几类不同增长的函数模型时实用教案

1、第1页/共33页第一页，共34页。引例：一张纸的厚度大约为0.01cm，一块(y kui)砖的厚度大约为10cm，请计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算当n=20时它们的厚度解：纸对折(duzh)n次的厚度：f(n)= （cm），NoImagen21.00n块砖的厚度(hud)：g(n)=10n(cm)f（20）105m,g(20)=2m第2页/共33页第二页，共34页。问题如果(rgu)张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示成x的函数问题正方形的边长为x，面积(min j)为y，把y表示成x的函数问题某保护区有1单位面积的湿地，由于(yuy)保护

2、区努力，湿地每年以5%的增长率增长，经过x年后湿地的面积为y，把y表示成x的函数（1）分别用表格，图象表示上诉函数分别用表格，图象表示上诉函数(2)指出它们属于哪种函数类型指出它们属于哪种函数类型（3）讨论它们的单调性讨论它们的单调性（4）比较它们的增长差异比较它们的增长差异第3页/共33页第三页，共34页。Y=x;2xy xy%)51 ( X123456Y=x1234561491625361.05 1.101.161.221.281.342xy xy%)51 ( 第4页/共33页第四页，共34页。它们(t men)分别属于：y=kx+b（直线型）), 0(y2抛物线型acbxax指数型）(y

3、bkax从表格和图像(t xin)来看它们都是增函数在不同区间增长速度不同，随着(su zhe)x的增大， xy%)51 ( 的增长速度越来越快另外还有与对数函数有关的函数模型，形如bxya log叫做对数型函数第5页/共33页第五页，共34页。例题例题(lt)：例例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种、假设你有一笔资金用于投资，现有三种(sn zhn)投资方案供你选择，这三种投资方案供你选择，这三种(sn zhn)方案的回报如下：方案的回报如下：方案方案(fng n)一：每天回报一：每天回报40元；元；方案二方案二：第一天回报：第一天回报10元，以后每天比元，以后每天比前一天多回报前一天多

4、回报10元；元；方案三方案三：第一天回报：第一天回报0.4元，以后每天的元，以后每天的回报比前一天翻一番。回报比前一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案呢？请问，你会选择哪种投资方案呢？第6页/共33页第六页，共34页。投资方案选择原则：投资方案选择原则：投入资金相同，回报量多者为优投入资金相同，回报量多者为优(1) 比较比较(bjio)三种方案每天回报量三种方案每天回报量(2)(2) 比较比较(bjio)三种方案一段时间内三种方案一段时间内的总回报量的总回报量 哪个方案在某段时间内的总哪个方案在某段时间内的总回报回报(hubo)量最多，我们就在量最多，我们就在那段时间选择该方案。那段时间选择

5、该方案。第7页/共33页第七页，共34页。 我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型(mxng)，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据。提供依据。解：设第解：设第x天所得回报天所得回报(hubo)为为y元，则元，则 方案一：每天回报方案一：每天回报(hubo)40元；元； y=40 (xN*)方案二：第一天回报方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回元，以后每天比前一天多回 报报10元；元； y=10 x (xN*)方案三：第一天回报方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天元，以后

6、每天的回报比前一天翻一番。翻一番。 y=0.42x-1 (xN*)第8页/共33页第八页，共34页。x/天天方案一方案一方案二方案二方案三方案三y/元元增长量增长量/元元y/元元增长增长量量/元元y/元元增长量增长量/元元1400100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.23040030010214748364.8107374182.4第9页/共33页第九页，共34页。图112-1从每天的回

7、报量来看：从每天的回报量来看： 第第14天，方案天，方案(fng n)一一最多：最多： 第第58天，方案天，方案(fng n)二最多：二最多： 第第9天以后，方案天以后，方案(fng n)三最多；三最多；有人认为投资14天选择方案(fng n)一；58天选择方案(fng n)二；9天以后选择方案(fng n)三？第10页/共33页第十页，共34页。累积累积(lij)回回报表报表 天天数数方案方案1234567891011一一4080120160200240280320360400440二二103060100150210280360450550660三三0.41.22.8612.425.250.

