圆周运动知识要点、受力分析和题目精讲

1、高中圆周运动知识要点、受力分析和题目精讲（复习大全）一、基础知识匀速圆周运动问题是学习的难点，也是高考的热点，同时它又容易和很多知识综 合在一起，形成能力性很强的题目，如除力学部分外，电学中“粒子在磁场中的运动” 涉及的很多问题仍然要用到匀速圆周运动的知识，对匀速圆周运动的学习可重点从两个方面掌握其特点，首先是匀速圆周运动的运动学规律，其次是其动力学规律，现就 各部分涉及的典型问题作点滴说明。匀速圆周运动的加速度、线速度的大小不变，而方向都是时刻变化的，因此匀速 圆周运动是典型的变加速曲线运动。为了描述其运动的特殊性，又引入周期（T）、频率（f）、角速度（）等物理量，涉及的物理量及公式较多。因

2、此，熟练理解、 掌握这些概念、公式，并加以灵活选择运用，是我们学习的重点。1. 匀速圆周运动的基本概念和公式（1）线速度大小，方向沿圆周的切线方向，时刻变化；（2）角速度，恒定不变量；（3）周期与频率；（4） 向心力，总指向圆心，时刻变化，向心加速度，方向与向心力相同；（5）线速度与角速度的关系为，、的关系为。所以在、中若一 个量确定，其余两个量也就确定了，而 还和有关。【例1】关于匀速圆周运动，下列说法正确的是（）A.线速度不变 B.角速度不变 C. 加速度为零 D. 周期不变解析：匀速圆周运动的角速度和周期是不变的；线速度的大小不变，但方向时刻 变化，故匀速圆周运动的线速度是变化的，加速度

3、不为零，答案为B、D。【例2】在绕竖直轴匀速转动的圆环上有 A、B两点，如图1所示，过A、B的半径 与竖直轴的夹角分别为30°和60 °,则A、B两点的线速度之比为；向心加速度之比为 。60°Bi解析：A、B两点做圆周运动的半径分别为2A ABrB 313rA Rsin30RrBRsin 60RA 2 B2Va 5A13它们的角速度相同，所以线速度之比vBrBrB 、. 339a加速度之比aB2. 质点做匀速圆周运动的条件（1）具有一定的速度；（2）受到的合力（向心力）大小不变且方向始终与速度方向垂直。 合力（向心力） 与速度始终在一个确定不变的平面内且一定指向圆

4、心。3. 向心力有关说明向心力是一种效果力。任何一个力或者几个力的合力，或者某一个力的某个分力， 只要其效果是使物体做圆周运动的，都可以认为是向心力。做匀速圆周运动的物体， 所需向心力就是该物体受的合外力，总是指向圆心；而做变速圆周运动的物体，所需 向心力则是该物体受的合外力在指向圆心方向的分力，合外力的另一个分力沿着圆周的切线，使速度大小改变，所以向心力不一定是物体所受的合外力。因此，解答圆周 运动的基本思路是：先分析物体的受力情况，然后把物体受的各外力沿指向圆心（即 沿半径）方向与沿切线方向正交分解，最后用沿指向圆心的合外力等于向心力，即列 方程求解做答。二、解决圆周运动问题的步骤1. 确

5、定研究对象；2. 确定圆心、半径、向心加速度方向；3. 进行受力分析，将各力分解到沿半径方向和垂直于半径方向;4. 根据向心力公式，列牛顿第二定律方程求解。基本规律：径向合外力提供向心力 ；若是匀速圆周运动，则有mr（牛）v2F向 ma向 m mrT ，方向始终指向圆心、典型情景受力分析F向=F支-G绳（竖直面）F向=F支+G向=G-F支F向=F支-G四、常见问题和处理方法1. 皮带传动问题【例3】 如图2所示，a、b两轮靠皮带传动，A、B分别为两轮边缘上的点，C与A同在a轮上，已知rA 2rB，OC rB，在传动时，皮带不打滑。求：（1） C : B；（ 2）vC :vB；（3）aC :aB

6、解析：A、C两点在同一皮带轮上，它们的角速度相等，即AC，由于皮带不打滑，所以A B两点的线速度大小相等，即vA vB（1根据vr知CBABrB1匚2VcVcrcrB1(2)根据vr知VbVaA02acVcc111(3)根据av知aBVbB 224点评：共轴转动的物体上各点的角速度相同，不打滑的皮带传动的两轮边缘上各 点线速度大小相等，这样通过“角速度”或“线速度”将比较“遥远”的两个质点的 运动学特点联系在一起。【例4】如图所示，为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点,左侧是一轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距 离为r，c点和d点分别位于小轮

