圆周运动的实例及临界问题

1、圆周运动的实例及临界问题一、汽车过拱形桥1.汽车在拱形桥最高点时，向心力：F合=v2mg N = mR.2mv支持力：N = mg v mg,汽车处于失重R状态.2 汽车对桥的压力 N '与桥对汽车的支持 N是 一对相互作用力，大小相等，所以汽车通过最高 点时的速度越大，汽车对桥面的压力就越小例1 一辆质量m= 2 t的轿车，驶过半径R=90 m的一段凸形桥面，g= 10 m/s2,求：(1) 轿车以10 m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面的压力是多大？(2) 在最高点对桥面的压力等于轿车重力的 一半时，车的速度大小是多少？解析(1)轿车通过凸形桥面最高点时，受力 分析如图所示： 合

2、力F= mg N ,由向心力公式得 mg N = mR,v2故桥面的支持力大小N = mg mR= (2 000 x 101022 000x) N 1.78X 104 N90根据牛顿第三定律，轿车在桥面最高点时对 桥面压力的大小为 1.78X 104 N.1.运动特点：人及其座椅在水平面内做匀 速圆周运动，悬线旋转形成一个圆锥 图12运动分析：将“旋转秋千”简化为圆锥 摆模型(如图1 所示)(1) 向心力：F 合=mgtan_a(2) 运动分析： F 合=m®2r= m®2lsin a(3) 缆绳与中心轴的夹角a满足cos a=-|.col图6【例2 如图6所示，固定的锥形

3、漏斗内壁是光滑 的，内壁上有两个质量相等的小球A和B,在各自不同的水平面做匀速圆周运动，以下物理量大 小关系正确的是()A. 速度 Va>VbB. 角速度-a> C. 向心力Fa> Fb解析 设漏斗的顶角为2 Q则小球的合力为 F合mg _ _ mg 2v2=n,由 F= F 合=m2r = ma,知tan 8tan Br(2)对桥面的压力等于轿车重力的一半时，向心力向心力Fa= Fb，向心加速度= aB,选项C、DF'= mg N'= 0.5mg,而 Fv' 2=m=,所以此错误；因 a > 8,又由v ,故A对，B错.va> vb、答案

4、 A时轿车的速度大小 v'= ；0.5gR= ；0.5X 10x 90m/s 21.2 m/s答案(1)1.78x 104 N(2)21.2 m/s二、圆锥摆模型1.运动特点：火车转弯时做圆周运动，具 有向心加速度，需要向心力.2 .铁路弯道的特点：转弯处外轨略高于内 轨，铁轨对火车的支持力斜向弯道的内侧，此支 持力与火车所受重力的合力指向圆心火车转 弯提供了一部分向心力.例3 铁路在弯道处的内、 外轨道高度是不C. A的角速度比B的大解析 小球的重力和绳子的拉力的合力充当向心力、设悬线与竖直方向夹角为 e,则F= mgtan e =mw2lsin e, e越大、向心力F越大、所以A对

5、、g gB错；而后=i£e= h.故两者的角速度相同、C同的，已知内、外轨道平面与水平面的夹角为e,如图7所示，弯道处的圆弧半径为 R,若质量为m的火车转弯时速度等于 电仙，则（）A 内轨对内侧车轮轮缘有挤压B .外轨对外侧车轮轮缘有挤压mgC.这时铁轨对火车的支持力等于COSTeD .这时铁轨对火车的支持力大于mgcos eD错.答案 A3 .半径为R的光滑半圆球固定在水平面上（如图2所示）、顶部有一小物体 A、今给它一个水平初 速度Vo=* Rg,则物体将（）A. 沿球面下滑至 M点B. 沿球面下滑至某一点N、便离开球面做 斜下抛运动C. 沿半径大于R的新圆弧轨道做圆周运动D .

6、立即离开半圆球做平抛运动答案 D解析当V0= gR时、V所需向心力 F= m = mg,v2此时、物体与半球面顶部接触但无弹力作用、物 体只受重力作用、故做平抛运动.4 .质量为m的飞机、以速率 v在水平面内做半解析由牛顿第二定律F合=m二,R解得F合=径为R的匀速圆周运动、空气对飞机作用力的大mgtan e,此时火车受重力和铁路轨道的支持力作用，如图所示,mgNcos e= mg,贝U N =、，内、cos e外轨道对火车均无侧向压力、故C正确、A、B、D错误.答案 C课后巩固训练2.（圆锥摆模型）两个质量相同的小球、在同一水 平面内做匀速圆周运动、 悬点相同、如图9所示、 A运动的半径比B

