拉普拉斯定理

1、dtetftfLsFtfjsdtetftttfstst00)()()()()()(0,)(的拉普拉斯变换式为：则称函数在的某一域内收敛，是复变量时有定义，且积分当为实变量）（设函数用拉普拉斯变换解线性常微分方程，可将微积分运算转化为代数运算，将微分方程变成变成代数方程，而且有变换表可供利用，因而是一种较为简便的工程数学方法。一、拉氏变换定义一、拉氏变换定义dsesFjtfsFLsFLtfsFtftfsFtfLSFtfsFstjj)(21)()()()()()()()()()()()(11为：拉氏反变换的计算公式函数），记为：的拉氏反变换（或象原为的拉氏变换，则称称为若），记为：的拉氏变换（或象

2、函数称为)()()()()()()()()()()()()()()()(2121112112121212211tbftaftFbLtFaLsbFsaFLsbFsaFtfbLtfaLtbftafLbasFtfLsFtfL为常数，则有、，设)0()0( )0()()()0( )0()()()0()()()()()1(21222nnnnnnffsfssFsdttfdLfsfsFsdttfdLfssFdttdfLsFtfL，则有设（2）微分性质，有当的值及其各阶导数在为函数，式中0)0()0( )0(,0)()0()0( )0()1()1(nnfffttffff)()()()()()(222sFsdt

3、tfdLsFsdttfdLssFdttdfnnn象函数的微分性质cstftLsFcsttfLsFsFtfLnn)Re(),()()()Re(),()(),()()(一般地，有则设)(1)()(1)()()(0000sFsdttfdtdtLsFsdttfLsFtfLnntttt，则有设（3）积分性质象函数的积分性质 snssnsdssFdsdsttfLdssFttfLsFtfL)()()()(),()( 一般地，有则设)(lim)(lim)(lim, )()(0ssFtfsssFtfLtts存在，则且若)(lim)(lim)(),()(0ssFtfssFsFtfLst则左半平面，的所有奇点在平面

4、的且若)()(),()(asFtfeLsFtfLat则有若)()(),()(00sFetfLsFtfLs则有若（6）初值定理（7）终值定理（4）位移性质（5）延迟性质0001)()(tttutf1f(t)tsesdtedtetusFststst11)()(000斜率=1f(t)t)( 1000)(ttttttf202000111)(sesdtesestdttesFstststst)( 12100021)(22ttttttff(t)t30300202111221)(sesdttesestdtetsFstststst的象函数求)0()(tttfm1) 1(21)()()(/ !)()(/ !)()

5、 0() 0() 0()()(/ !)(!)()()()(mmmmmmmmmmmsmsFsFssmsFsffsfssFstfLsmtfLconstmtfttfsFtfL所以显然由性质则其中令利用微分性质322/2/1/1)(ustLstLstL利用本公式可得：000)(ttetfataseasdtedteesFtastasstat11)(0)(0)(0f(t)t0a0a000sin)(ttttf220)()(001121)(21)(21sin)(sjsjsjdteejdteeejdtetsFtjstjssttjtjst22cos)(sstLsF通理可得：余弦函数t)(t000)()(ttttf

6、 1)(dtt且有00000001)()()()(dtetdtetdtetdtetsststst01)(tL即：)()(tLt的拉氏变换求单位脉冲函数101)0()()()()()(ssutuLsdttduLtLdttdut微分法则76解法解法2sesttLsF21)( 1)()()( 1)(ttt)(tf0)( 1 tt 的拉氏变换求)()()(tuttf8的拉氏变换求tetfatsin)(22)(sin)(asteLsFat)(sF部分分式原函数分解查表)(tfnmnmbbbaaaasasasbsbsbsbsAsBsFsFmnnnnnmmmm为正数，且、均为实数，及，其中的通式为：设102

7、11111110)()()()(的根。是0)(), 1()()()(21sAnissssssssAin注意系数nitsiniiissiissiiniiinniiiiieCssCLsFLtfsAsBCsFssCCssCssCssCssCssCsFsA111112211)()()( )()2()()(lim) 1 ()(0)(1的求法：无重根、1、的反变换。求342)(2ssssF解：解：3131342)(21212sssCsCssssFttsseetfsssFssssCssssC332112121)(321121)(21)1)(3(2)3(lim21)1)(3(2)1(lim的计算公式：的计算同

8、单根部分，为单根）重根，有有重根（设、mnmnnmmmmmmnmmCCCCssCssCssCssCssCsFsssmssA,)()()(,0)(21111111111211nmitsitsmmmmmmmssmjjssjmmssmmssmieCeCtCtmCtmCsFLtfsFssdsdmCsFssdsdjCsFssdsdCsFssC11221111)1()1(1111111111)!2()!1()()()()(lim)!1(1)()(lim!1)()(lim)()(lim121) 1(2lim)()3(lim32)3() 1(2lim)(lim43)3(2lim)() 1(lim21)3(2lim)() 1(lim3) 1() 1()(233420031211121243122ssssFsCsssssFCsssdsdsFsdsdCssssFsCsCsCsCsCsFssssssss).()3()1(2)(2tfsssssF的原函数求tteetsFLtfsssssF312121324321)()(312132)1(43)1(21)(注意：上面求F（S）的拉氏变换时，是假定。 ，当 时，上面的方法不能直接使用。nmnm3、tteettfssssssF322121)()(3121112113421)().(3455)(