切线的性质定理

1、切线的性质切线的性质复习回顾复习回顾1.切线的判定定理切线的判定定理2.切线的判定方法：切线的判定方法：（）定义（）定义（）切线的判定定理（）切线的判定定理.( 2 ) d=r 直线与圆相切直线与圆相切已知直线过圆上一点：已知直线过圆上一点： (连半径，证垂直）连半径，证垂直）不明确直线是否过圆上一点：不明确直线是否过圆上一点： (作垂直，证半径）作垂直，证半径）经过半径的外端并且垂直于这条经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线半径的直线是圆的切线直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切。圆相切。课前训练课前训练1.如图，如图， O的半径的半径OAO

2、B，点，点D在在OB的延长的延长线上，连接线上，连接AD交交 O于于Q，过点，过点Q作直线作直线PQ交交OD于点于点C，若，若CD=CQ。求证：求证：PQ是是 O的切线。的切线。QPDCOBA已知：如图，同心圆已知：如图，同心圆O O，大圆的弦，大圆的弦 AB=CDAB=CD，且，且ABAB是小圆的切线，切点为是小圆的切线，切点为E E 求证：求证：CDCD是小圆的切线是小圆的切线如图，已知如图，已知OO中，中，ABAB是直径，是直径， 过过B B点作点作OO的切线的切线BCBC，连结，连结COCO若若 ADOCADOC交交OO于于D D 求证：求证：CDCD是是OO的切线的切线 通过通过证明

3、三角形全等证明三角形全等证明垂直证明垂直. . 如图，AD是BAC的平分线，P为BC 延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与O相切.ABDCPO通过证明两角互余，证明垂直的通过证明两角互余，证明垂直的 如图，如图，AB=ACAB=AC，ABAB是是OO的直径，的直径， OO交交BCBC于于D D，DMACDMAC于于M M 求证：求证：DMDM与与OO相切相切. .通过证平行来证明垂直的通过证平行来证明垂直的 D如图，已知：如图，已知：ABAB是是 O O的直径，点的直径，点C C 在在 O O上，且上，且CAB=30CAB=300 0，BD=OBBD=OB，D D在在 ABAB的延长线上

4、的延长线上. . 求证：求证：DCDC是是 O O的切线的切线根据圆周角定理的推论根据圆周角定理的推论3 3证明垂直的证明垂直的 如图，如图，AB是是 O的直径的直径,CDAB， 且且OA2=ODOP. 求证：求证：PC是是 O的切线的切线.根据圆周角定理的推论根据圆周角定理的推论3 3证明垂直的证明垂直的 已知：如图，已知：如图，AC，BD与与 O切于切于 A、B，且，且ACBD，若，若COD=900. 求证：求证：CD是是 O的切线的切线.根据根据综合运用解题探索新知探索新知M假设假设L与与OA不垂直，过不垂直，过O作作OML，垂足为，垂足为M，根据，根据“垂垂线段最短线段最短”的性质，有

5、的性质，有OMOA。这就是说圆心到直。这就是说圆心到直线线L的距离小于半径，于是的距离小于半径，于是L就就要与要与如图，如图，AB为为 O的直径，的直径，C为为 O上一点，上一点，AD和和过过C点的切线互相垂直，垂足为点的切线互相垂直，垂足为D。求证：。求证：AC平分平分DAB例题选讲例题选讲DCOBA例题选讲例题选讲DCOBA随堂训练随堂训练DCOEBA随堂训练随堂训练O OF FE ED DC CB BA A随堂训练随堂训练DCOEBA拓展应用拓展应用PABCD台风路台风路经范围经范围如图所如图所示示、切线和圆只有一个公共点。、切线和圆只有一个公共点。、切线和圆心的距离等于半径。、切线和圆

6、心的距离等于半径。、切线垂直于过切点的半径。、切线垂直于过切点的半径。、经过圆心垂直于切线的直线必过切点。、经过圆心垂直于切线的直线必过切点。、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。6、经过切点的直径与切线垂直。、经过切点的直径与切线垂直。 如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个 (1)垂直于切线；垂直于切线； (2)过切点；过切点； (3)过圆心过圆心 推论推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推论推论2：经过切点且垂于切线的直线必经过圆心：经过切点且垂于切线的直线必经过圆心 已知：已知：直线直线