7、的大、贝U （）A . A所需的向心力比B的大B. B所需的向心力比 A的大小等于（A. mC. m解析空气对飞机的作用力有两个作用效果、其:竖直方向的作用力使飞机克服重力作用而升mg、F,方mgVmR，P插在桌面上，杆端 今使小球沿水平方向赛车受力分析如图所v2而F 合=丐，故v=空；其二：水平方向的作用力提供向心力，使飞 机可在水平面内做匀速圆周运动.对飞机的受力 情况进行分析，如图所示飞机受到重力 空气对飞机的作用力 F升，两力的合力为 向沿水平方向指向圆心.由题意可知，重力答案 A5质量不计的轻质弹性杆 套有一个质量为m的小球,做半径为R的匀速圆周运动，角速度为g如图4所示，则杆的上端

8、受到的作用力大小为()A. mJRB. Ii'm2g2- m2ojR2C. .'m2g2+ m2 gR2D .不能确定答案 C解析小球在重力和杆的作用力下做匀速圆周 运动这两个力的合力充当向心力必指向圆心, 如图所示用力的合成法可得杆对球的作用力:N = '(mg)2 + F2= ,，m2g2+ m2 R2,根据牛顿第三 定律，小球对杆的上端的作用力N'=N, C正确.图56 .火车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差 由转弯半径与火车速度确定.若在某转弯处规定 行驶速度为v,则下列说法中正确的是 ()A. 当以v的速度通过此弯路时，火车重力 与轨道面支持力的合力

9、提供向心力B. 当以v的速度通过此弯路时，火车重力、轨 道面支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心 力C. 当速度大于v时，轮缘挤压外轨D .当速度小于v时，轮缘挤压外轨解析 当以v的速度通过此弯路时，向心力 由火车的重力和轨道的支持力的合力提供，A对,B错；当速度大于 v时，火车的重力和轨道的支 持力的合力小于向心力，外轨对轮缘有向内的弹 力，轮缘挤压外轨，C对，D错.答案 AC解析设赛车的质量为m，示，可见：F合=mgtan 0,:'grta n 07.如图11,置于圆形水平转台边缘的小物块随转 台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好 滑离转台开始做平抛运动.现测得转台半径R=0

10、.5 m，离水平地面的高度 H = 0.8 m，物块平抛落 地过程水平位移的大小x= 0.4 m.设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2 求：图11(1) 物块做平抛运动的初速度大小V。;(2) 物块与转台间的动摩擦因数卩答案(1)1 m/s (2)0.2解析(1)物块做平抛运动，竖直方向有1H =卿2 水平方向有X= V0t联立两式得 v°= x2H = 1 m/s(2)物块离开转台时，最大静摩擦力提供向心力, 有V02mg m 、vo2联立得尸 =0.2gR& 侈选)如图5所示，质量为m的物体，沿着半 径为R的半球形金属壳内壁滑下，半球形金属

11、壳 竖直固定放置，开口向上，滑到最低点时速度大 小为v,若物体与球壳之间的动摩擦因数为 则物体在最低点时，下列说法正确的是I图5A .受到的向心力为B.受到的摩擦力为C.受到的摩擦力为v2 mg+ mRv2口mRv2 Kmg+ mR)D .受到的合力方向斜向左上方解析物体在最低点做圆周运动，则有 v2v2一=mR,解得Fn = mg+ mR,故物体受到的滑动v2摩擦力 Ff=F =(mg+ mR), A、B 错误，C 正确.物体受到竖直向下的重力、水平向左的摩擦 力和竖直向上的支持力(支持力大于重力)，故物 体所受的合力斜向左上方，D正确.答案 CD(2)确定临界条件：判断题述的过程存在临界状

12、态 之后，要通过分析弄清临界状态出现的条件，并 以数学形式表达出来.选择物理规律：当确定了物体运动的临界状态 和临界条件后，要分别对不同的运动过程或现 象，选择相对应的物理规律，然后列方程求解.题组阶梯突破应用层【例1 如图8所示，高速公路转弯处弯道圆半径 R= 100 m,汽车轮胎与路面间的动摩擦因数=0.23.最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，若路面是 水平的，问汽车转弯时不发生径向滑动(离心现象) 所允许的最大速率 Vm为多大？当超过 Vm时，将 会出现什么现象？ (g= 9.8 m/s2)Fn mg解析 在水平路面上转弯，向心力只能由静摩擦vm 力提供，设汽车质量为 m，则fm = 口 m

