数列通项公式奇数项偶数项分段的类型

1、名师精编优秀资料数列通项公式奇数项偶数项分段的类型例76数列an的首项ai= 1,且对任意n N , a.与a.+1恰为方程x2 ®x+ 2n = 0的两 个根(I )求数列an和数列 bn的通项公式;(n )求数列bn的前n项和Sn. 解：(I )由题意 n N , an an+1= 2n.an+1 an+2an an+1an+ 2an122厂=2'(1 分)又t ai a2= 2a= 1匕2= 2二a1, a3,，a2n-1是前项为a1= 1公比为2的等比数列, a2, a4,，a2n是前项为a2= 2公比为2的等比数列n 1n*a2n 1= 2' a2n= 2

2、' n Nn A即an= 2 2 , n为奇数2n, n为偶数n 1 n + 1 bn = 2 + 2=3又 bn= an + an+1当n为奇数时,当n为偶数时，bn = 2；+ 2殳=22号 n A.3疋2,n为奇数-bn= * 悼2 2, n为偶数(n )Sn= b1 + b2 + b3 + bn 当n为偶数时，bn)Sn= (S+ b3+ bn-1)+ (b2+ 匕4+nn3 3 224 4 22=2+- = 7 2n 7(12 12 2当n为奇数时,Sn= b1 + b2 + bn - 1+ bn=Sn-1 + bn= 10 2专-7 (Sn =10汇22 7, n为奇数n7

3、 22 -7, n为偶数22 n2 n兀例77 数列an的通项an二n (cossin )，其前n项和为Sn.33(1) 求 &；0 =込，求数列 bn 的前n项和Tn .n 4nn"2n二解：(1) 由于 cos2sin2cos ,故S3k =(印 a? a3) (a4 a6) |l心3心 a3k a3k)2 2 2 2 2_( 1232) ( 452、“/ (3k_2)(3k_1)- 2262) | (2-(3k)2)133118k -5= - + -+2 2 2S Sa k(4 -9k)6k 丄一 5k - a3kk(9k 4)2k(4-9k)(3k -1)=+23k

4、-2 136,故Snn_3 (n 1)(1 -3 n)16,6n(3n 4)n = 3k -1n = 3kbn% _9n+4n 4n 一 2 4n 'j 4n ，丨攀，T 2川2 441224一13 -III24两式相减得193Tn 讨13 9 川999口丄;4n H213,1I 一 44n9n 4 o 1 9n- _ 8 - 23 _ 22n 1，3n2T旦Tn _<3 22n" _22n1.例78数列满足 aj =1,a2 =2,an 卷=(1 +cos2 =)an +si n2 , n = 1,2,3,川.2 2）求a3,a4,并求数列 订鳥的通项公式;(n)设b

5、n 二归，Sn=b1 +b2+lll+bn.证明：当 n 启6时，&-2 <4.a2nn2応2兀.解：(I )因为 a1 =1,a2 =2,所以 a3 = (1 cos )a1 sin ? = a1 1 = 2,22a4 =(1 cos 二)a2 sin2a2 =4.一般地，当 n =2k-1(k N*)时，a2k 1 二1 cos2 (2k 一1) a2k_ sin2_ 二2 2名师精编优秀资料=a2k 11，即 a2k 1 - a2k J = 1-所以数列Ca2kJ是首项为1、公差为1的等差数列，因此a2kJ =k.、，*2 2k兀2 2kn当 n 二2k(k N )时，a2

6、k 2 = (1 cos )a2k sin -2 2-2a2k -所以数列：a2k /是首项为2、公比为2的等比数列，因此a2k冷.故数列 © ? 的通项公式为an =n十1*，n= 2k1(k N ),2nw*22,n=2k(kw N ).(n)由(I)知,bn =a2n 1a2n，Sn期3-得，-Sn2所以Sn =2_ 1一 2 22 2-11-(£)222心2n1S21 ,'-3 n232n要证明当n工6时，Sn 2=221n2“ tn 2歹1 、成立，n23n2 jnr2 2 2n-2* 1 ._11 n2 n ?n 只需证明当n_6时,叫纥1 成立.2n证

7、法(1)当 n = 6 时，聲 2)-4864假设当n -k(k -6)时不等式成立，即k(k 2)2k则当 n=k+1 时，(k 1)(k3) k(k 2)2k12k,k+1)(k+3) Jk 十1)(k+3) <12k(k 2) (k 22 k'n(n 1)由(1)、(2)所述，当n6时， 十<1.即当n> 6时，2:0.2证法n(n 2)22(n-6),则 Cn 1 -Cn(n 1)(n 3)n12n(n 2)3 - n_小2_&十2 2名师精编 _优秀资料6汉83所以当n_6时，Cn i : Cn.因此当n_6时，G 一厲1.644于是当 n6时，n(

8、n2) <1.综上所述，当 n6时，Sn2 c1.22n例79设m个不全相等的正数 ai,a2,l山am(m _7)依次围成一个圆圈.()若m =2°°9，且印月2,1上価 是公差为d的等差数列，而ai,a2009, a2oo8l,aioo6是 公比为q =d的等比数列；数列a1,a2|,am的前n项和Sn(n < m)满足:Sj =15,S2°°9 = S2007 12ai，求通项 an(n 一 m)；解：因a1,a2009 , a2008 ,a1006是公比为d的等比数列，从而 a200 = aid> a200 = a1d 由S20

9、09 - S2008 12ai 得 a2008 ' a?009 - 12ai，故解得d =3或d =-4 (舍去)。因此 d =3又S3 = 3a1 3d =15。解得 a1 = 2从而当n < 1005时，a*(n -1)d =2 3(n -1) =3n -1当1006 n 一2009时，由a1,a2009,a2008,a1006是公比为d的等比数列得2009 -(n 4)2010-nan 二 a1da1d(1006 上 n 上 2009)3n -1, n 乞1005因此an20092 32009 ,1006 乞 n 兰 2009例80已知数列 错误！未找到引用源。中，错误！未