7、a与圆与圆o相切于点相切于点M,直线直线b经经过点过点M且垂直于直线且垂直于直线a。 求证：求证：直线直线b经过圆心经过圆心o 证明：假设直线b经不过圆心o，连接OM,则OM与直线b交于点M,因为直线a与圆o相切于点M,所以OM直线a，又因为直线b直线a，所以OM直线b（平面内垂直于同一条直线的两条直线平行），这与“OM与直线b交于点M”矛盾，所以，直线b经过圆心o。即经过切点垂直于切线的直线必过圆心.求证：如果圆的两条切线互相平行，则连结两个切求证：如果圆的两条切线互相平行，则连结两个切点的线段是直径。点的线段是直径。 已知：AB、CD是 O的两条切线，E、F为切点,且ABCD 求证：连结E

8、、F的线段是直径。 证明：连结EO并延长 AB切 O于E，OEAB，ABCD，OECD CD是 O切线，F为切点， OE必过切点F EF为 O直径已知已知:AB:AB是半是半OO直径，直径，CDABCDAB于于D D， ECEC是切线，是切线，E E为切点为切点 求证：求证：CE=CFCE=CFEBDOCFA O。ABP过圆外一点可以引圆的几条切线？过圆外一点可以引圆的几条切线？在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做段的长叫做这点到圆的切线长。这点到圆的切线长。OPAB切线切线与与切线长切线长是一回事吗？是一回事吗？它们有什么区别与联

9、它们有什么区别与联系呢？系呢？ 切线切线:不可以度量。不可以度量。切线长：切线长：可以度量。可以度量。B OABP思考思考：已知已知 O切线切线PA、PB，A、B为切点，把圆沿着直线为切点，把圆沿着直线OP对折对折,你能你能发现什么发现什么?12请证明你所发现的结论。请证明你所发现的结论。APOBPA = PBOPA=OPB证明：证明：PAPA，PBPB与与OO相切，点相切，点A A，B B是切点是切点 OAPAOAPA，OBPBOBPB 即即OAP=OBP=90 OA=OB，OP=OP RtRtAOPRtAOPRtBOP(HL)BOP(HL) PA = PB OPA=OPB试用文字语言试用文

10、字语言叙述你所发现叙述你所发现的结论的结论PA、PB分别切分别切 O于于A、BPA = PBOPA=OPB 从圆外一点引圆的两条切线，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。两条切线的夹角。 几何语言几何语言:反思反思：切线长定理为证明：切线长定理为证明线段相等线段相等、角相角相等等提供新的方法提供新的方法OPABAPOB 若连结两切点若连结两切点A A、B B，ABAB交交OPOP于点于点M.M.你又能得你又能得出什么新的结论出什么新的结论? ?并给出证明并给出证明. .OP垂直平分垂直平分AB证明：证明：PA

11、PA，PBPB是是OO的切线的切线, ,点点A A，B B是切点是切点 PA = PB OPA=OPB PABPAB是等腰三角形是等腰三角形，PMPM为为顶角顶角的平分线的平分线 OP垂直平分垂直平分ABMAPO。B 若延长若延长PO交交 O于点于点C，连结，连结CA、CB，你又你又能得出什么新的结论能得出什么新的结论? ?并给出证明并给出证明. .CA=CB证明：证明：PAPA，PBPB是是OO的切线的切线, ,点点A A，B B是切点是切点 PA = PB OPA=OPB PC=PCPC=PC PCA PCB AC=BCAC=BCC探究：探究：PA、PB是是 O的两条切的两条切线，线，A、

12、B为切点，直线为切点，直线OP交于交于 O于点于点D、E，交，交AB于于C。BAPOCED（1）写出图中所有的垂直关系）写出图中所有的垂直关系OAPA，OB PB，AB OP（3）写出图中所有相等的线段）写出图中所有相等的线段（2）写出图中与）写出图中与OAC相等的角相等的角OAC=OBC=APC=BPCOA=OB=OD=OE, PA=PB, AC=BC, AE=BE 已知：如图已知：如图,PA,PA、PBPB是是OO的切线，切点分别的切线，切点分别是是A A、B B，Q Q为为ABAB上一点，过上一点，过Q Q点作点作OO的切线，的切线，交交PAPA、PBPB于于E E、F F点，已知点，已