7、和大轮的边缘上，若在传动过程中，皮带不打滑， 则（ ）A. a点与b点的线速度大小相等B. a点与b点的角速度大小相等C. a点与c点的线速度大小相等D. a点与d点的向心加速度大小相等解析：皮带不打滑，故a、c两点线速度相等，选C； c点、b点在同一轮轴上角 速度相等，半径不同，由，b点与c点线速度不相等，故a与b线速度不等，A错； 同样可判定a与c角速度不同，即a与b角速度不同，B错；设a点的线速度为，则 a点向心加速度，由，所以，故，D正确。本题正确答案C、Db点评：处理皮带问题的要点为：皮带（链条）上各点以及两轮边缘上各点的线速 度大小相等，同一轮上各点的角速度相同。2. 水平面内的圆

8、周运动转盘：物体在转盘上随转盘一起做匀速圆周运动， 物体与转盘间分无绳和有绳两 种情况。无绳时由静摩擦力提供向心力；有绳要考虑临界条件。例2:如图 所示，水平转盘上放有质量为 m的物体，当物块到转轴的距离为r 时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。物体和转盘间的最大静摩擦 力是其正压力的倍。求：（1当转盘的角速度 时，细绳的拉力。（2）当转盘的角速度 时，细绳的拉力。解析：设转动过程中物体与盘间恰好达到最大静摩擦力时转动的角速度为 ，则 ， 解得（ 1）因为 ，所以物体所需向心力小于物与盘间的最大摩擦力，则物与盘产生的 摩擦力还未达到最大静摩擦力，细绳的拉力仍为 0，即 。（ 2）

9、因为 ，所以物体所需向心力大于物与盘间的最大静摩擦力，则细绳将对物 体施加拉力 ，由牛顿第二定律得 ，解得 。点评：当转盘转动角速度 时，物体有绳相连和无绳连接是一样的，此时物体做 圆周运动的向心力是由物体与圆台间的静摩擦力提供的，求出 。可见， 是物体相对 圆台运动的临界值，这个最大角速度 与物体的质量无关，仅取决于 和 r 。这一结论 同样适用于汽车在平路上转弯。圆锥摆： 圆锥摆是运动轨迹在水平面内的一种典型的匀速圆周运动。 其特点是由 物体所受的重力与弹力的合力充当向心力， 向心力的方向水平。 也可以说是其中弹力 （或拉力）的水平分力提供向心力（弹力的竖直分力和重力互为平衡力）。【例5】

10、小球在半径为R的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动， 试分析图 中 的（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度V、周期T的关系。（小球的半径远小于 R）。解析：小球做匀速圆周运动的圆心在和小球等高的水平面上 （不在半球的球心） ， 向心力F是重力G和支持力 的合力，所以重力和支持力的合力方向必然水平。 如图3 所示有由此可得 ，可见，越大（即轨迹所在平面越高），v越大，T越小。点评：本题的分析方法和结论同样适用于火车转弯、飞机在水平面内做匀速圆周 飞行等在水平面内的匀速圆周运动的问题。共同点是由重力和弹力的合力提供向心 力，向心力方向水平。【例6】如下图所示，两绳系一质量为 m=的小球，

11、上面绳长L=2m两端都拉直时 与轴的夹角分别为 30°与 45°，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧；当角 速度为 3rad/s 时，上、下两绳拉力分别为多大？解析：当角速度很小时，AC和BC与轴的夹角都很小，BC并不张紧。当逐渐增 大，BC刚被拉直（这是一个临界状态），但 BC绳中的张力仍然为零，设这时的角速 度为，则有将已知条件代入上式解得 当角速度继续增大时减小， 增大。设角速度达到时， （这又是一个临界状态） 则有将已知条件代入上式解得所以当满足时，AC BC两绳始终张紧。本题所给条件，此时两绳拉力、都存在。将数据代入上面两式解得，点评：解题时注意圆心的位置（半