10、找到引用源。(1)求证：数列 错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。都是等比数列；(2)求数列错误！未找到引用源。前错误！未找到引用源。的和错误！未找到引用源。；(3)若数列 错误！未找到引用源。 前错误！未找到引用源。 的和为错误！未找到引用 源。，不等式错误！未找到引用源。 对错误！未找到引用源。 恒成立，求 错误！未找到引 用源。的最大值。解：(1)v错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。2分数列错误！未找到引用源。是以1为首项，错误！未找到引用源。 为公比的等比数列;数列错误！未找到引用源。是以错误！未找到引用源。为首项，错误！未找到引用源。为公比的等比数列。4分(2) 错误！

11、未找到引用源。 错误！未找到引用源。9分(3) 错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。当且仅当 错误！未找到引用源。时取等号，所以 错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。的最大值为48例82.在单调递增数列an中，a1 =1 , a2=2，且a2nJ,a2n , a2n .1成等差数列,a2n , a2n 1 , a2n 2 成等比数列，n = 1,2,3，.分别计算a3, a5和a4, a6的值;(2)求数列an的通项公式(将an用n表示)；(3)1设数列一的前n项和为Sn，证明：Sn ： 4n解：(1)an由已知，得a32a? - a*=2 2-132a332

12、a229a5 二 2a4a3 = 23=6 ,2aeaf62a4厂8.(2) a2n 1 , a2n , a2n 1 成等差数列，a2n 1 二 2a2n - a2n 4 ,n =1,2,3/ ; a2n , a2n 1 , a2n 2 成等比数列，二 a2n 2 -2a2n 1,n -1,2,3 .a2n又 a33 as 4a75a11 a32as；a4a29a64 a4猜想a2n 1n 2a2n 216a8ae25a2n以下用数学归纳法证明之.当n =1时,a2 1 1a3 _ 3a2 1 2a4a2 1 4 a1a2 1 a212 ，猜想成立;11假设n二k (k _ 1)时，猜想成立，

13、即a2k 1a2k 2a2k4ka2k另E么 a2k 32a2k 2 -"a2k 1a2k 1a2k 12a2k 1a2k J ' a2k 12a2k 12 a2k 1a2ka2k 1a2k 1a2k_12a2k 11a2k1.2(k2)_(k 1)22a2k 2 、a2ka2k 2a2k 212、 a2ka2k 2a2k 2a2k2 *1k 1_(k 7 * 2IL(k 1) 1a2k*a2k -2a2k书22a2k* a2k41a2kd2a2k -2<a2kd2 丿、a2kH2丿22a2k 3 n二k 1时，猜想也成立.由，根据数学归纳法原理，对任意的N *，猜想成

14、立.二 aa3a5a7. .a2na2n-5a1 a3a5a2nJa2nd刊 345亠 = n(n °1 2a2nX=a2a2a4 a6a2n -2a2n1)2n +1 n +1 丄当n为奇数时,an+1 I当n为偶数时,an(n 2)28名师精编优秀资料'(n+1)(n + 3),n 为奇数即数列an的通项公式为ann为偶数1(3)由(2),得丄二an(n +1) (n + 3)8,n为奇数显然，S1=1a1当n为偶数时，Sn =8 - 12 ，(n 2)24 112 ；n为偶数12 4 4 46 F 齐8 十Mn"n + 2)(n + 2)：8丄.丄丄2 42

15、44 6严(n +2) * n(n + 2) J=8卩-耳+力门"丄2 4丿<4 6丿+<64n .2=8丄-丄2 n 2 n&二Sn八丄：心T an(n -1)2 (n 1)(n 3)2 _ n = 4n _ 8 < 4nn 1 (n 1)(n 3) n 2n 2 (n 1)(n 2)(n 3)n 24 n综上所述，Sn ：上丄,nN * .n +2当n为奇数(n 一3)时,4n 4n 2n -1例83已知等比数列an的公比为q，首项为a1，其前n项的和为Sn .数列a：的前n项的和为An ,数列( -1)n 1an的前n项的和为Bn .(1 )若A? =

16、5, B2 -1，求an的通项公式；(2 )当n为奇数时，比较BnS与An的大小；当n为偶数时，若q=1，问是否存在常数，(与n无关)，使得等式 (Bn -')Sn An =0恒成立，若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.解：(1) A2 =5, B2 - -1,aiq=i,二 2.1 n 2n 1an 二(一)一，或 an =2 22(2) =(也)2 =q2 二常数,anain 2(1) an 1an 1(-1)n&=（_1）亠丄_q=常数,anai2 , ai，公比分别为q2,-q二数列a,（ -1）n q1 q2an均为等比数列，首项分别为 当n为奇数时，当 q =

17、1 时，Sn = nai, A = naj , Bn = ai, 二 BnSn 二 na；二 A.2当 q = _1 时，Sn =a1 , An = na1 , Bn =na1,. 2-Bn Sn = na1A.当 q =二1 时,设 n =2k 1(k 三 N ),2k A.乳'1 i爲，222、2k22k2k、aj1(q) ai(1q )(1 q )1q21 q2ai1 -(7严2k丄、ai(1q )1 +q-B2k 1S2k 1 = A2k.综上所述，当n为奇数时，Bn S - An .当n为偶数时，存在常数纽，使得等式（Bn - ）Sn An 0恒成立.1 +qq -i,ai(1 -qn)Sn -i qai2(1 _q2n)_ai(1-qn)2， Bn 1 -q1 q (