构造全等三角形种常用方法

1、构造全等三角形种常用方法在证明两个三角形全等时，选择三角形全等的五种方法 （“SSS” , “SAS” , “ASA ” , “ AAS ” ,“HL”）中，至少有一组相等的边， 因此在应用时要养成先找边的习惯。如果选择找到了一组对应边，再找第二组条件，若找到一组对应边则再找这两边的夹角用“SAS ”或再找第三组对应边用“ SSS”；若找到一组角则需找另一组角（可能用“ASA ”或“ AAS ”）或夹这个角的另一组对应边用“SAS”；若是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL”。上述可归纳为：S |s（用 SSS'A（用 SAS）SS（用 SAS） 认用 AAS或 ASA）搞清了全等三

2、角形的证题思路后，还要注意一些较难的一些证明问题，只要构造合适的全等三角 形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了下面举例说明几种常见的构造方法,图（1）供同学们参考.1截长补短法例1.如图（1）已知：正方形 ABCD中，/ BAC的平分线交 BC于E,求证：AB+BE=AC .解法（一）（补短法或补全法）延长AB至F使AF=AC ,由已知 AEF AEC ,/ F= / ACE=45o, BF=BE , AB+BE=AB+BF=AF=AC解法（二）（截长法或分割法 ）在AC上截取AG=AB，由已知 ABE AGE , EG=BE, / AGE= / ABE, v/ ACE=4

3、5o, CG=EG, AB+BE=AG+CG=AC .2 .平行线法（或平移法）若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt ，有时可作出斜边的中线.例 2. ABC 中，/ BAC=60 ° , / C=40 ° AP 平分/ BAC 交 BC 于 P, BQ 平分/ ABC 交 AC 于 Q,证明：如图（1）,过 O 作 0D / BC 交 AB 于 D, / ADO= / ABC求证：AB+BP=BQ+AQ=180 ° - 60° 40° =80。，又V/ AQO= / C+ / QBC=80 ° / ADO= / AQ

4、O，又 V/ DAO= / QAO , OA=AO , ADO AQO , OD=OQ , AD=AQ，又 v OD / BP, / PBO= / DOB，又 v/ PBO= / DBO，/ DBO= / DOB , BD=OD , AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ .说明：本题也可以在 AB截取AD=AQ，连OD , 构造全等三角形，即“截长补短法”.本题利用“平行法”解法也较多，举例如下： 如图（2）,过 O作OD / BC交AC于D,则厶ADO ABO来解决.如图（3）,过O作DE / BC交AB于D,交 AC 于 E,UA ADO AQO , ABO AEO

5、来解决.O 如图（4）,过P作PD / BQ交AB的延长线于 D , 则厶APD APC来解决. 如图（5）,过P作PD / BQ交AC于D,则厶ABP ADP来解决.（本题作平行线的方法还很多，感兴趣的同学自己研究）.B p图（5）Z/ffl P 4）D3 .旋转法对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。图3例3如图3所示，已知点E、F分别在正方形 ABCD的边BC与CD上，并且 AF平分.EAD，求证：BE DF =AE。分析：本题要证的BE和DF不在同一条直线上，因而要设法将 它们“组合”到一起。可将 CADF绕点A旋转90至L ABG，则ADF也 ABG

6、, BE = DF，从而将BE BG转化为线段 GE , 再进一步证明GE =AE即可。证明略。4 倍长中线法题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。 例4.如图（7） AD是厶ABC的中线，BE交AC于E,交AD于F,且AE=BE .求证：AC=BF证明：延长 AD至H使DH=AD，连BH , v BD=CD , / BDH= / ADC , DH=DA , BDH CDA , BH=CA / H= / DAC，又 v AE=EF , / DAC= / AFE ,vZ AFE= / BFD，/ AFE= / BFD= / DAC= / H , BF=

7、BH - AC=BF .5.翻折法沿轴翻转图形来构造全等三角形.BD=3 DC=2若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，例5.如图（8）已知：在厶 ABC中，/ A=45o, AD丄BC, 求： ABC的面积.解：以AB为轴将 ABD翻转1800,得到与它全等 的厶ABE，以AC为轴将 ADC翻转1800,得到 与它全等的 AFC , EB、FC延长线交于 G,易证 四边形AEGF是正方形，设它的边长为 X,贝U BG2 2 2=x 3, CG=x 2,在 Rt BGC 中，(x-3)+ (x-2)=51图（8）解得 x=6，贝U AD=6 , SA ABC=X5 X6=1

8、5.2练习：图（6）例3.已知：如图（6）, P为厶ABC内一点，且 PA=3 , 求/ APB的度数.分析：直接求/ APB的度数，不易求，由 PA=3 , PB=4, 联想到构造直角三角形.略解：将厶BAP绕A点逆时针方向旋转 60°至厶ACD , 则厶 BAP ADC , DC=BP=4 , v AP=AD，/ PAD=60 ° 又 PC=5, PD2 +DC2 =PC2 PDC 为 Rt , / PDC=90o./ APB= / ADC= / ADP+ / PDC=60 ° +90o=150o.1、平移法构造全等三角形例1 如图1所示，四边形 ABCD中，

9、AC平分.DAB，若AB AD , DC = BC，求证:分析：利用角平分线构造三角形， 将.D转移到.AEC ,而.AEC与.CEB互补，.CEB, 从而证得.B . D =180。主要方法是：“线、角进行转移”。图1证明：在AB上截取AE = AD ,在ADC与AEC中，A D= A EID A C= / E A C|a c= a c:ADC 也 AEC ( SAS)D "AEC , DC =CE ,/ DC 二 BC , CE 二 BC ,.CEB "B,.CEB . AEC =180 ,B D =180 .2、翻折法构造全等三角形例2 如图2所示，已知.'A

10、BC中，AC=BC , ACB =90 , BD平分.ABC，求证:AB =BC CD。证明：v BD平分.ABC，将 BCD沿BD翻折后，点C落在AB上的点E，则有BE = CE ,在BCD与 BED中，B C= B EC B D= / E B DB D= B D:BCD s :BED (SAS).DEA ACB =90 ,CD =DE ,已知:ABC 中，AC 二 BC , . ACB =90 ,.A = 45 ,.EDA = . A = 45 ,DE = EA ,AB =BE EA =BC CD 。3、旋转法构造全等三角形例3如图3所示，已知点E、F分别在正方形 ABCD的边BC与CD上

11、，并且 AF平分.EAD，求证：BE DF =AE。分析：本题要证的BE和DF不在同一条直线上，因而要设法将 它们“组合”到一起。可将 UADF绕点A旋转90到 ABG，贝UADF s ；ABG , BE = DF，从而将BE BG转化为线段GE , 再进一步证明GE =AE即可。证明略。4、延长法构造全等三角形例4如图4所示，在 ABC中，.ACB =2. B ,NBAD =NDAC，求证：AB =AC +CD。分析：证明一条线段等于另两条线段之和，常用的方法是延长 一条短线段使其等于长线段，再证明延长部分与另一短线段相等即 可；或者在长线段上截取一条线段等于短线段，再证明余下部分等 于另一条短线段。 本题可延长 AC至E，使AE二AB ，构造. ABD图3s . AED，然后证明CE =CD，就可得 A