2018版高中数学苏教版选修1-1学案：2.4.1抛物线的标准方程

1、锥曲线与方程2.4抛物线2 . 4.1 抛物线的标准方程【学习目标】1掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念2 掌握抛物线的标准方程及其推导过程.3明确抛物线标准方程中 p 的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程的问题.ET问题导学-知识点抛物线的标准方程思考 i 在抛物线方程中 p 有何意义？抛物线的开口方向由什么决定？思考 2 已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向?梳理抛物线的标准方程有四种类型标准方程y2= 2px(p0)y2= 2px(p0)x2= 2py(p0)x2= 2py(p0)焦点坐标准线方程题型探究类型一求抛物线的标准方程例 i 分别根据下列条件求抛物线的标

2、准方程：(1) 已知抛物线的焦点坐标是 F(0, 2);(2) 准线方程为 y=2；焦点在 x 轴负半轴上，焦点到准线的距离是5;过点 A(2,3).反思与感悟求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可.若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论.焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2= ax(a丰0)，焦点在 y 轴上的抛物线方程可设为x2= ay(a丰0).跟踪训练 1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点(3, 4)；焦点在直线 x+ 3y+ 15= 0 上，且焦点在坐标轴上；焦点到准线的距离为，2.类型二求抛物线的焦点坐标及

3、准线方程例 2 已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程: (1)y2= 6x; (2)3x2+ 5y = 0;2 2 2(3)y= 4x ;(4)y = a x(a 工 0).引申探究若将本例(4)中条件改为 y= ax2(a丰0)，结果又如何？反思与感悟如果已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标、准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向.一次项的变量若为x(或 y)，则 x 轴(或 y 轴)是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向.跟踪训练 2 若抛物线 y2= 2px 的焦点坐标为(1,0),贝 U p =_,准线方程为类型三抛物线定义的应用命题角度 1 与抛物线有关的轨迹

4、方程11例 3 若位于 y 轴右侧的动点 M 到 F(2，0)的距离比它到 y 轴的距离大 2.求点 M 的轨迹方程.反思与感悟满足抛物线的定义，可直接利用定义写出轨迹方程，避免了繁琐的化简.跟踪训练 3 平面上动点 P 到定点 F(1,0)的距离比点 P 到 y 轴的距离大 1，求动点 P 的轨迹 方程.命题角度 2 利用抛物线定义求最值例 4 设 P 是抛物线 y2= 4x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点.(1)求点 P 到点 A( 1,1)的距离与点 P 到直线 x=- 1 的距离之和的最小值;若点 B 的坐标为(3,2).求 PB + PF 的最小值.反思与感悟 解决最值问题：在抛物

5、线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线来解决最值问题.跟踪训练 4 已知直线 l1： 4x 3y+ 6= 0 和直线 l2： x =- 1,抛物线 y2= 4x 上一动点 P 到直线 11和直线 12的距离之和的最小值是 _1.抛物线 y=x2的准线方程是 _ 42 .设抛物线 y2= 8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4,则点 P 到该抛物线焦点的距离是 _3 .根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)准线方程为 x= 1._.焦点在 x 轴的负半轴上，焦点到准线的距离是2._.4 .若椭圆 3+ % = 1(p0)的左焦点在抛物线 y2=

6、 2px 的准线上，贝 y p 为_ 3 p5 .若抛物线 y2= 2px (p0)上有一点 M，其横坐标为9，它到焦点的距离为 10,求抛物线 方程和 M点的坐标.-规律与方法1.焦点在 x 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为 y2= mx(m 0)，此时焦点坐标为卩(乎,0), m2准线方程为 x =才；焦点在 y 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x = my(m 0)，此时焦点坐标为F(O,：),准线方程为 y=m.2 .设 M 是抛物线上一点，焦点为 F，则线段 MF 叫做抛物线的焦半径.若M(xo, yo)在抛物线 y2= 2px(p0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的

7、距离和到准线的距离可以 相互转化，所以焦半径 MF = X0+；3.对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题.提醒：完成作业第 2 章2.4 2.4.1当堂训练问题导学知识点 思考 1 p 是抛物线的焦点到准线的距离，抛物线方程中一次项决定开口方向.思考 2 一次项变量为 x（或 y），则焦点在 x 轴（或 y 轴）上.若系数为正，则焦点在正半轴上;若系数为负，则焦点在负半轴上焦点确定，开口方向也随之确定.题型探究 例 1 解（1）因为抛物线的焦点在 y 轴的负半轴上,且一 2= 2，则 p =

