2018版高中数学北师大版选修1-1学案：第二章1.2椭圆的简单性质(一)

1、1.2 椭圆的简单性质（一）学习目标】1根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形.H问题导学-知识点一椭圆的简单性质2 2已知两椭圆 Ci、C2的标准方程：Ci： 2X5+务=1,怎样求 Ci、C2与两坐标轴的交点？交点坐标是什么?思考 2 椭圆具有对称性吗?思考 3 椭圆方程中 x, y 的取值范围分别是什么?梳理标准方程-2- 2-字+ b2=1(ab0)- 2-2-含=1(ab0)图形1&iy1性质焦占八 、 八焦距|F1F2|= 2c(c =7 a2 b2)|F1F2|= 2C(C=# a2 b2)范围2C2： 2

2、52X / =1.162 根据几何条思考对称性关于对称顶点轴长轴长短轴长知识点二椭圆的离心率思考观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样，哪些量影响其扁平程度？怎样刻画?梳理(1)定义：椭圆的焦距与长轴长度的比叫作椭圆的 _，用 e 表示.性质：离心率 e 的取值范围是 _ ,当 e 越接近 1,椭圆越_ ，当 e 越接近_椭圆就越接近圆.题型探究类型一椭圆的简单性质引申探究已知椭圆方程为 4x2+ 9y2= 36,求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率. 例 1 求椭圆9x2+ 16y2= 144 的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.反思与感悟 解决此类问题的方法是将所给方程

3、先化为标准形式,的焦点在哪个坐标轴上，再利用a, b，c 之间的关系和定义，求椭圆的基本量.跟踪训练 1 设椭圆方程 mx2+ 4y2= 4m(m0)的离心率为*,试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标.类型二求椭圆的离心率命题角度 1 与焦点三角形有关的离心率问题2 2例 2 设 F!, F2分别是椭圆 E: * +器=1 (ab0)的左，右焦点，过点 Fi的直线交椭圆 E 于 A, B 两点，AFi|= 3|BFi|.(1)若|AB| = 4, ABF2的周长为 16,求 |AF2|；3若 cos/AF2B= 5，求椭圆 E 的离心率.然后根据方程判断出椭圆反思与感悟涉及到焦点三角形

4、注意利用椭圆的定义找到a 与 c 的关系或利用 e=”.1b求解.2 2跟踪训练 2 椭圆予+詁=1(ab0)的两焦点为 Fi, F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为 _命题角度 2 利用 a, c 的齐次式，求椭圆的离心率(或其取值范围)2 2例 3(1)设椭圆 C: *+ b2= l(ab0)的左，右焦点分别为 Fi, F2,过 F2作 x 轴的垂线与 C相交于 A, B 两点，FiB 与 y 轴相交于点 D，若 AD 丄 FiB,则椭圆 C 的离心率等于 _ 2 2若椭圆 X2+1(ab0)上存在一点 M，使得/ FiMF2= 90Fi, F

5、2为椭圆的两个焦点)，则椭圆的离心率 e 的取值范围是 _ 反思与感悟 若 a, c 的值不可求，则可根据条件建立a, b, c 的关系式，借助于 a2= b2+c2,转化为关于 a, c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幕，得到关于 e 的方程或不等式，即可求得e 的值或取值范围.跟踪训练 3 若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是类型三利用椭圆的简单性质求方程例 4 求满足下列各条件的椭圆的标准方程.(i)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，且与 y 轴的一个交点为(0, i0)，该点与最近的焦点的距离为，iO ,5;2已知椭圆的离心率为

6、 e=3,短轴长为 8 5.反思与感悟在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程（组）确定 a, b,这就是我们常用的待定系数法.跟踪训练 4 椭圆过点（3,0），离心率 e=，求椭圆的标准方程.3当堂训练A. ( 3,0)C. （0, 13）2如图，已知直线 I: x 2y+ 2 = 0 过椭圆的左焦点Fi和一个顶点椭圆的离心率为（）1 2 代 1B.2D年3与椭圆 9x2+ 4y2= 36 有相同焦点，且短轴长为2 的椭圆标准方程是（222A.+ 丁= 1B. x2+ 曽=12 462 2 2C + y2

7、= 1D. +y= 16854.已知点（m, n）在椭圆 8x2+ 3/= 24 上，贝 V 2m+ 4 的取值范围是 _5.求满足下列各条件的椭圆的标准方程.1（1）已知椭圆的中心在原点，焦点在 y 轴上，若其离心率为 3，焦距为 8;短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为1 椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是（0,13），另一个顶点是（-10,0），则焦点坐标为(0, 10)(0, 土. 69)3.B,厂规律与方法 - ,1.已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式.2根据椭圆的简单性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用

8、的方法是待定系数法. 在椭圆的基本量中， 能确定类型的量有焦点、 顶点，而不能确定类 型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距.3.求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用.问题导学 知识点一思考 1 对于方程 Cl：令 x= 0,得 y=4,即椭圆与 y 轴的交点为(0,4)与(0, 4);令 y= 0, 得 x= 5，即椭圆与 x 轴的交点为(5,0)与(5,0).同理得 C2与 y 轴的交点为(0,5)与(0, 5), 与 x 轴的交点为(4,0)与(4,0).思考 2 有问题中两椭圆都是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形.思考 3Ci