12、径的大小）。如果时，则AC与轴的夹角小于。如果，贝U BC与轴的夹角大于45°。3. 竖直面内的圆周运动竖直面内圆周运动最高点处的受力特点及题型分类如下：这类问题的特点是：由于机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变，所以 物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。物体在最低点处向心力向上， 而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向 下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论。（ 1）弹力只可能向下，如绳拉球。这种情况下有 ，即 ，否则不能通过最高点；（2） 弹力只可能向上，如车过桥。在这种情况下有， ，否则车将离开桥面， 做平抛运

13、动；（3）弹力既可能向上又可能向下，如管内转（或杆连球、环穿珠）。这种情况 下，速度大小 v 可以取任意值。但可以进一步讨论：a. 当 时物体受到的弹力必然是向下的；当 时物体受到的弹力必然是向上的；当 时物体受到的弹力恰好为零。b. 当弹力大小 时，向心力有两解 ；当弹力大小 时，向心力只有一解 ；当弹力 时，向心力等于零，这也是物体恰能过最高点的临界条件。结合牛顿定律的题型【例7】如图5所示，杆长为，球的质量为，杆连球在竖直平面内绕轴 0自由转动，已知在最高点处，杆对球的弹力大小为 ，求这时小球的瞬时速度大小。解析：小球所需向心力向下，本题中，所以弹力的方向可能向上也可能向下1）若 F 向

14、上，则2）若 F 向下，则点评：本题是杆连球绕轴自由转动，根据机械能守恒，还能求出小球在最低点的 即时速度。需要注重的是： 若题目中说明小球在杆的带动下在竖直面内做匀速圆周运动， 则 运动过程中小球的机械能不再守恒，这两类题一定要分清 。【例 8】如图 所示，用细绳一端系着的质量为 的物体 A 静止在水平转盘上，细 绳另一端通过转盘中心的光滑小孔 0吊着质量为 的小球B,A的重心到0点的距离为 若A与转盘间的最大静摩擦力为，为使小球B保持静止，求转盘绕中心 0旋转的角 速度 的取值范围。（取 ）解析：要使B静止，A必须相对于转盘静止一一具有与转盘相同的角速度。 A需 要的向心力由绳拉力和静摩擦

15、力合成。角速度取最大值时， A有离心趋势，静摩擦力 指向圆心0;角速度取最小值时，A有向心运动的趋势，静摩擦力背离圆心 Q对于 B：对于 A：，联立解得 ，所以点评：在水平面上做圆周运动的物体，当角速度 变化时，物体有远离或向着圆 心运动的（半径有变化）趋势。这时要根据物体的受力情况，判定物体受的某个力是 否存在以及这个力存在时方向朝哪 （非凡是一些接触力， 如静摩擦力、 绳的拉力等）练习题：1. 关于互成角度 （不为零度和 180°）的一个匀速直线运动和一个匀变速直线运 动的合运动，下列说法正确的是（ ）A. 一定是直线运动B. 一定是曲线运动C. 可能是直线，也可能是曲线运动D.

16、 以上答案都不对2. 一架飞机水平匀速飞行，从飞机上每隔 1s 释放一个铁球，先后释放 4 个，若 不计空气阻力，则这 4 个球（ ）A. 在空中任何时刻总是排列成抛物线，它们的落地点是等间距的B. 在空中任何时刻总是排列成抛物线，它们的落地点是不等间距的C. 在空中任何时刻总是在飞机的正下方排列成竖直直线，它们的落地点是不等 间距的D. 在空中任何时刻总是在飞机的正下方排列成竖直直线，它们的落地点是等间 距的3. 图中所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a 是它边缘上的一点，左侧是一轮轴， 大轮的半径为 ，小轮的半径为 、 点在小轮上， 到小轮中心的距离为 。 点 和 点分别位于小轮和大轮

17、的边缘上。若在传动过程中，皮带不打滑。则（ ）A. a点与b点的线速度大小相等B. a 点与 b 点的角速度大小相等C. a 点与 c 点的线速度大小相等D. a 点与 d 点的周期大小相等4. 在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为，摩托艇在静水中的航速为，战士救人的地点A离岸边最近处0 的距离为d，如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离 0点的距离 为（ ）A. B.C.D.5. 火车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车速度确定。若在某转弯处规定行驶速度为 ，则下列说法中正确的是（） 当以 的速度通过此弯路时，火车重力

