注重数学思想彰显数学本质

1、注重数学思想，彰显数学本质评 2017 浙江绍兴中考数学卷浙江省绍兴市柯桥区实验中学新校区钱卫娣电话 2017 中考刚刚落下帷幕， 今年的试题给我们一线教师上了生动的一课： 数学除了学习一定的数学知识，更重要的是培养学生的数学思维 . 在数学学习中，单纯靠题海是很难获得理想成绩的， 我们必须运用数学思想来武装自己并有效的指导解题，才能做到处变不惊，游刃有余 . 以下笔者从考查数学思想的角度对试题进行剖析，供参阅 .一 . 用函数与方程的思想武装自己在解决问题的过程中把变量之间的联系用函数关系反映出来， 便形成了函数思想，把一系列字母或待求的量通过列方程求值， 就是方程的思想， 方程是从算术方法

2、到代数方法的一种质的飞跃， 从而显化函数关系， 转化函数关系， 构造函数关系，转换方程形式， 构造方程形式， 联用函数与方程思想来解决相关数学问题 .例 1. (2017 绍兴中考第7 题 ) 均匀地向一个容器注水，最后把容器注满.在注水过程中，水面高度h 随时 t 变化规律如图所示( 图中 OABC 为折线 ) ，这个容器的形状可以是（）ABC.D (2017 绍兴中考第9 题) 矩形 ABCD 的两条对称轴为坐标轴，点A 的坐标为2,1 . 一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A 重合，此时抛物线的函数表达式为yx2 ，再次平移透明纸， 使这个点与点 C 重合，则该

3、抛物线的函数表达式变为（）A y x28x 14 B y x28x 14 C. y x24x 3 D y x24x 3 (2017 绍兴中考第13 题) 如图， R t ABC 的两个锐角顶点 A, B 在函数 ykx 0 的图象上， AC / / x 轴， AC 2 .x若点 A 的坐标为 2,2，则点 B 的坐标为评注：第 7 题考查的知识点是函数的图象， 从折线图的倾斜度出发， 根据注水的速度不变，而容器水里的高度除了与时间有关，且与容器里的底面积有关，则底面积越大的， 水的高度增加的越慢， 在解决问题的过程中把变量之间的联系用函数关系反映出来 . 第 9 题考查的知识点是二次函数的图象

4、，题中的意思就是将抛物线 y=x2 平移后，点 A 平移到了点 C，由 A 的坐标不难得出 C的坐标，由平移的性质可得点 A 怎样平移到点 C，那么抛物线 y=x2 ， 就怎样平移到新的抛物线，从而显化函数关系， 易求出答案 . 第 13 题考查的知识点是反比例函数的图象和性质，运用待定系数法求出 k 的值，而点 B 也在反比例函数上， 所以只要求出B 的横坐标或纵坐标代入函数解析式即可解出，由 AC/x 轴， AC=2，得到 C（4，2），不难得到 B 的横坐标与 C 的横坐标相同，可得 B 的横坐标 . 这题转换方程形式，构造方程形式，联用函数与方程思想来解决相关数学问题.二 . 用分类讨

5、论的思想武装自己在解题时，我们常遇到这样一种情况， 解到某一步之后， 不能再以统一的方法、统一的式子继续进行了， 因为这时被研究的问题包含了多种情况， 这必须在条件所给出的总区域内， 正确划分若干个子区域， 然后分别在多个子区域内进行解题，这里集中体现的是由大化小， 由整体化为部分， 由一般化为特殊的解决问题的方法，其研究方向基本是“分” ，但分类解决问题之后，还必须把它们总合在一起，这种“合分合”的解决问题过程就是分类讨论的思想方法.例 2 (2017 绍兴中考第 16 题) 如图， AOB45 ，点 M， N 在边 OA上，OM x,ON x 4 ，点 P 是边 OB上的点 . 若使点 P

6、，M，N构成等腰三角形的点 P恰好有三个，则 x 的值是 (2017 绍兴中考第 22 题) 定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形. （2）如图 2P是对角线BD上一点.且BP2PD，过点 P作直线分别交AD, BC 于点 E, F ，使四边形 ABEF是等腰直角四边形 . 求 AE的长 .，矩形ABCD中，AB5, BC9,点(2017 绍兴中考第 24 题 ) 如图 1，已知ABCD , ABx 轴， AB6, 点 A的坐标为 1,4 , 点 D 的坐标为3,4 ，点 B 在第四象限，点 P 是ABCD 边上一个动点 . （2）若点 P 在边 AB, AD

7、 上，点 P 关于坐标轴对称的点Q，落在直线yx1 上，求点P 的坐标 .(3)若点 P 在边AB, AD， CD上，点 G 是 AD 与 y 轴的交点，如图 2 ，过点 P 作 y 轴的平行线 PM ，过点 G 作 x 轴的平行线 GM ，它们相交于点 M ，将 PGM 沿直线 PG 翻折，当点 M 的对应点落在坐标轴上时，求点 P 的坐标（直接写出答案） .评注：第 16 题考查的知识点是相交两圆的性质，以 M，N， P 三点为等腰三角形的三顶点，则可得有 MP=MN=4，NP=MN=4，PM=PN这三种情况，而 PM=PN这一种情况始终存在； 当 MP=MN时可作以 M为圆心 MN为半径

