, 0.5708757, -0.2023893, 0.4915742, -0.451661 0.6966242, -0.2311083, -0.434368, -0.5221337, 0.002112758 0.2120276, 0.3050953, 0.7502452, -0.4773735, -0.266848 0.2547048, 0.4505489, 0.09021349, 0.06878292, 0.8480929 ans = 1.000000000000000658769429433138

10、, 0.00000000000000020501909475855146103181737845679, -0.00000000000000021440423350092585100221961008361, 0.0000000000000005427542082813480164677324711907, -0.00000000000000011700162166438432633834107099474 0.00000000000000020501909475855146103181737845679, 1.0000000000000003207231381623452, 0.000000

11、00000000058082238049994760442870183594865, -0.00000000000000073536380504684284367618389622692, 0.00000000000000040560052001944880242963606302516 -0.00000000000000021440423350092585100221961008361, 0.00000000000000058082238049994760442870183594865, 1.0000000000000016447931562774053, 0.000000000000000

12、63268757033543168173701894986961, -0.00000000000000013226852520735450182808565768223 0.0000000000000005427542082813480164677324711907, -0.00000000000000073536380504684284367618389622692, 0.00000000000000063268757033543168173701894986961, 0.99999999999999936362009174092183, 0.000000000000000255697544

13、97442931226184064248466 -0.00000000000000011700162166438432633834107099474, 0.00000000000000040560052001944880242963606302516, -0.00000000000000013226852520735450182808565768223, 0.00000000000000025569754497442931226184064248466, 0.99999999999999902311091880723728（5）对角占优矩阵随机生成一个矩阵，将每行的元素求和然后复赋值给对角元素

14、，得到对角占优矩阵；a=4*rand(10,10);for i=1:6a(i,i)=sum(abs(a(i,1:6); %对角占优矩阵式对角线元素的绝对值之和大于其他元素的绝对值之和，所以这里取了绝对值;endaa = 12.3828 1.3800 0.2741 3.0666 3.6312 1.7501 0.9074 2.7388 0.3920 2.7565 1.3859 8.8416 0.8722 0.0873 3.8983 1.2834 1.7841 1.7724 0.9827 2.8715 2.2300 3.7099 12.0057 1.5724 0.4795 0.5362 1.0649

15、 1.7427 2.4629 2.2361 1.1991 3.0243 1.6569 9.5047 2.0759 0.5383 1.8364 3.1721 1.2198 2.1334 0.6363 1.1530 2.6448 0.8169 11.7626 3.2238 1.7316 3.2622 3.0679 3.5029 2.6610 2.4247 3.1339 2.6491 2.5481 15.5160 1.0385 3.0085 1.0689 1.5724 2.7368 3.0641 0.9915 3.6590 3.8156 3.7770 0.5349 3.1570 0.1580 1.8

16、323 3.1696 3.3846 2.2177 0.0276 3.7877 3.9534 1.6769 2.0051 1.1862 0.8330 1.3945 3.6079 0.9183 2.9857 3.8664 1.6396 2.0274 2.2207 2.2255 3.02911.0003 2.3828 0.0277 3.1987 0.2694 1.4848 1.2973 2.5230 3.8763 2.1868下面也是三对角占优k=6;a=zeros(6,6);a(1,1:2)=rand(1,2);a(6,5:6)=rand(1,2);i=2; %i不能忘了初始化哦亲while i&

17、gt;1&i<6a(i,(i-1):(i+1)=rand(1,3);i=i+1;end;for i=1:6 a(i,i)=sum(a(i,:);end; %在三对角矩阵的基础上将每一行的数相加然后复制给对角元素 则得到的矩阵式对角占优的;aa = 1.0292 0.8620 0 0 0 0 0.8843 1.6271 0.1548 0 0 0 0 0.1999 1.3555 0.7487 0 0 0 0 0.8256 1.9341 0.3185 0 0 0 0 0.5341 0.7357 0.1117 0 0 0 0 0.9899 1.5043第三题 比较高斯消去法和带有列主元的