8、8102204.4409.2818.8结论结论(jiln) 投资投资8天以下天以下(yxi)（不含（不含8天），应选天），应选择第一种投资方案；投资择第一种投资方案；投资810天，应选择第天，应选择第二种投资方案；投资二种投资方案；投资11天（含天（含11天）以上，天）以上，应选择第三种投资方案。应选择第三种投资方案。第11页/共33页第十一页，共34页。 某种细菌随时间的变化而迅速地繁殖增加，若在某个时刻这种细菌的个数为200个，按照(nzho)每小时成倍增长，如下表：时间（小时）0123细菌数（个）2004008001600问：实验开始(kish)后5小时细菌的个数是多少？练习(linx)

9、第12页/共33页第十二页，共34页。解：设实验时间(shjin)为x小时，细菌数为y个，依题意有 x小时0123y（个） 2004008001600点ABCD20020020，40020021，80020022，160020023此实验开始后5小时(xiosh)，即x5时，细菌数为200256400（个） 从而，我们可以(ky)将细菌的繁殖问题抽象归纳为一个指数函数关系式，即y2002x（xN）第13页/共33页第十三页，共34页。例例2、某公司为了实现、某公司为了实现1000万元利润的万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到励方案

10、：在销售利润达到10万元时，按万元时，按销售利润进行奖励，且资金销售利润进行奖励，且资金y(单位：万单位：万元元)随着销售利润随着销售利润x (单位：万元单位：万元)的增加的增加而增加，但资金数不超过而增加，但资金数不超过5万元，同时万元，同时奖金奖金(jingjn)不超过利润的不超过利润的25%。现有。现有三个奖励模型：三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的，其中哪个模型能符合公司的要求呢？要求呢？第14页/共33页第十四页，共34页。解：解： 借助计算机作出函数借助计算机作出函数(hnsh) 的图象的图象 观察图象发现，在区间观察图象发

11、现，在区间10 ,1000上，模型上，模型 的图象都有一部分在直线的图象都有一部分在直线 的上方，只有的上方，只有模型模型 的图象始终在的图象始终在 的下方，这说明只的下方，这说明只有按模型有按模型 进行奖励时才符合公司的要求，下进行奖励时才符合公司的要求，下面通过计算确认上述判断。面通过计算确认上述判断。 ,25. 0 xy 5y1log7xy5y1log7xyxy002. 1第15页/共33页第十五页，共34页。第16页/共33页第十六页，共34页。 它在区间它在区间 10 ,1000 上递上递增，而且当增，而且当 时时 ， ，所以，所以(suy)它符合奖金它符合奖金总数不超过总数不超过5

12、万元的要求。万元的要求。 ，由函数图象，并利用计算器，可知在区间 内有一个点 满足，由于(yuy)它在区间 10 ,1000上递增，因此当 时， 因此该模型也不符合要求；对于对于(duy)模模型型 ， 它在区间它在区间10 ,1000上递增，上递增，当当 时，时， 因此该模型不符合要求；因此该模型不符合要求；首先计算哪个模型的奖金总数不超过首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万。万。对于模型 ，对于模型对于模型 ， 5 y第17页/共33页第十七页，共34页。令 。 利用计算机作出函数 的图象 由图象可知它是递减的，因此(ync)即所以当 时， 。 说明按模型 奖金不会超过利润的25%。再计算按

13、模型 奖励时，奖金是否不超过利润(lrn)的25%，即当 时，是否有 成立。1log7xy, 03167. 0)10()( fxfxx25.01log725. 01log7xx1000,10 x1log7xy综上所述，模型 确实能很符合公司要求。1log7xy第18页/共33页第十八页，共34页。第19页/共33页第十九页，共34页。1、四个变量、四个变量(binling) 随变量随变量(binling) 变化的数据如下变化的数据如下表：表：1.0051.01511.04611.14071.42952.310751551301058055305337331758.294.47854505313