8、4.所以，所求抛物线的标准方程为x2= 8y.因为抛物线的准线平行于x 轴，且在 x 轴上面,且 2=3,则p=28所以，所求抛物线的标准方程为x2= fy.由焦点到准线的距离为 5 知，p = 5.又焦点在 x 轴负半轴上,所以，所求抛物线的标准方程为y2= 1x.y2= mx(mz0)或 x2= ny(n丰).将点 A(2,3)的坐标代入,得 32= m 2 或 22= n 3,m=9或 n=扌所以，所求抛物线方程为y2= |x 或 x2= fy.跟踪训练 1 解（1）方法.点(3， 4)在第四象限，设抛物线的标准方程为 y2= 2px (p0)或 x2= 2piy (pi0).把点(3,

9、 4)分别代入 y2= 2px 和 x2= 2piy,得(4)2= 2p 3,32=- 2pi 4),答案精析，Px=2y=-Px= （4）由题意知，抛物线方程可设为梳理P,016 9 即 2p=才，25 = 4.所求抛物线的标准方程为y2=或 x2= 4y.方法二 点(3, 4)在第四象限，设抛物线的方程为 y2= ax (a 工 0)或 x2= by (b 工 0).把点(3, 4)分别代入，169可得 a=, b= 4.所求抛物线的标准方程为y2=普 X 或 x2= 4y.令 x= 0，得 y= 5;令 y= 0,得 x= 15.抛物线的焦点坐标为(0, 5)或(15,0).所求抛物线的

10、标准方程为x2= 20y 或 y2= 60 x.由焦点到准线的距离为.2,得 p= .2,故所求抛物线的标准方程为y2= 2,2x 或 y2= 2 2x 或 x2= 2 , 2y 或 x2= 2,2y.例 2 解(1)由方程 y2= 6x 知，抛物线开口向左，p 32p= 6, p = 3, 2 = 2，33所以焦点坐标为(一30),准线方程为 x=9225将 3x + 5y= 0 变形为 x = y,知抛物线开口向下，2p = 5, p = 5,p = _52 = 12所以焦点坐标为(0, g)，准线方程为 y=寻.将 y= 4x2变形为 X2= 4y,1 1p1知抛物线开口向上，2p=4,

11、 p=8，p= 16,所以焦点坐标为(0, 16)，准线方程为 y=寻2 2 _由方程 y= a x(a半0)知，抛物线开口向右,22p= a2, p =号，2所以焦点坐标为(a4, o),2准线方程为x一.引申探究2 21 解 y= ax2可变形为 x2=-1所以焦点坐标为(0,4a),1准线方程为 y=厂.4a跟踪训练 22 x= 11 1例 3 解 由于位于 y 轴右侧的动点 M 到 F(?, 0)的距离比它到 y 轴的距离大？，所以动点 M1 1到 F(1，0)的距离与它到直线 I: x= 1 的距离相等由抛物线的定义知，动点M 的轨迹是以F 为焦点，I 为准线的抛物线，其方程应为y2

12、= 2px(p0)的形式，而 p = 1，所以 p = 1,2p= 2,故点 M 的轨迹方程为 y2= 2X(XM0) 跟踪训练 3 解 由题意知，动点 P 到定点 F(1,0)的距离比到 y 轴的距离大 1.由于点 F(1,0)到 y 轴的距离为 1,故当 x 0 时，原命题等价于点 P 到点 F(1,0)与到直线 x= 1 的距离相等，故点 P 的轨迹是以 F 为焦点，x= 1 为准线的抛 物线，方程为 y2= 4x.24x, x0,故所求动点 P 的轨迹方程为 y2=0, x2，所以点 B 在抛物线内部.过点 B 作 BQ 垂直于准线，垂足为点 Q,交抛物线于点 P1，连结 P1F.此时，由抛物线定义知， P1Q=P1F.所以 PB+ PF P1B + P1Q= BQ= 3+ 1 = 4,即 PB + PF 的最小值为 4.跟踪训练 42当堂训练1 .