微专题圆中的辅助线问题

1、2020 北京数学微专题微专题 圆中的辅助线问题圆中的辅助线问题微专题圆中的辅助线问题微专题圆中的辅助线问题方法一连半径构造等腰三角形方法一连半径构造等腰三角形方法解读方法解读如图，已知如图，已知AB是是O的一条弦，连接的一条弦，连接OA、OB，则有，则有OAOB，AB.微专题微专题 圆中的辅助线问题圆中的辅助线问题针对训练针对训练1. 如图，如图，CD是是O的直径，的直径，EOD84，AE交交O于点于点B，且，且ABOC，则，则A的度数为的度数为.第1题图28微专题微专题 圆中的辅助线问题圆中的辅助线问题方法二构造直角三角形方法二构造直角三角形方法解读方法解读(1)当图中含有直径时，构造直径

2、所对的圆周角；当图中含有直径时，构造直径所对的圆周角；即：即： 如图如图，已知，已知AB是是O的直径，点的直径，点C是圆上一点，连接是圆上一点，连接AC、BC，则有，则有ACB90.(2)在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，利用弦心距、半径和弦的一半组成在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，利用弦心距、半径和弦的一半组成一个直角三角形，再利用勾股定理或者三角函数进行计算一个直角三角形，再利用勾股定理或者三角函数进行计算.即：如图即：如图，已知，已知AB是是O的一条弦，过点的一条弦，过点O作作OEAB于点于点E，则有，则有OE2AE2OA2.微专题微专题 圆中的辅助线问题圆中的辅助线问题针对训

3、练针对训练2. 如图，如图，AB是是O的直径，点的直径，点C、D在在O上，上，ACD15，则，则BAD的的度数为度数为()A. 75B. 72C. 70D. 65第2题图A微专题微专题 圆中的辅助线问题圆中的辅助线问题方法解读方法解读方法三与圆的切线有关的辅助线方法三与圆的切线有关的辅助线(1)当直线与圆的公共点已知时，常连接圆心与直线和圆的公共点，证所连半径当直线与圆的公共点已知时，常连接圆心与直线和圆的公共点，证所连半径与直线垂直，简记：与直线垂直，简记：“连半径，证垂直连半径，证垂直”；图中没有图中没有90角需构造角需构造.构造一：若图中已知直径，则利用直径所对的圆周角是构造一：若图中已

4、知直径，则利用直径所对的圆周角是90，构造直角，构造直角.构造二：若图中有等腰三角形，则利用等腰三角形构造二：若图中有等腰三角形，则利用等腰三角形“三线合一三线合一”的性质构造直角的性质构造直角.微专题微专题 圆中的辅助线问题圆中的辅助线问题图中有图中有90角，利用等角代换证垂直角，利用等角代换证垂直.(2)当直线与圆的公共点未知时，常过圆心作直线的垂线段，证明圆心到直线的距当直线与圆的公共点未知时，常过圆心作直线的垂线段，证明圆心到直线的距离等于半径，简记：离等于半径，简记：“作垂直，证相等作垂直，证相等.”微专题微专题 圆中的辅助线问题圆中的辅助线问题针对训练针对训练3. 如图，以如图，以

5、ABC的边的边AB为直径作为直径作O，与，与BC交于点交于点D，点，点E是是 的中点，连的中点，连接接AE交交BC于点于点F，ACB2BAE.求证：求证：AC是是O的切线的切线.第3题图证明：如解图，连接证明：如解图，连接AD，E是是 的中点，的中点， 12，BAD21.ACB21，CBAD.AB为为O的直径，的直径，ADBADC90，DACC90.CBAD，DACBAD90，BAC90.即即ABAC.AB是是O的直径，的直径，AC是是O的切线的切线第3题解图微专题微专题 圆中的辅助线问题圆中的辅助线问题4. 如图，如图，O是是ABC的外接圆，的外接圆，ABAC，过点，过点A作作APBC，交，

6、交BO的延长线于的延长线于点点P.求证：求证：AP是是O的切线的切线.第4题图证明：如解图，连接证明：如解图，连接AO并延长，交并延长，交BC于点于点D，O关于关于AO所在的直线对称，且所在的直线对称，且ABAC，BDCD，ADBC.APBC，ADAP.OA为为O的半径，的半径，AP是是O的切线的切线第4题解图微专题微专题 圆中的辅助线问题圆中的辅助线问题5. 如图，如图，AB是是O的直径，的直径，AC平分平分EAB交交O于点于点C，过点，过点C作作CDAE交交AE的延长线于点的延长线于点D.求证：求证：CD是是O的切线的切线.第5题图证明：如解图，连接证明：如解图，连接OC，AC平分平分DA

7、B，DACOAC.OAOC，OCAOAC，DACOCA，ADOC.ADDC，OCDC.OC为为O的半径，的半径，DC为为O的切线的切线第5题解图微专题微专题 圆中的辅助线问题圆中的辅助线问题6. 如图，在如图，在ABC中，中，O为为AC上一点，以点上一点，以点O为圆心，为圆心，OC为半径作圆，与为半径作圆，与BC相相切于点切于点C，过点，过点A作作ADBO交交BO 的延长线于点的延长线于点D，且，且AODBAD.求证：求证：AB为为O的切线的切线.第6题图微专题微专题 圆中的辅助线问题圆中的辅助线问题证明：如解图，过点证明：如解图，过点O作作OEAB于点于点E，ADBD，D90，BADABD90，AODOAD90.AODBAD，ABDOAD.又又BC为为O的切线，的切线，ACBC，BOCOBC90.BOCAOD，OBCOA