14、0200511305051305302520151050关于关于x呈指数型函数变化的变量是呈指数型函数变化的变量是 。第20页/共33页第二十页，共34页。 2、某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播、某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播(chunb)的，的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么每轮病毒发作时，这如果某台计算机感染上这种病毒，那么每轮病毒发作时，这台计算机都可能感染没被感染的台计算机都可能感染没被感染的20台计算机。现在台计算机。现在10台计算台计算机在第机在第1轮病毒发作时被感染，问在第轮病毒发作时被感染，问在第5轮病毒发作时可能有轮病毒发作时可能有多少台计算机被感染？多少台计算

15、机被感染？第一轮第二轮第三轮第四轮第五轮被感染的电脑数量220103201042010201010第21页/共33页第二十一页，共34页。问题问题(wnt)提出提出 1.指数函数指数函数y=ax (a1)，对数函数，对数函数(du sh hn sh) y=logax(a1)和幂函数和幂函数y=x n (n0)在区间在区间（0，+）上的单调性如何？）上的单调性如何？ 2.利用利用(lyng)这三类函数模型解决实际问这三类函数模型解决实际问题，其增长速度是有差异的，我们怎样认识这题，其增长速度是有差异的，我们怎样认识这种差异呢？种差异呢？ 第22页/共33页第二十二页，共34页。探究探究(tnji

16、)（一）：特殊幂、指、对函数模型的差异（一）：特殊幂、指、对函数模型的差异 对于函数对于函数(hnsh)(hnsh)模型模型 ：y=2x, y=x2, y=2x, y=x2, y=log2x y=log2x 其中其中x0. x0. 思考思考1:1:观察三个函数的自变量与函数值对应观察三个函数的自变量与函数值对应 表表, , 这三个函数增长的快慢情况如何？这三个函数增长的快慢情况如何？ 1.7661.5851.3791.1380.8480.4850-0.737-2.322y=log2x11.5696.764.843.241.9610.360.04y=x210.55686.0634.5953.48

17、22.63921.5161.149y=2x3.43.02.62.21.81.410.60.2x第23页/共33页第二十三页，共34页。x012345678y=2x12481632 64 128 256y=x201491625 364964思考思考(sko)2:(sko)2:对于函数模型对于函数模型y=2xy=2x和和y=x2y=x2，观察，观察下列自变量与函数值对应表：下列自变量与函数值对应表： 当当x0 x0时，你估计函数时，你估计函数y=2xy=2x和和y=x2y=x2的图象共的图象共有有(n yu)(n yu)几个交点？几个交点？ 第24页/共33页第二十四页，共34页。思考思考3:3:

18、在同一坐标系中这三个函数图象的相对在同一坐标系中这三个函数图象的相对位置关系位置关系(gun x)(gun x)如何？请画出其大致图象如何？请画出其大致图象. . xyo11 24y=2xy=x2y=log2xy=log2x第25页/共33页第二十五页，共34页。思考4:根据(gnj)图象，不等式log2x2xx2和log2xx21和n0，在区间(0,+)上ax是否恒大于xn? ax是否恒小于xn?思考2:当a1，n0时，在区间(q jin)(0,+)上, ax与xn的大小关系应如何阐述？ 思考3:一般地，指数函数y=ax (a1)和幂函数y=xn(n0)在区间(0,+)上，其增长的快慢情况是

19、如何变化的？总存在一个总存在一个 ，当，当x 时，就会有时，就会有0 x0 xnxxa 第27页/共33页第二十七页，共34页。思考4:对任意给定(i dn)的a1和n0，在区间 (0,+)上,logax是否恒大于xn? logax是否恒小于xn?思考(sko)5:随着x的增大,logax增长速度的快慢程度如何变化? xn增长速度的快慢程度如何变化？思考6:当x充分大时,logax(a1)xn与(n0)谁的增长速度(zn chn s d)相对较快？总存在一个总存在一个 ，当，当x 时，就会有时，就会有0 x0 xnaxx log第28页/共33页第二十八页，共34页。思考7:一般地，对数函数(du sh hn sh)y=logax(a1)和幂函数y=xn(n0) 在区间(0,+)上，其增长的快慢情况如何是如何变化的？xyo1y=log=logax xy=x=xn第29页/共33页第二十九页，共34页。思考8:对于指数函数y=ax(a1)，对数函数 y=logax(a1)和幂函数y=xn(