18、与轨道面支持力的合力提供向心力 当以 的速度通过此弯路时，火车重力、轨道面支持力和外轨对轮缘弹力的合 力提供向心力 当速度大于 v 时，轮缘挤压外轨 当速度小于 v 时，轮缘挤压外轨A. B. C. D. 6关于做匀速圆周运动的物体的线速度、角速度、周期的关系，下列说法正确 的是 ()A. 线速度大的角速度一定大B. 线速度大的周期一定小C角速度大的半径一定小D. 角速度大的周期一定小7由上海飞往美国洛杉机矶的飞机在飞越太平洋上空的过程中，如果保持飞行 速度的大小和距离海面的高度均不变，则以下说法正确的是 ()A. 飞机做的是匀速直线运动B. 飞机上的乘客对座椅的压力略大于地球对乘客的引力C.

19、 飞机上的乘客对座椅的压力略小于地球对乘客的引力D. 飞机上的乘客对座椅的压力为零8. 游客乘坐过山车，在圆弧轨道最低点处获得的向心加速度达到20 m/s2, g取10 m/s2 ，那么此位置座椅对游客的作用力相当于游客重力的 ()A. 1倍 B. 2倍 C . 3倍 D. 4倍9. 汽车行驶在半径为50m的圆形水平跑道上，速度为10m/s。已知汽车的质量为 1000 kg，汽车与地面的最大静摩擦力为车重的倍。问：(g =10m/s2)( 1)汽车绕跑道一圈需要的时间是多少？角速度是多少？其向心力是多大？( 2)要使汽车不打滑，则其速度最大不能超过多少？10. 下课后，小丽在运动场上荡秋千。已

20、知小丽的质量为40kg，每根系秋千的绳子长为4 m，能承受的最大张力是3002如右图，当秋千板摆 到最低点时，速度为3 m/s。( g =10m/s2，小丽看成质点处理，秋千绳、 底座等不计质量)(1) 此时，小丽做圆周运动的向心力是多大?(2) 此时，小丽对底座的压力是多少？每根绳子受到拉力T是多少?(3)如果小丽到达最低点的速度为 5m/s，绳子会断吗?11. 如图所示，半径为R、内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m的小 球A、B以不同速率进入管内，A通过最高点C时，对管壁上部的压力为3mg B通过 最高点C时，对管壁下部的压力为求A、B两球落地点间的距离.12. 如图11所示，质

21、量为kg的小杯里盛有1 kg的水，用绳子系住小杯在竖直平 面内做“水流星”表演，转动半径为 1 m,小杯通过最高点的速度为4 m/s。求：(1)在最高点时，绳的拉力T是多少？在最高点时水对小杯底的压力是多少?(3) 为使小杯经过最咼点时水不流出，在最咼点时最小速率是多少？【模拟试题】一. 选择题（在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小 题有多个选项正确）1. 下列说法正确的是（）A. 做匀速圆周运动的物体的加速度恒定B. 做匀速圆周运动的物体所受合外力为零C. 做匀速圆周运动的物体的速度大小是不变的D. 做匀速圆周运动的物体处于平衡状态2. 如图1所示，把一个长为20cm系

22、数为360N/m的弹簧一端固定，作为圆心，r /min弹簧的另一端连接一个质量为 0.50kg的小球，当小球以的转速在光滑水平面上做匀速圆周运动时，弹簧的伸长应为（）A. 5.2cm B. 5.3cm C. 5.0cm D.3. 一圆盘可以绕其竖直轴在图2所示水平面内转动，圆盘半径为R。甲、乙物体 质量分别是M和m（M>m，它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的倍，两物体用一根长为 (M m)g（L R）的轻绳连在一起。若将甲物体放在转轴位置上，甲、乙之间连 线刚好沿半径方向被拉直，要使两物体与圆盘间不发生相对滑动，则转盘旋转角速度 的最大值不得超过（两物体均看作质点）（）(M m)g

23、A. ' mLB.(M m)gv ml(M m)gC.MLD.mLcor图24. 如图3所示，一个球绕中心线00以 角速度转动，则（）A. A、B两点的角速度相等B. A 、B两点的线速度相等C. 若 30 ,则Va：vb 、32 d.以上答案都不对图35. 一圆盘可绕圆盘中心0且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放置一小木块A,它随圆盘一起运动（做匀速圆周运动），如图4所示，则关于木块A的受力，下列说法正确的是（）A. 木块A受重力、支持力和向心力B. 木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相反C. 木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向指向圆心D. 木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木