初等函数的幂级数展开式实用教案

1、1两类问题两类问题(wnt):在收敛在收敛(shulin)域内域内和函数和函数)(xS求求 和和展展 开开第1页/共17页第一页，共18页。2一、泰勒一、泰勒(ti l) ( Taylor ) 级数级数 其中其中(qzhng)( 在在 x 与与 x0 之间之间)称为称为(chn wi)拉格朗拉格朗日余项日余项 .则在则在若函数若函数的某邻域内具有的某邻域内具有 n + 1 阶导数阶导数, 此式称为此式称为 f (x) 的的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式 ,该邻域内有该邻域内有 :第2页/共17页第二页，共18页。3)(00 xxxf200)(!2)(xxxf 为为f (x) 的泰勒的泰勒(ti l

2、)级数级数 . 则称则称当当x0 = 0 时时, 泰勒泰勒(ti l)级数又称为麦克劳林级级数又称为麦克劳林级数数 .1) 对此级数对此级数(j sh), 它的收敛域是什么它的收敛域是什么 ？2) 在收敛域上在收敛域上 , 和函数是否为和函数是否为 f (x) ?待解决的问题待解决的问题 :若函数若函数的某邻域内具有任意阶导数的某邻域内具有任意阶导数, 第3页/共17页第三页，共18页。4定理定理(dngl)1 .各阶导数各阶导数(do sh), 则则 f (x) 在该邻域内能在该邻域内能(ni nn)展开成泰勒级数展开成泰勒级数的充要的充要条件条件是是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足的泰

3、勒公式中的余项满足:设函数设函数 f (x) 在点在点 x0 的某一邻域的某一邻域 内具有内具有定理定理2： 若若 f (x) 能展成能展成 x 的幂级数的幂级数, 则这种展开式是则这种展开式是唯一唯一的的 , 且与它的麦克劳林级数相同且与它的麦克劳林级数相同.第4页/共17页第四页，共18页。5二、函数二、函数(hnsh)展展开成幂级数开成幂级数 1. 直接直接(zhji)展展开法开法由泰勒级数由泰勒级数(j sh)理论理论可知可知, 求函数及其各阶导数在求函数及其各阶导数在 x0 = 0 处的值处的值 ;写出麦克劳林级数写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径并求出其收敛半径 R ; 判别在

4、收敛区间判别在收敛区间(R, R) 内内是否为是否为骤如下骤如下 :展开方法展开方法直接展开法直接展开法 利用泰勒公式利用泰勒公式间接展开法间接展开法 利用已知其级数展开式利用已知其级数展开式0. 的函数展开的函数展开第5页/共17页第五页，共18页。6例例1. 将函数将函数(hnsh)展开展开(zhn ki)成成 x 的幂级数的幂级数. 解解: 其收敛其收敛(shulin)半半径为径为 对任何有限数对任何有限数 x , 其余项满足其余项满足故故( 在在0与与x 之间之间)故得级数故得级数 第6页/共17页第六页，共18页。7类似类似(li s)可可推出推出:例2. 将展开展开(zhn ki)

5、成成 x 的幂的幂级数级数.),(x第7页/共17页第七页，共18页。8称为称为(chn wi)二项二项展开式展开式 .说明说明(shumng)：(1) 在在 x1 处的收敛性与处的收敛性与 m 有关有关(yugun) .(2) 当当 m 为正整数时为正整数时, 级数为级数为 x 的的 m 次多项式次多项式, 上式上式 就是代数学中的就是代数学中的二项式定理二项式定理.例例3. 将将函数函数展开成展开成 x 的幂级数的幂级数, 其中其中m为任意常数为任意常数 . 第8页/共17页第八页，共18页。9对应对应(duyng)的二项展开式分别的二项展开式分别(fnbi)为为)11(x第9页/共17页

6、第九页，共18页。102. 间接间接(jin ji)展开法展开法利用一些已知的函数利用一些已知的函数(hnsh)展开式及幂级数的运算展开式及幂级数的运算性质性质, 例例4. 将函数将函数(hnsh)展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.解解: 因为因为把把 x 换成换成)11(x, 得得将所给函数展开成将所给函数展开成 幂级数幂级数. 第10页/共17页第十页，共18页。11例例5. 将函数将函数(hnsh)展开展开(zhn ki)成成 x 的的幂级数幂级数.解解: 从从 0 到到 x 积分积分(jfn), 得得定义且连续定义且连续, 区间为区间为利用此题可得利用此题可得上式右端的幂级数在上式右

7、端的幂级数在 x 1 收敛收敛 ,所以展开式对所以展开式对 x 1 也是成立的也是成立的,于是收敛于是收敛第11页/共17页第十一页，共18页。12例例6：第12页/共17页第十二页，共18页。13例例7. 将将展成(zhn chn) x1 的幂级数. 解解: 第13页/共17页第十三页，共18页。14内容内容(nirng)小结小结1. 函数(hnsh)的幂级数展开法(1) 直接(zhji)展开法 利用泰勒公式 ;(2) 间接展开法 利用幂级数的性质及已知展开式的函数 .第14页/共17页第十四页，共18页。152. 常用(chn yn)函数的幂级数展开式x2!21xx),(x第15页/共17页第十五页，共18页。1611nxnnmmm!) 1() 1(当 m = 1 时),(x) 1, 1(x x11 1x第16页/共17页第十六页，共18页。17感谢您的观看(gunkn)！第17页/共17页第十七页，共18页。NoImage内容(nirng)总结1。第1页/共17页。为f (x) 的泰勒级数 .。1) 对此级数, 它的收敛域是什么。则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要。写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R。判别在收敛区间(R,