抛物线中动点问题讲义

1、文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持第一讲抛物线中的动点问题一、利用动点(图形)位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题， 然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题二、利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质(或所求图形面积)直接转化为函数或方程。一、平行四边形与抛物线【例】如图甲，在平面直角坐标系中， A B的坐标分别为(4, 0)、(0, 3),抛 物线y=1x2+bx+c经过点B,且对称轴是直线x=-(1)求抛物线对应的函数解析式；(2)将图甲中AABOg x轴向左平移到 DCE(如图乙)，当四边形ABCO菱形 时，请说明点C和点D都在该抛物线

2、上；(3)在(2)中，若点M是抛物线上的一个动点(点 M不与点C D重合)，经 过点M作MN/ y轴交直线C叶N,设点M的横坐标为t , MN勺长度为l ,求l 与t之间的函数解析式，并求当t为何值时，以M N G E为顶点的四边形是 平行四边形.变式演练【变式】如图，在平面直角坐标系中，已知 RtzAOB勺两条直角边OA OB分别 在y轴和x轴上，并且OA OB的长分别是方程x2-7x+12=0的两根(OA< OB, 动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点0运动；同时， 动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、 Q运动的时间为t秒.(1

3、)求A、B两点的坐标.(2)求当t为何值时， APQfAOEffi似，并直接写出此时点 Q的坐标.(3)当t=2时，在坐标平面内，是否存在点 M使以A P、Q M为顶点的四边形是平行四 边形？若存在，请直接写出 M点的坐标；若不存在，请说明理由.【变式】如图，已知抛物线y= -x2+bx+c与一直线相交于A ( - 1, 0), C (2, 3)两点，与y 轴交于点N,其顶点为D.(1)抛物线及直线AC的函数关系式；(2)设点M (3, m),求使MN+MD值最小时m的值；(3)若抛物线的对称轴与直线 AC相交于点B, E为直线AC上的任意一点，过点E作EF/ BD 交抛物线于点F,以B, D

4、, E, F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点 E的坐标； 若不能，请说明理由；(4)若P是抛物线上位于直线 AC上方的一个动点，求 APC的面积的最大值.二、梯形与抛物线【例】 已知，在RtAOABfr, / OAB=90 , / BOA=30 , AB=2若以O为坐标原点，0即在 直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内.将RtzXOA时OB折叠后， 点A落在第一象限内的点C处.(1)求点C的坐标；2(2)右抛物线y=ax+bx (a*0)经过C A两点，求此抛物线的解析式；(3)若上述抛物线的对称轴与 OB交于点D,点P为线段DB上一动点，过P作y轴的平行线，

5、交抛物线于点M问：是否存在这样的点P,使得四边形CDPMfc等腰梯形？若存在，请求出 此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.变式演练【变式】如图，O为坐标原点，直线l绕着点A (0, 2)旋转，与经过点C (0, 1)的二次函 数y=_!x2+h的图象交于不同的两点P、Q.4(1)求h的值；(2)通过操作、观察，算出 POQ勺面积的最小值(不必说理)；(3)过点P、C作直线，与x轴交于点B,试问：在直线l的旋转过程中，四边形 AOBQ!否 为梯形？若是，请说明理由；若不是，请指出四边形的形状.【变式】如图，在平面直角坐标系 xOy中，矩形AOCD勺顶点A的坐标是(0, 4),现有两动 点P,

6、Q,点P从点。出发沿线段OC(不包才S端点O, C)以每秒2个单位长度的速度匀速向 点C运动，点Q从点C出发沿线段CD(不包才S端点C, D)以每秒1个单位长度的速度匀速可 点D运动点P, Q同时出发，同时停止，设运动时间为 t (秒)，当t=2 (秒)时，PQ=25.(1)求点D的坐标，并直接写出t的取值范围.(2)连接Ag延长交x轴于点E,把AE沿AD翻折交CD延长线于点F,连接EF,则4AEF 的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出 S与t的函数关系式；若不变化，求出 S的(3)在(2)的条件下，t为何值时，四边形APQ陛梯形？三、等腰三角形、菱形与抛物线【例】在平面直角坐标系xOy