18、高斯消去法的效果。要求构造一些方程组，方程组的精确解已知，用上面两种方法分别求解，说明选主元的效果。高斯消去法 A=1 2 3 1;2 7 5 6;1 4 9 -3; %增广矩阵;x=zeros(1,3);m,n=size(A);for i=1:(m-1) for j=(i+1):m A(j,:)=A(j,:)-A(i,:)*A(j,i)/A(i,i); %消去;end endA;x(m)=A(m,n)/A(m,m); %回代 未知数的最后一个分量单独计算出其他的如下;for i=(m-1):-1:1 x(i)=(A(i,n)-A(i,i+1:m)*x(i+1:m)')/A(i,i);

19、 end xx = 2 1 -1 高斯列主元法A=1 2 3 1;2 7 5 6;1 4 9 -3; %增广矩阵;m,n=size(A);for i=1:(m-1) temp=max(abs(A(i:m,i); %当前处理的矩阵的第一列的绝对值最大的元素; a,b=find(abs(A(i:m,i)=temp); %找到最大元素所在的位置; tempo=A(a(1)+i-1,:); A(a(1)+i-1,:)=A(i,:); A(i,:)=tempo; %交换两行;for j=(i+1):m A(j,:)=A(j,:)-A(i,:)*A(j,i)/A(i,i); %消去; end A;endx

20、(m)=A(m,n)/A(m,m); %回代;for i=(m-1):-1:1 x(i)=(A(i,n)-A(i,i+1:m)*x(i+1:m)')/A(i,i); end xA = 2 7 5 6 0 -3/2 1/2 -2 0 1/2 13/2 -6 A = 2 7 5 6 0 -3/2 1/2 -2 0 0 20/3 -20/3 x = 2 1 -1 下面构造一些已知解的矩阵，然后分别用以上两种方法进行求解，比较它们运行的结果：高斯消去A=rand(500,500);yizhij=rand(500,1);b=A*yizhij;A=A,b; %增广矩阵;x=zeros(1,500)

21、;m,n=size(A);for i=1:(m-1) for j=(i+1):m A(j,:)=A(j,:)-A(i,:)*A(j,i)/A(i,i); %消去;end endA;x(m)=A(m,n)/A(m,m); %回代 未知数的最后一个分量单独计算出其他的如下;for i=(m-1):-1:1 x(i)=(A(i,n)-A(i,i+1:m)*x(i+1:m)')/A(i,i); end dot(x'-yizhij,x'-yizhij)ans = 4.8354e-020高斯列主元法A=rand(500,500);yizhij=rand(500,1);b=A*yiz

22、hij;A=A,b; %增广矩阵; m,n=size(A);for i=1:(m-1) temp=max(abs(A(i:m,i); %当前处理的矩阵的第一列的绝对值最大的元素; a,b=find(abs(A(i:m,i)=temp); %找到最大元素所在的位置; tempo=A(a(1)+i-1,:); A(a(1)+i-1,:)=A(i,:); A(i,:)=tempo; %交换两行;for j=(i+1):m A(j,:)=A(j,:)-A(i,:)*A(j,i)/A(i,i); %消去; end A;endx(m)=A(m,n)/A(m,m); %回代;for i=(m-1):-1:1

23、 x(i)=(A(i,n)-A(i,i+1:m)*x(i+1:m)')/A(i,i); end dot(x'-yizhij,x'-yizhij)ans = 6.1236e-023可以看出运用高斯列主元法求解比高斯消去法更加精确。第四题采用紧凑格式实现矩阵的LU分解，并使用这个方法求解线性方程组。A=2 4 2 6;4 9 6 15;2 6 9 18;6 15 18 40;N = size(A);n = N(1);L = zeros(4,4);U = eye(4,4); %U的对角元素为1;L(1:4,1) = A(1:4,1); %L的第一列;U(1,1:4) = A(

24、1,1:4)/L(1,1); %U的第一行;for k=2:4 for i=k:4 L(i,k) = A(i,k)-L(i,1:(k-1)*U(1:(k-1),k); %L的第k列; end for j=(k+1):4 U(k,j) = (A(k,j)-L(k,1:(k-1)*U(1:(k-1),j)/L(k,k); %U的第k行; endendLUb=9 23 22 47'y = inv(L)*b;x = inv(U)*y %求解方程;L = 2 0 0 0 4 1 0 0 2 2 3 0 6 3 6 1 U = 1 2 1 3 0 1 2 3 0 0 1 2 0 0 0 1 x =