9、： 5 xw5, 4 yw4;C2:4WxW4, 5WyW5.梳理Fi( c,0), F2(C,0) Fi(0， c), F2(0, c) |x|wa, |y|wb|x|wb, |y|wa x 轴、y 轴和原点(,0), (0, 5)(0, 1), (,0) 2a 2b知识点二题型探究 例 1 解已知方程化成标准方程为2 2x y16 9， 于是 a= 4, b = 3, c= ” 16 9=-；, 7,椭圆的长轴长和短轴长分别是2a = 8 和 2b= 6,离心率e=：=尖又知焦点在x轴上，两个焦点坐标分别是F# -, 7, 0)和 F2(,7, 0),四个顶点坐标分别是 A 4,0), A

10、2(4,0), B1(0, 3)和 B2(0,3).引申探究2 2解把椭圆的方程化为标准方程肝;=1,可知此椭圆的焦点在x 轴上，且长半轴长a = 3,短半轴长 b= 2.答案精析思考如图所示,在 Rf BF2O 中，cos/ BF2O = 1，记e=1 则0e1，e越大，/BF2O越小, 椭圆越扁;e 越小，/ BF2O 越大，椭圆越圆.梳理(1)离心率(0,1)扁又得半焦距 c=- a2 b2=：9 一 4 = /5.所以椭圆的长轴长2a= 6，短轴长 2b = 4;两个焦点的坐标分别是（一，5，0），（ _ 5， 0） .四个顶点的坐标分别是（一 3, 0）, （3,0）, （0, 2）

11、, （0,2） 离心率 e=C=严.a 322i跟踪训练 1 解椭圆方程化为标准形式为X +y= 1,且 e=1.4m2（1）当 0m4 时，长轴长和短轴长分别为8y3, 4,焦点坐标为L沁沁F1（0，），F2（0，亏）,顶点坐标为A矩迈A1(0，才)，A2(0，亏),B1( 2,0) , B2(2,0).例 2 解(1)由 AFf= 3|FiB|,AB|= 4,得|AF1|= 3, |F1B|= 1.因为 ABF2的周长为 16,所以由椭圆定义可得 4a = 16,AF1I+ |AF2|= 2a= 8.故 |AF2|= 2a |AF1|= 8 3= 5.设|F1B|= k,则 k0,且 |A

12、F1| = 3k, |AB|= 4k.由椭圆定义可得 |AF2|= 2a 3k, |BF2|= 2a k.在厶 ABF2中，由余弦定理可得2 2 2AB|2 3=|AF2|2+ IBF2I2 2AF2| 2|BF2| cosZAF2B，即(4k)6=(2a 3k) + (2a k) 5(2a 3k) (2a k)，化简可得(a + k)(a 3k) = 0, 而 a+ k0,故 a= 3k.于是有 |AF2|= 3k= |AFi|, |BF2|= 5k.222因此 |BF2| = |F2A| + |AB|，可得 FiA 丄 F2A,故 AF1F2为等腰直角三角形.从而 c=22a,2 2由于

13、AD 丄 BE 一肚=-1,跟踪训练 23 1例 3于,b2a，b2令 x= 0，则 y= 2，所以椭圆 E 的离心率ce=_a解析直线 AB : x= c,代入2活=1,得 y=A(c,2a) B(c,a)-kBF匚 0a1=c cb!abi2c 2ac，-直线 BFi: y 0 =_b!_ (x+c)，-D(0， 2a), kAD=22b_+b_a 2a = 3b c =2ac. 3b2= 2ac,即.3(a2-c2) = 2ac, .3e2+ 2e ,3= 0,2 42 3，2 彳、(2)亍，1)2 2解析 椭圆 a2+器=1(ab0),b b，即 c2 b2,所以 c2a2 c2,所以

14、 e2 1 e2,即 e22.又 0e0,e=2=2 j33.a c= ,10 5,则 c= , 5.所以 b3= a2 c2= 5,2 2所以所求椭圆的方程为土+x=i.105c2 2由 e= a=2，得c= 3a,又 2b = 8、J5, a2= b2+ c2,所以 a2= 144, b2= 80,2 2 2 2x y . x y-+ = 1 或-U- = 1144 80 或 80 144跟踪训练 4 解椭圆过点（3,0）, 点（3,0）为椭圆的一个顶点.当椭圆的焦点在 x 轴上时，（3,0）为右顶点，则 a = 3,Ve=：=孚。=唸=护4 5 6= .7， b2= a2 c2= 32 （6）2= 9 6 = 3,2 2椭圆的标准方程为X9+=1.93当椭圆的焦点在 y 轴上时，（3,0）为右顶点，则 b = 3,e= a* c= e=c=4= -, a = 12,32 a2= 3b2= 27,22椭圆的标准方程为 27+X = 1.2 2 2 2综上可知，椭圆的标准方程是 Xx+彳=1 或 27+X = 1