数值分析QR方法求矩阵特征值和特征向量

1、四. 实验代码：function H,B=Hessenberg(A) n=length(A);B=eye(n);for k=1:n-2X=zeros(n-k,1);H=eye(n);for i=1:n-kX(i)=A(i+k,k);enda=max(abs(X);if a=0.0breakendX=X/a;c=X(1);b仁 sqrt(sum(X42);if X(1)>=0b1=-b1;endX(1)=X(1)-b1;b=b1A2-b1*c;H0=eye(n-k)-X*X'/b;for i=1:n-kfor j=1:n-kH(i+k,j+k)=H0(i,j);end endA=H

2、*A*H;B=B*H;endH=A;一. 实验题目：QR方法求矩阵的特征和特征向量二. 设计目的：学会利用镜面变换进行矩阵的 QR分解及利用将幕法求 特征值和特征向量，熟悉 Matlab 编程环境。三 . 设计原理：利用镜像变换将A相似变换为Hessenberg B矩阵。记录 变换矩阵。运用Householder矩阵进行QR分解，QR方法为：B1=BB1=Q1R1B2=R1Q1Bm=QmRmBm+1=RmQmBm+与 Bm相似，从而特征值相等。再利用原点位移的反幕法求 B (或A)的特征向量反幂法用来计算矩阵按模最小的特征值及其特征向量，也可用来 计算对应与一个给定近似特征值的特征向量。设AR

3、nXn为非奇异矩阵，A的特征值依次记为|入1 | > |入2 | > |入3 | >-> |入n | ,相应的特征向量为Xi ,x 2 ,x n ,则A的特征值为|1/入n| > |1/入n-1 | >-> |1/入1 | ,相应的特征向量为Xn ,X n-1 ,X1 .所以计算A的按模最小的特征值入n的问题就是计算 A-1 的按模最大的特征值问题。对于 A-1 应用幂法迭代 (称为反幂 法)，可求得矩阵A的主特征值1/入n，从而求得A的按模最小 的特征值入n。反幕法迭代公式任取初始向量V 0 =卩0工0,构造向量序列(2.10)迭代向量V k可以通过

4、解方程组 AV k =卩k-1求 得. 在反幂法中也可以用原点平移法来加速迭代过程或求其他特 征值及特征向量。如果矩阵 (A-pI) -1 存在, 对其应用幂法，得反幂法的迭代公式反幕法迭代公式中的V k是通过解方程组(A - pl) v k =卩k-i求得的。为节省工作量，可先将 A - pI 进行三角分解(A - pl) = LU , 其中P为某个排列阵，于是求 V k 相当于解两个三角形方程组(2.12)实验表明，按下述方法选择 卩0较好：选 卩0使5 i = L-1 卩 0 = (1,1,1) T 用回代求解(2.12)即得 V 1 ，然后再按公式 (2.11) 进行迭代。迭代公式： 1. 分解计 算(A - pl) = LU ,且保存L,U信息。2. 反幂法迭代(1) 解 Uv 1 =(1,1, - ,1) T 求 V 11 1 = V 1 / ( V 1 ) r ,(2) k=2,3, a) 解 Lyk =1 k-1 ，求得 yk解 UV k = y k ，求得 V kb)1 k =V k /( V k) r步骤与实现：(1)利用镜像变换将A