25、 1/2 2 3 -1 第五题 设计对称正定线性方程组，使用平方根法计算方程组的解。A=2 4 2 6;4 9 6 15;2 6 9 18;6 15 18 40;b=9 23 22 47'n=length(b);%方程个数nL=zeros(n,n);L(1,1)=sqrt(A(1,1);L(2:n,1)=A(2:n,1)/L(1,1);for j=2:n-1 L(j,j)=sqrt(A(j,j)-sum(L(j,1:j-1).2); for i=j+1:n L(i,j)=(A(i,j)-sum(L(i,1:j-1).*L(j,1:j-1)/L(j,j); endendL(n,n)=sq

26、rt(A(n,n)-sum(L(n,1:n-1).2);L y = inv(L)*b;x = inv(L')*y %求解方程;L = 1393/985 0 0 0 3363/1189 1 0 0 1393/985 2 1351/780 0 4756/1121 3 1351/390 1 x = 1/2 2 3 -1 第六题 追赶法求解三对角线性方程组三对角线性方程组的追赶法编程，使得算法计算次数达到最小。a=2.0 -1 0 0 0 ;-1 2 -1 0 0;0 -1 2 -1 0;0 0 -1 2 -1;0 0 0 -1 2;b=1 0 0 0 0;y=zeros(1,5);x=zer

27、os(1,5);L=zeros(5,5);U=zeros(5,5);U(1,2)=a(1,2)/a(1,1);for i=2:4 %利用书上给出的步骤编写; U(i,(i+1)=a(i,(i+1)/(a(i,i)-a(i,(i-1)*U(i-1),i);end;y(1)=b(1)/a(1,1);for i=2:5 y(i)=(b(i)-a(i,(i-1)*y(i-1)/(a(i,i)-a(i,(i-1)*U(i-1),i);end;x(5)=y(5);i=4;while i>=1 x(i)=y(i)-U(i,(i+1)*x(i+1); i=i-1;end;yx=vpa(x,4)y = 1

28、/2 1/3 1/4 1/5 1/6 x = 0.8333, 0.6667, 0.5, 0.3333, 0.1667第七题 调用Matlab的cond()函数分析随机生成的非奇异阵的的阶数和条件数之间的关系i=11;kk=zeros(1,90);con=zeros(1,90);while i<=100 kk(i-10)=i; k=1; chengji=1; while k<=50 a=rand(i,i); %生成i阶的方阵，对么一个方阵作50次的求解条件数的运算，最后求取平均值; c=cond(a); chengji=chengji*c; %把每次一运行出来的结果乘在一起，最后取几

29、何平均数; k=k+1; end; c=chengji.(1/50); con(i-10)=c; i=i+1;end;plot(kk,con,'rh')hold on;p=polyfit(kk,con,2);con=polyval(p,kk);plot(kk,con)可以看出随着非奇异矩阵阶数的不断增大条件数呈现多项式函数增大第八题 编写线性方程组的Jacobi方法和高斯赛德尔迭代法的程序。使用图形反映谱半径和残差之间的关系。Jacobi方法高斯赛德尔迭代法A=8 -3 2;4 11 -1;6 3 12;b=20 33 36'e=0.000001;n=max(size(

30、A);for i=1:n if A(i,i)=0 '对角元素为0不能求解' return; end;end;x=ones(n,1);k=0; %迭代次数的初始化;mk=50; %迭代次数的最大值;r=1;%前后项之差的无穷范数;while k<=mk&r>e x0=x; for i=1:n sum=0; for j=1:i-1 sum=sum+A(i,j)*x0(j); end; for j=i+1:n sum=sum+A(i,j)*x0(j); end; x(i)=(b(i)-sum)/A(i,i); end; %以上是迭代公式的等价翻译;r=norm(x