7、中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边 AB在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点 A ( - 1, 0).(1)请直接写出点B、C的坐标：B、C；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式；(2)现有与上述三角板完全一样的三角板 DEF(其中/ EDF=90 , / DEF=60 ),把顶点E 放在线段AB上(点E是不与A、B两点重合的动点)，并使ED所在直线经过点C此时，EF 所在直线与(1)中的抛物线交于点 M设AE=x,当x为何值时， OC团AOBC在的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使4PEM等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.变式演练【变

8、式】如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB勺顶点A、B分别落在坐标轴上.。为原点，点A的坐标为(6, 0),点B的坐标为(0, 8).动点M从点O出发.沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点 N从点A出发，沿AB向终点B以每秒走个单位的速度运 3动.当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M N运动的时间为t秒(t >0).(1)当t=3秒时.直接写出点N的坐标，并求出经过 Q A N三点的抛物线的解析式；(2)在此运动的过程中，MNA勺面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在， 请说明理由；(3)当t为何值时， MNA一个等腰三角形？【变式】如图，

9、直线li经过点A ( - 1, 0),直线12经过点B (3, 0), li、I2均为与y轴交于点 C (0, -J1),抛物线 y=ax2+bx+c (a*0)经过 A、B、C三点.(1)求抛物线的函数表达式；(2)抛物线的对称轴依次与x轴交于点D与12交于点E、与抛物线交于点F、与11交于点G 求证：DE=EF=FG(3)若l1，l2于y轴上的C点处，点P为抛物线上一动点，要使 PCM等腰三角形，请写 出符合条件的点P的坐标，并简述理由.【变式】如图，在平面直角坐标系中，直角梯吃 OABC勺边OC OA分另J与x轴、y轴重合， AB/ OC /AOC=90 , / BCO=45 , BC=

10、1点，点 C的坐标为(18, 0).(1)求点B的坐标；(2)若直线DE交梯形对角线BO于点D,交y轴于点E,且OE=4 OD=2BD求直线DE的解 析式；(3)若点P是(2)中直线DE±的一个动点，在坐标平面内是否存在点 Q,使以Q E、P、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由.【变式】如图，已知抛物线经过原点 。和x轴上一点A (4, 0),抛物线顶点为E,它的对称轴与x轴交于点D,直线y= - 2x - 1经过抛物线上一点B (-2, mj)且与y轴交于点C,与抛所称 运 四 若物线的对称轴交于点F.(1)求m的值及该抛物线对应的解析式

11、；(2) P (x, y)是抛物线上的一点，若 S>A ADF=S>A ADJ 求出 有符合条件的点P的坐标；(3)点Q是平面内任意一点，点 M从点F出发，沿对 轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点 M的 动时间为t秒，是否能使以Q A E、M四点为顶点的 边形是菱形？若能，请直接写出点M的运动时间t的值; 不能，请说明理由.四、直角三角形与抛物线【例】如图，抛物线y=-1jc2 -与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交L 4于点C(1)求点A、B的坐标；(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当 ACD勺面积等于 ACB的面积时，求点 D的坐标；(3)若直

12、线l过点E (4, 0), M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形 有且只有三个时，求直线l的解析式.【变式】如图，在等腰三角形 ABCt, AB=AC以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立 平面直角坐标系，抛物线y二 - 2x2gx+4经过A B两点.22(1)写出点A、点B的坐标；(2)若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段 OA CA 和抛物线于点E、M和点P,连接PA PB.设直线l移动的时间为t (0<t<4)秒，求四边 形PBCA勺面积S (面积单位)与t (秒)的函数关系式，并求出四边形 PBCA勺最大面积；(3)在

