必修四向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇

1、、四心的概念介绍(1)重心中线的交点：重心将中线长度分成2: 1;(2)垂心一一高线的交点：高线与对应边垂直；(3)内心一一角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等;(4)外心一一中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合(1) OA OB OC 0 O 是 ABC 的重心.证法 1：设 O(x, y), A(xi, yi), B(x2, y2),C(X3, y3)x1X2x3 (x1 x)OA OB OC 0(y1 y)。是ABC的重心.证法2:如图OA OB OCOA 2OD 0AO 2ODA、O、D三点共线，且。分AD 为

2、2: 1O是ABC的重心(x2 x) (x3 x) 0(y2 y) (y3 y) oy1y2y3(2) OA OB OB OC OC OA证明：如图所示 O是三角形ABC的垂心,OA OB OB OC OB(OA OC)O为ABC的垂心.BE垂直AC AD垂直BC, D、E是垂足.Ob Ca oOB AC同理 OA BC , OC ABO为ABC的垂心(3)设a, b, c是三角形的三条边长,O是 ABC的内心aOA bOB cOC 0 O 为 ABC 的内心.AB AC .证明：3、二匕分别为ar AC方向上的单位向量,c bABACAO一平分 b.ABBAC,ACbbca b cAO化简得

3、(abc a b c b c)OAABcbABACT)cAC 0aOA bOB cOC 0 OA OB Oc|O为ABC的外心。典型例题：例1： O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点OP OA (AB AC),0, ，则点P的轨迹一定通过 ABC的(A外心 B .内心 C .重心 D .垂心分析：如图所示 ABC, D、E分别为边BC、AC的中点.P满足)AB AC 2ADOP OA 2 ADOP OA APAP 2 ADAP AD P ABC C例2: (03全国理4) O是平面上一定点,- -/AB AC、满足 OP OA(Ti 1_1),0,AB ACA外心 B .内

4、心 CA、B、C是平面上不共线的三个点，,则点P的轨迹一定通过 ABC的.重心 D .垂心动点P(B )分析:普普分别为AB ACAB、AC方向上的单位向量,ABABBAC,AC 丁八尸(平分AC点P的轨迹一定通过 ABC的内心，即选 B.OP OA (-；AB cosB( )A.外心BP满足ABC的例3： O是平面上一定点，A、B、AC-*),AC cosC.内心 CC是平面上不共线的三个点，动点0,则点P的轨迹一定通过.重心 D .垂心分析：如图所示 AD垂直BC, BE 垂直 AC,D、E是垂足.ABACBCAB cosBAC cosCAB BC AC BCAB cosB AC cosC

5、AB BC cos BAC BCcosBcosCACcosCBC + BC =0点P的轨迹一定通过 ABC的垂心，即选 D .练习:1.已知 ABC三个顶点A、B、C及平面内一点P ,满足PA PB PC 0 ,若实D . 61, OA OB OC 0,则 OAOB ()-22OC 0 ,则 ABC面积与凹四边形满足：AB AC AP,则的值为（A. 2B . - C . 322 .若 ABC的外接圆的圆心为 Q半径为A. - B .0 C .1 D 23 .点O在 ABC内部且满足 OA 2OBABOC面积之比是（）A. 0B , - C .5 D .42434 . abc的外接圆的圆心为

6、o,若OH Oa Ob OC,则h是 abc的（）A.外心 B .内心 C .重心 D .垂心 2 2. 25 . O是平面上一定点， A、B、C是平面上不共线白三个点，若 OA BC OB222CA OC AB ,则。是 ABC 的（）A.外心B .内心 C .重心 D .垂心6. ABC的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H, Oh m（OA OB OC）, 则实数m =,一 aB aC - l aB aC i 皿7. （06陕西）已知非零向量 ABWACf足（ + ）- BC=0H =-,则 |AB| |AC|AB| |AC| 2 ABC/（）A三边均不相等的三角形B .直角三角形C.等腰非等边三角形D .等边三角形8.已知 ABC三个顶点A、