31、-x0,inf);k=k+1;end;if k>mk '迭代失败'else'迭代成功'end;xkans =迭代成功x = 3.0000 2.0000 1.0000k = 15A=8 -3 2;4 11 -1;6 3 12;b=20 33 36'e=0.000001;n=max(size(A);for i=1:n if A(i,i)=0 '对角元素为0不能求解' return; end;end;x=ones(n,1);k=0; %迭代次数的初始化;mk=50; %迭代次数的最大值;r=1;%前后项之差的无穷范数;while k<

32、;=mk&r>e x0=x; for i=1:n sum=0; for j=1:i-1 sum=sum+A(i,j)*x(j); end; for j=i+1:n sum=sum+A(i,j)*x0(j); end; x(i)=(b(i)-sum)/A(i,i); end; %以上是迭代公式的等价翻译;r=norm(x-x0,inf);k=k+1;end;if k>mk '迭代失败'else'迭代成功'end;xkans =迭代成功x = 3.0000 2.0000 1.0000k = 8其中高斯赛德尔迭代法只是在Jacobi方法在一个地方的

33、更改。并且可以看出高斯赛德尔迭代法比Jacobi方法收敛更快。第九题 编写线性方程组的SOR方法的程序，对一个给定的矩阵，选择不同的不同的松弛因子，研究松弛因子和迭代矩阵的谱半径之间的关系。w=1w=1.5A=8 -3 2;4 11 -1;6 3 12;b=20 33 36'e=0.000001;w=1;n=max(size(A);for i=1:n if A(i,i)=0 '对角元素为0不能求解' return; end;end;x=ones(n,1);k=0; %迭代次数的初始化;mk=100; %迭代次数的最大值;r=1;%前后项之差的无穷范数;while k&l

34、t;=mk&r>e x0=x; for i=1:n sum=0; for j=1:i-1 sum=sum+A(i,j)*x(j); end; for j=i+1:n sum=sum+A(i,j)*x0(j); end; x(i)=(1-w)*x0(i)+w/A(i,i)*(b(i)-sum); end; %以上是迭代公式的等价翻译;r=norm(x-x0,inf);k=k+1;end;if k>mk '迭代失败'else'迭代成功'end;wxkans =迭代成功w = 1x = 3.0000 2.0000 1.0000k = 8A=8 -3

35、 2;4 11 -1;6 3 12;b=20 33 36'e=0.000001;w=1.5;n=max(size(A);for i=1:n if A(i,i)=0 '对角元素为0不能求解' return; end;end;x=ones(n,1);k=0; %迭代次数的初始化;mk=100; %迭代次数的最大值;r=1;%前后项之差的无穷范数;while k<=mk&r>e x0=x; for i=1:n sum=0; for j=1:i-1 sum=sum+A(i,j)*x(j); end; for j=i+1:n sum=sum+A(i,j)*x0

36、(j); end; x(i)=(1-w)*x0(i)+w/A(i,i)*(b(i)-sum); end; %以上是迭代公式的等价翻译;r=norm(x-x0,inf);k=k+1;end;if k>mk '迭代失败'else'迭代成功'end;wxkans =迭代成功w = 1.5000x = 3.0000 2.0000 1.0000k = 51松弛因子和迭代矩阵的谱半径之间的关系A=8 -3 2;4 11 -1;6 3 12;for i=1:3 for j=1:3 if j>=i A(i,j)=0; end; end;end;L=A;A=8 -3

37、2;4 11 -1;6 3 12;for i=1:3 for j=1:3 if j<=i A(i,j)=0; end; end;end;U=A;A=8 -3 2;4 11 -1;6 3 12;D=A-L-U;L,D,U,pbj=zeros(1,199);kk=zeros(1,199);w=0.01;k=1; %这里用K是为了防止下面出现错误;while w<2 B=inv(D+w*L)*(1-w)*D-w*U); p=vrho(B); pbj(k)=p; %记录下谱半径; kk(k)=w; %记录下松弛因子; k=k+1; w=w+0.01;end;plot(kk,pbj,'

38、;rh') %画图; hold on;p=polyfit(kk,pbj,2)pbj=polyval(p,kk);plot(kk,pbj,'b') %画图;为什么1.5的哪个位置是一个转折点呢第十题 编写线性方程组的最速下降法的程序，并研究对于给定的矩阵A（给定特征值），设定矩阵A的所有特征值，研究残差的范数和迭代次数k之间的关系，说明最速下降法的缺点在哪里。同时研究特征值的变化是否影响迭代收敛的速度。最速下降法求解线性方程组的程序和运行结果如下:e=0.0000001; %给定误差限;A=4 -1 2;-1 5 3;2 3 6;b=12;10;18;x=1;1;1;k=