13、(2)的条件下，抛物线上是否存在一点 P,使得PAM直角三角形？若存在，请求 出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【变式】如图，顶点为P (4, -4)的二次函数图象经过原点(0, 0),点A在该图象上，OA交其对称轴l于点M,点M N关于点P对称，连接AN ON解答下面的点A的轴于点P, 并与直线(1)求该二次函数的关系式；(2)若点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，请 问题：证明：/ANM=ONMANCfg否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件 坐标；如果不能，请说明理由.【变式】如图，在平面直角坐标系中，直线 y=-1x+2交x1交y轴于点A.抛物线y= - ,x2+bx+c的

14、图象过点E(- 1,0), 相交于A、B两点.(1)求抛物线的解析式(关系式)；(2)过点A作AC!AB交x轴于点C,求点C的坐标；(3)除点C外，在坐标轴上是否存在点 M使得MABt直角三角形？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由.五、相似三角形与抛物线【例】如图1,已知抛物线y=ax2+bx (a*0)经过A (3, 0)、B (4, 4)两点.(1)求抛物线的解析式；(2)将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D,求m的值及点D的坐标；(3)如图2,若点N在抛物线上，且/ NBO=ABQ则在(2)的条件下，求出所有满足 POD “NOB勺点P坐标

15、(点P、O D分别与点 N O B对应).变式演练【变式】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c (a*0)的图象经过原点0,交x轴于点A,其顶点B 的坐标为(3,-行).(1)求抛物线的函数解析式及点 A的坐标；(2)在抛物线上求点P,使 Sa po=2S aob(3)在抛物线上是否存在点 Q,使AAQOAOBf似？如果存在，请求出 Q点的坐标；如 果不存在，请说明理由.【变式】如图，已知抛物线的方程 C： y=- (x+2) (x-m (m> 0)与x轴相交于点B C,与y轴相交于点E,且点B在点C的左侧.(1)若抛物线G过点M (2, 2),求实数m的值；(2)在(1)的条件下，求

16、BCEB面积；(3)在(1)条件下，在抛物线的对称轴上找一点 H,使BH+EHR小，并求出点H的坐标；(4)在第四象限内，抛物线 G上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与 BCE 相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由.【变式】如图，已知二次函数 一(共2)卜富十卜)的图象过点A (-4, 3), B (4, 4).42(1)求二次函数的解析式：(2)求证：4ACB是直角三角形；(3)若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点 P作PH垂直x轴于点H,是否存在 以P、H、D为顶点的三角形与 ABCf似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理I【变式】如图，直线 AB交x

17、轴于点B (4, 0),交y轴于点A (0, 4),直线DMLx轴正半轴 于点M 交线段AB于点C, DM=6连接DA / DAC=90 .(1)直接写出直线AB的解析式；(2)求点D的坐标；(3)若点P是线段MB上的动点,过点P作x轴的垂线，交AB于点F,交过Q D B三点的 抛物线于点E,连接CE是否存在点P,使4BPF与4FCE相似？若存在，请求出点P的坐标； 若不存在，请说明理由.【变式】在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A (-3, 0), B (1, 0)两点，与y轴交于点C.(1)求这个二次函数的关系解析式；(2)点P是直线AC上方的抛物线上一动点

18、，是否存在点 P,使4ACP的面积最大？若存在， 求出点P的坐标；若不存在，说明理由；(3)在平面直角坐标系中，是否存在点Q,使BCQ1以BC为腰的等腰直角三角形？若存在， 直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；(4)点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点 Q作QE垂直于x轴，垂足为E.是否存在 点Q使以点B、Q E为顶点的三角形与 AOG目似？若存在，直接写出点 Q的坐标；若不存 在，说明理由；(5)点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q,使以A、G M Q为顶点的四边形是 平行四边形？若存在，直接写出点 Q的坐标；若不存在，说明理由.六、抛物线中的翻折问题【例】如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A ( - 1, 0), B (4, 0)两点,交y轴于点C,与 过点C且平行于x轴的直线交于另一点D,点P是抛物线上一动点.(1)求抛物线解析式及点D坐标；(2)点E在x轴上，若以A, E, D, P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点 P的坐标；(3)过点P作直线CD的垂线，垂足为Q,若将CPQ& CP翻折，点Q的对应点为Q'.是 否存在点P,使Q恰