8、的圆，查看与 OB的交点的个数；以 N 为圆心 MN为半径的圆，查看与 OB的交点的个数；则可分为当 x=0 时，符合条件；当 0<x<4 时，圆 M与 OB只有一个交点，则当圆 N 与 OB相切时，圆 N 与 OB只有一个交点，符合，求出此时的 x 值即可；当 4x 时，圆 N 与 OB没有交点，当 x 的值变大时，圆 M会与 OB相切，此时只有一个相点，求出此时 x 的值，则 x 在这个范围内圆 M与 OB有两个交点；综上即可求答案 . 这题在求解时需要正确划分若干个子区域， 然后分别在多个子区域内进行解题， 这里集中体现的是由大化小，由整体化为部分的思想 . 第 22 题考查

9、的知识点是平行四边形的判定，第（ 2）小题分类讨论：若 EF与 BC垂直，明示有 AEEF，BFEF，即 EF 与两条邻边不相等； 由 A=ABC=90°，可分类讨论 AB=AE时，AB=BF时去解答 .第 24 题考查的知识点是平行四边形的性质，翻折变换（折叠问题） ，第（ 2）小题首先要分点 P 在边 AB，AD上时讨论，根据“点 P 关于坐标轴对称的点 Q”，即还要细分“点 P 关于 x 轴的对称点 Q和点 P 关于 y 轴的对称点 Q”讨论，根据关于 x 轴、y 轴对称点的特征（关于 x 轴对称时，点的横坐标不变，纵坐标变成相反数；关于 y 轴对称时，相反；）将得到的点 Q

10、的坐标代入直线 y=x-1 ，即可解答；第（ 3）小题在不同边上，根据图象，点 M翻折后，点 M落在 x 轴还是 y 轴，可运用相似求解 . 第 22、 24 两题由整体化为部分，由一般化为特殊的解决问题的方法，其研究方向基本是“分” ，但分类解决问题之后，还必须把它们总合在一起 .三用数形结合的思想武装自己华罗庚教授指出：“数缺形时少直觉， 形少数时难入微 . 数形结合百般好， 隔裂分家万事非 . ”数学结合的思想就是充分运用数的严谨和形的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维结合， 通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题的一种数学思想方法.例 3(20

11、17 绍兴中考第 7 题) (2017 绍兴中考第 13 题) (2017 绍兴中考第 24 题 ) (2017 绍兴中考第 18 题) 18. 某市规定了毎月用水 18 立方米以内（含 18 立方米）和用水 18 立方米以上两种不同的收费标准 . 该市的用户毎月应交水费 y（元）是用水量x （立方米）的函数，其图象如图所示.（ 1）若某月用水量为 18 立方米，则应交水费多少元？（2）求当 x 18 时，y 关于 x 的函数表达式 . 若小敏家某月交水费 81元，则这个月用水量为多少立方米？评注：第 18 题考查的知识点是一次函数的应用， （1）从图中即可得到横坐标为 18 时的点的纵坐标；

12、（2）运用待定系数法，设 y=kx+b，代入两个点的坐标求出 k 和 b，并将 y=81 时代入求出 x 的值即可 . 第 7、13、 18、24 题充分运用数的严谨和形的直观， 将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来， 使抽象思维和形象思维结合在一起 .四 . 用化归与转化的思想武装自己“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙 . 数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化， 复杂问题向简单问题转化， 新知识向旧知识转化， 命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面转化，多元向一元转化，高次向低次转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现对于压轴题的解答， 关键是如何顺藤措瓜，顺利实现转化 .

13、 熟练、扎实地掌握基础知识、 基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想、 机敏细微的观察、 比较、类比是实现转化的桥梁 . 转化常用策略有：熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一般化、整体化、间接化等.例 4 (2017 绍兴中考第 7 题 ) (2017 绍兴中考第 24 题 ) (2017 绍兴中考第 21 题 ) 某农场拟建一间矩形种牛饲养室， 饲养室的一面靠现有墙 （墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长度为 50m . 设饲养室为长为 x m ，占地面积为 y m 2.(1)如图 1 ，问饲养室为长 x 为多少时，占地面积y最大？（ 2）如图 2 ，现要求在图中所示位置留 2m

14、 的门，且仍使饲养室占地面积最大 . 小敏说：“只要饲养室长比（ 1）中的长多 2m 就行了 . ”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确 .评注：第 7 题是平面向空间的转化 . 第 21 题考查的知识点是一元二次方程的应用 ，（1）根据矩形的面积 =长×高，已知长为 x，则宽为 ，代入求出 y 关于 x 的函数解析式，配成二次函数的顶点式，即可求出 x 的值时， y 有最大值；（2）长虽然不变，但长用料用了（ x-2 ） m，所以宽变成了 ，由（ 1）同理，代入求出 y 关于 x 的函数解析式，配成二次函数的顶点式，即可求出 x 的值时， y 有最大值 . 此题是函数与方程的转化 . 第 24 题在解题是需要将新知识向旧知识转化，数与形的转化，多元向一元转化，高次向低次转化，对于压轴题的解答，关键是如何顺藤措瓜，顺利实现转化 .五综合运用数学思想武装自己数学解题没有具体的思维模式， 但有一般的思维趋势， 这种思维趋势即解答数学问题的通性通法 . 数学思想方法与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识时获得，与此同时，它们又直接对知识的形成起到指导作用 . 在学习中，应对数学思想方法进行认真的梳理与总结， 逐个认识它们的本质特征， 逐步做到自觉地、灵活地用于需要解决的问题之中 .例 5 (2017 绍兴中考第 10 题) 一块竹条编织物， 先将其按如图所示绕直线 MN 翻