13、g则有m=口 m, Vm = :' 口 gR代入数据可得 Vm沁15 m/s=54 km/h.当汽车的速度超过 54 km/h时，需要v2的向心力 m大于最大静摩擦力，也就是说提供R的合外力不足以维持汽车做圆周运动所需的向 心力，汽车将做离心运动，严重的将会出现翻车 事故.答案 54 km/h汽车做离心运动或出现翻临界问题分析车事故2 .相对滑动的临界问题(2014 新课标全国12 0)(多选)如图6所示，两个质量均为 m的小a与转2l,木块k倍,一：水平面内圆周运动的临界问题o考点逐项排查木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上, 轴00 '的距离为I, b与转轴的距离为 全餐

14、与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的处理临界问题的解题步骤(1)判断临界状态：有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临 界点；若题目中有“取值范围”“多长时间” “多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止 点”，而这些起止点往往就对应着临界状态；若 题目中有“最大” “最小” “至多” “至少”等字 眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点也 往往对应着临界状态.重力加速度大小为 g.若圆盘从静止开始绕转轴缓 慢地加速转动，用 3表示圆盘转动的角速度，下 列说法正确的是()Ot；hOf图6A. b 一定比a先开始滑动B. a、b所受的摩擦力始终相等c ：g 是

15、 b开始滑动的临界角速度/2kgD .当. -31-时，a所受摩擦力的大小为 kmg 解析 小木块a、b做圆周运动时，由静摩擦力提解析（1）若要小球刚好离开锥面，则小球只受到重力和细线的拉力，受力分析如图所示小球做 匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水 平，在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式供向心力，即f= mR.当角速度增加时，静摩擦得：mgtan(=mQ Isin 9力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑解得:动，对木块 a： fa= mwa2l,当 fa= kmg 时，kmg= !kgma2l,；对木块 b： fb= m®b22l,当fb= kmg时，kmg= m

16、®（2l, 吐=2_3 lcos 9即 3=lglcos 9同理，当细线与竖直方向成 60 第二定律及向心力公式得： mgtanrad/s.角时，由牛顿a m3' 2lsin ab先达到最大静摩擦力，选项 A正确；两木块滑 动前转动的角速度相同，贝y fa= mw2l , fb =解得:3 2=厂9,即 3lcos alcos a2'5rad/s.应用层10.过山车的分析（多选）如图9所示甲、乙、丙、 丁是游乐场中比较常见的过山车，甲、乙两图的 轨道车在轨道的外侧做圆周运动，丙、丁两图的 轨道车在轨道的内侧做圆周运动，两种过山车都 有安全锁（由上、下、侧三个轮子组成

17、）把轨道车m®221, fa<fb,选项B错误；当 b2l时b/2kg刚开始滑动，选项 C正确；当沪3l时，a2没有滑动，则fa= mw2l= §kmg,选项D错误.答案 AC 3.接触与脱离的临界问题如图8所示，用一根 长为1= 1 m的细线，一端系一质量为 m= 1 kg的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶 端，锥面与竖直方向的夹角9= 37 °，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为3时，细线的张力为 F（g取10 m/s2，结果可 用根式表示）求：图8（1）若要小球刚好离开锥面，则小球的角速度3至少为多大？（2）若细线与竖直方向

18、的夹角为60 °，则小球的角速度3为多大？二：竖直面内圆周运动的临界问题考点逐项排查1 在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到 轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑（如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等 ）, 称为“绳（环）约束模型”，二是有支撑（如球与杆连 接、在弯管内的运动等）,称为“杆（管）约束模型”2 绳、杆模型涉及的临界问题绳模型杆模型常 见 类 型均是没有支撑的 小球均是有支撑的小球点2白mg= m；得v临 =VgT由小球恰能做圆周运动得v临=_0套在了轨道上，四个图中轨道的半径都为R,下列说法正确的是（）两图9A甲图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最 高点时，座椅一定给人向上的力B乙图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最 低点时，安全带一定给人向上的力C. 丙图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最 低点时，座椅一定给人向上的力D .丁图中，轨道车过最高点的最小速度为gR解析 在甲图中，当速度比较小时，根据牛顿第v2二定律得，mg Fn = mR,即座椅给人施加向上 的力，当速度比较大时，根据牛顿第二定律得，v2mg+ Fn = mR,即座椅给人施加向下的力，故A错误