13、知PA=12CMPA=12CM，求，求PEFPEF的周长。的周长。EAQPFBO易证易证EQ=EA, FQ=FB,EQ=EA, FQ=FB, PA=PB PA=PB PE+EQ=PA=12cmPF+FQ=PF+FQ=PB=PAPB=PA=12cm=12cm周长为24cm 变式：变式：如图所示如图所示PA、PB分别切分别切圆圆O于于A、B，并与圆，并与圆O的切线分别相交于的切线分别相交于C、D，已知，已知PA=7cm，(1)求求PCD的周长的周长(2) 如果如果P=46,求求COD的度数的度数C OPBDAEDIABCNMABC和三角形各边都相切的圆叫做和三角形各边都相切的圆叫做三三角形的内切圆

14、角形的内切圆，内切圆的圆心叫，内切圆的圆心叫做三角形的做三角形的内心内心，这个三角形叫，这个三角形叫做做圆的外切三角形圆的外切三角形。和多边形的各边都相切的圆叫和多边形的各边都相切的圆叫做做多边形的内切圆多边形的内切圆，这个多边，这个多边形叫做形叫做圆的外切多边形圆的外切多边形。在在ABC中，中，ABC=500， ACB=750，点，点O是内心，是内心，求求BOC的度数。的度数。OABC例例2、如图，四边形、如图，四边形ABCDABCD的边的边ABAB、BCBC、CDCD、DADA和圆和圆OO分别相切于点分别相切于点L L、M M、N N、P P， 求证：求证： AD+BC=AB+CD AD+

15、BC=AB+CDDLMNABCOP证明：由切线长定理得证明：由切线长定理得AL=APAL=AP，LB=MB,NC=MCLB=MB,NC=MC， DN=DPDN=DPAL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DPAL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP 即即 AB+CD=AD+BCAB+CD=AD+BC补充：补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等圆的外切四边形的两组对边的和相等 BDEFOCA如图，如图，ABC的内切圆的半径为的内切圆的半径为r, ABC的周长为的周长为l,求求ABC的面积的面积S.解：解：设设ABC的内切圆与三边相切于的内切圆与三边相切于D、E、F，连结连结OA、OB、O

16、C、OD、OE、OF，则则ODAB，OEBC，OFAC.SABCSAOBSBOC SAOC ABOD BCOE ACOF21212121 lr设设ABC的三边为的三边为a、b、c，面积为，面积为S，则则ABC的内切圆的半径的内切圆的半径 r2Sabc三角形的内切圆的有关计算三角形的内切圆的有关计算ABCEDFO 如图，如图，RtABC中，中，C90,BCa,ACb, ABc, O为为RtABC的内切圆的内切圆. 求：求：RtABC的内切圆的半径的内切圆的半径 r. 解：解：设设RtABC的内切圆与三边相切于的内切圆与三边相切于D、E、F，连结连结OD、OE、OF则则OAAC，OEBC，OFAB

17、。abc2设设RtABC的直角边为的直角边为a、b，斜边为，斜边为c，则，则RtABC的的内切圆的半径内切圆的半径 r 或或rabc2ababc OABCDEF OABCDE思考思考：如图，：如图，AB是是 O的直径，的直径，AD、DC、BC是切线，点是切线，点A、E、B为切点，若为切点，若BC=9，AD=4，求，求OE的长的长.例例1 1、已知：、已知：P P为为OO外一点，外一点，PAPA、PBPB为为OO的的切线，切线，A A、B B为切点，为切点，BCBC是直径。是直径。 求证：求证：ACOPACOPPACBDO练习练习.如图，如图，ABC中中,C =90 ,它的它的内切圆内切圆O分别

18、与边分别与边AB、BC、CA相切相切于点于点D、E、F，且，且BD=12，AD=8，求求 O的半径的半径r.OEBDCAFABCEDFO如图，如图，RtABC中，中，C90,BC3,AC4, O为为RtABC的内切圆的内切圆. （1）求）求RtABC的内切圆的半径的内切圆的半径 . （2）若移动点）若移动点O的位置，使的位置，使 O保持与保持与ABC的边的边AC、BC都相切，求都相切，求 O的半径的半径r的取值范围。的取值范围。 解：解：（1）设）设RtABC的内切圆与三边相的内切圆与三边相切于切于D、E、F，连结，连结OD、OE、OF则则OAAC，OEBC，OFAB。 RtABC的内切圆的的内切圆的半径为半径为1。（2）如图所示，设与）如图所示，设与BC、AC相切的最大圆与相切的最大圆与BC、AC的切点分别为的切点分别为B、D,连结连结OB、OD,则四