39、1; %初始化，是用来统计迭代次数的;r=b-A*x; %初始化r，并用于第一次的判断“while norm(r)>e”;while norm(r)>er=b-A*x;arf=dot(r,r)/dot(A*r,r); %步长的计算公式;y=x+arf*r; %得到下一个迭代点;r=b-A*y; %得到新的剩余向量;x=y; k=k+1; %得带次数加1;end;k %输出迭代次数和最后一次迭代得到的x;xk = 76x = 3.0000 2.0000 1.0000研究残差的范数和迭代次数k之间的关系(二次拟合的效果)e=0.0000001; %给定误差限;A=4 -1 2;-1 5

40、 3;2 3 6;b=12;10;18;x=1;1;1;kk=zeros(1,1000);rr=zeros(1,1000);k=1; %初始化，是用来统计迭代次数的;r=b-A*x; %初始化r，并用于第一次的判断“while norm(r)>e”;while norm(r)>er=b-A*x;arf=dot(r,r)/dot(A*r,r); %步长的计算公式;y=x+arf*r; %得到下一个迭代点;r=b-A*y; %得到新的剩余向量;rr(k)=norm(r);x=y; kk(k)=k;k=k+1; %得带次数加1;end;kkk=kk(1,1:k);rr=rr(1,1:k)

41、;p=polyfit(kk,rr,2)rr=polyval(p,kk);plot(kk,rr)k = 76p = 0.0005 -0.0443 0.9259研究残差的范数和迭代次数k之间的关系(三次拟合的效果)研究残差的范数和迭代次数k之间的关系(四次拟合的效果)可以看出最速下降法收敛比较慢，事实上最速下降法只是线性收敛。当矩阵的特征值改变后：迭代次数变为kk=48;说明特征值的变化对收敛速度是有影响的，但是当特征值变化不大时对收敛速度的影响是比较小的第十一题 使用乘幂法计算方阵的主特征值和对应的特征向量。特别的要研究矩阵的特征值对于收敛速度的影响，分下面的情况：（1）主特征值是单根的情况，

42、（2）主特征值是重根的情况，（3）主特征值是共轭根的情况。（1）乘幂法计算方阵的主特征值和对应的特征向量A=1 -1 2;-2 0 5;6 -3 6;x0=1;1;1;eps = 1.0e-5;v = x0; M = 5000; m = 0; l = 0; %这是L;for(k=1:M) y = A*v; m = max(y); v = y/m; if(abs(m - l)<eps) %临近的两次得到的特征值的差的绝对值小于误差限; l = m; s = k; else if(k=M) disp('迭代步数太多，收敛速度太慢！'); l = m; s = M; end e

43、ndendlvs迭代步数太多，收敛速度太慢！l = 5.0000v = 0.2778 0.8889 1.0000s = 5000矩阵的特征值对于收敛速度的影响，分下面的情况：（1）主特征值是单根的情况第十二题 对称正定矩阵的加速迭代方法的验证。第十三题 反幂法求矩阵的最小特征值的程序，为简单起见，选择矩阵是对称正定的。在计算过程中，一定要使用LU分解的技术。第十四题 使用Householder方法将对称矩阵化成三对角阵。A=6 2 3 1;2 5 4 8;3 4 9 1;1 8 1 7;B=zeros(m,n);m,n=size(A);i=m-2;k=1;for i=1:im,n=size(A);v1=A(1,2:n)' %依照笔记上的操作，编写代码如下;sgm=sqrt(dot(v1,v1);E=eye(n-1,1);v=(v1+sgm*E)./sqrt(dot(v1+sgm*E,v1+sgm*E);p1=eye(n-1)-2*(v*v');p=eye(n);p(2:m,2:n)=p1;A=p'*A*p;B(k:k+1,k:k+1)=A(k:k+1,k:k+1); %这里是为了将每次迭代产生的“A”的前两行和前两列