卷积积分的性质实用教案

1、2.4 2.4 卷积积分卷积积分(jfn)(jfn)的的性质性质 卷积代数运算 与冲激函数或阶跃函数的卷积 微分积分性质 卷积的时移特性(txng) 相关函数 卷积积分是一种数学(shxu)运算，它有许多重要的性质（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。第1页/共20页第一页，共21页。一、卷积代数(dish)运算1交换律2分配律3结合律)()()()(1221tftftftf )()()()()()()(3121321tftftftftftftf )()()()()()(2121tftftftftftf 系统(xtng)并联运算系统(xtng)级联运算证明例1：P67第2页/共20页第

2、二页，共21页。证明(zhngmng)交换律 tftf21 d)()(21 tff d)()(12 tff，令令 t dd: ，则则卷积结果(ji gu)与交换两函数的次序无关。一般(ybn)选比较简单函数进行反转和平移。 tftf21 tftf12 第3页/共20页第三页，共21页。系统(xtng)并联 ththth21 系统并联，框图(kungt)表示： )()(1thtf )()(2thtf )()()()()()(21thtfthtfthtf结论：子系统(xtng)并联时，总系统(xtng)的冲激响应等于各子系统冲激响应之和。第4页/共20页第四页，共21页。系统(xtng)级联)()

3、()()()()(2121ththtfththtf )()(21ththth 系统(xtng)级联，框图表示： 结论：1.子系统级联时，总的冲激响应等于(dngy)子系统冲激响应的卷积。 2.子系统级联时，可以交换子系统响应次序。 第5页/共20页第五页，共21页。二、与冲激函数(hnsh)(hnsh)或阶跃函数(hnsh)(hnsh)的卷积1. f(t)*(t)=(t)*f(t) = f(t) 证：)(d)()()(*)(tftftftf(t)*(t t0) = f(t t0)2. f(t)*(t) = f(t) 证：)( d)()( )(*)( tftftftf(t)*(n)(t) = f

4、 (n)(t)3. f(t)*(t)tftfd)(d)()(t) *(t) = t(t)第6页/共20页第六页，共21页。 4. 卷积的时移特性(txng)若 f(t) = f1(t)* f2(t)，则 f1(t t1)* f2(t t2) = f1(t t1 t2)* f2(t) = f1(t)* f2(t t1 t2) = f(t t1 t2) 例1：P70例2第7页/共20页第七页，共21页。卷积时移性质(xngzh)例2例2：f1(t), f2(t)如图，求f1(t)* f2(t) t11-1f 1(t)t102f 2(t)0解： f1(t) = 2 (t) 2 (t 1) f2(t)

5、 = (t+1) (t 1) f1(t)* f2(t) = 2 (t)* (t+1) 2 (t)* (t 1) 2 (t 1)* (t+1) +2 (t 1)* (t 1) 由于(yuy) (t)* (t) = t (t) 据时移特性，有f1(t)* f2(t) = 2 (t+1) (t+1) - 2 (t 1) (t 1) 2 t (t) +2 (t 2) (t 2)第8页/共20页第八页，共21页。三、卷积的微积分性质(xngzh)1.121221d( )d( )d( )*( )*( )( )*dddf tf tf tf tf tf tttt证：上式= (1)(t) *f1(t)* f2(

6、t) = (1)(t) *f1(t) * f2(t) = f1(1)(t) * f2(t) 2.d)(*)()(*d)(d)(*)(212121tttftftffff证：上式=(t) *f1(t)* f2(t) = (t) *f1(t) * f2(t) = f1(1)(t) * f2(t) 3. 在f1( ) =f2( ) = 0的前提(qint)下， f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t) 例1例2:P73第9页/共20页第九页，共21页。卷积微分(wi fn)性质例1例1：f1(t) 如图, f2(t) = et(t)，求f1(t)* f2(t) )()e1 ()(e

7、)(ded)(e)(00)1(2ttttfttttf 1(t)t201解： f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t)f1(t) = (t) (t 2) f1(t)* f2(t)=(1- et)(t) 1- e(t-2)(t-2) 注意：当 f1(t)=1 ， f2(t) = et(t)，套用(toyng) f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t) = 0* f2(1)(t) = 0 显然是错误的。第10页/共20页第十页，共21页。求卷积是本章的重点与难点。求解卷积的方法可归纳为：（1）利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的函数比较有效(yuxio)

8、。如指数函数，多项式函数等。（2）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。（3）利用性质。比较灵活。三者常常结合起来使用。第11页/共20页第十一页，共21页。五、相关(xinggun)函数 相关函数是鉴别信号的有力工具，被广泛应用相关函数是鉴别信号的有力工具，被广泛应用于雷达回波的识别，通信同步信号的识别等领域。于雷达回波的识别，通信同步信号的识别等领域。 相关是一种与卷积类似的运算。与卷积不同的相关是一种与卷积类似的运算。与卷积不同的是没有一个是没有一个(y )(y )函数的反转。函数的反转。 相关(xinggun)函数的定义 相关(xinggun)与卷积的关系 相关(xinggun)函数

9、的图解第12页/共20页第十二页，共21页。1.定义(dngy)ttftfttftfRd)()(d)()()(212112实能量有限函数(hnsh)f1(t)和f2(t)的互相关函数(hnsh)ttftfttftfRd)()(d)()()(212121 互相关是表示两个不同函数的相似性参数(cnsh)。可证明，R12()=R21()。若f1(t)= f2(t) = f(t)，则得自相关函数ttftfttftfRd)()(d)()()(显然，R(-)= R()偶函数。注第13页/共20页第十三页，共21页。实功率有限信号相关实功率有限信号相关(xinggun)函数的定义函数的定义f1(t)与f2

10、(t)是功率有限(yuxin)信号相关(xinggun)函数： 222112d)()(1lim)(TTTttftfTR 221221d)()(1lim)(TTTttftfTR 自相关函数： 22d)()(1lim)(TTTttftfTR 例第14页/共20页第十四页，共21页。 的的自自相相关关函函数数。求求周周期期余余弦弦信信号号tEtf1cos 解：对此功率有限信号，由自相关(xinggun)函数的定义，有 12221212221111122211222cos2dcoscoslimdsinsincoscoscoslimdcoscoslimd1limEttTEttttTEtttTEttftf

11、TRTTTTTTTTTTTT 第15页/共20页第十五页，共21页。此例结论(jiln)1. 周期信号(xnho)自相关函数仍为周期信号(xnho),且周期相同。2.自相关函数是一偶函数，R(0)为最大值。3.余弦函数自相关函数仍为余弦;同理可证，任意相位的正弦，余弦之自相关函数仍为余弦。第16页/共20页第十六页，共21页。2. 相关(xinggun)与卷积的关系xtxfxftRd)()()(2112R12(t)= f1(t)* f2(t)R21(t) = f1(t)* f2(t) 。xxtfxftftfd)()()(*)(2121可见(kjin)，若f1(t)和 f2(t)均为实偶函数，则卷积与相关完全相同。第17页/共20页第十七页，共21页。3. 相关(xinggun)函数的图解 (0t12)第18页/共20页第十八页，共21页。第二章历年(lnin)考题考点 卷积的求解（零状态响应） 卷积的特性（代数(dish)计算、时移、微积分特性） LTI系统的自由响应、强迫响应；零输入、零状态相应 LTI系统的冲激响应第19页/共20页第十九页，共21页。感谢您的观看(gunkn)！第20页/共20页第二十页，共21页。NoImage内容(nirng)总结2.4 卷积积分的性质。2.4