因式分解的常用方法

1、因式分解的常用法是我p)(x q) 进行分解第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一， 它被广泛地应用于初等数学之中， 们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌 握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特 的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法本讲 及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍一、提公因式法 .： ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法 . 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反

2、向使用，即为因式分解中常用的公式，例 如：2 2 2 2( 1) (a+b)(a -b) = a -b a -b =(a+b)(a -b) ；2 2 2 2 2 2(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b2 a 2±2ab+b2=(a±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b2) =a 3+b3 a 3+b3=(a+b)(a 2-ab+b2) ；2 2 3 3 3 3 2 2(4) (a -b)(a +ab+b ) = a -b a -b=(a-b)(a +ab+b ) 下面再补充两个常用的公式：2 2 2 2(5) a +b +c +2ab+

3、2bc+2ca=(a+b+c) ；3 3 3 2 2 2(6) a +b +c -3abc=(a+b+c)(a +b +c -ab-bc-ca) ；三、分组分解法一)分组后能直接提公因式练习：分解因式 1、 a2 ab ac bc2、 xy x y 1(二)分组后能直接运用公式例 3 、分解因式： x 2 y2 ax ay 分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。2解：原式 =(x2y2)(ax ay)=(xy)(xy)a(x y)=(xy)(xya)例 4、分解因式： a 22abb22 c2解：原式 = (a22abb2)

4、 c2= (ab)22 c= (ab c)(ab c)综合练习： 1.a26ab 12b9b 2 4a432.a 2a2 a923. 4a x4a222 y b2x b2y24. x 2xyxz2 yz y25.a 2ab22b 2ab16. y(y 2)(m1)(m 1)四、十字相乘法 .(一)二次项系数为 1 的二次三项式 直接利用公式 x2 ( p q)x pq (x特点：( 1)二次项系数是 1 ；2)常数项是两个数的乘积；3)一次项系数是常数项的两因数的和思考：十字相乘有什么基本规律？式ax2+bx+c，都要求b2 4ac >0而且是一个条件：（1）aa1 a 2a1、.6(2

5、)cC C2a2c2(3)ba C2a 26ba-ic2a?C1分解结果：ax2bxc = (a1x G)(a2xC2)例7、分解因【式：3x211x10分析13-2(-6)+ (-5) = -11解：3x211x10 =(x 2)(3x5)练习7、分解军因式；：（'1) 5x"! 7x 6(2)3x2 -(3)10x217x 3(4)6y2a的二次三项式,7x 211y10a1的二次三项式一一ax2 bx c1的齐次多项式28ab 128b 把原多项式看成关于解析：凡是能十字相乘的二次三项 完全平方数。于是 9 8a为完全平方数，（二）二次项系数不为（三）二次项系数为例8、

6、分解因式：a2分析：将b看成常数，利用十字相乘法进行分解。1 81=6b8b+(-16b)= -8b2 2 2解：a 8ab 128b =a 8b( 16b)a 8b=(a 8b)(a 16b)2 23xy 2y (2) m 6mn 8n的齐次多项式(16b)练习8、分解因式（1） x2（四）二次项系数不为1例 9、2x21 -22(3) aab 6b27xyry-3y (-3y)+(-4y)= -7y 解：原式=(x 2y)(2x练习9、分解因式：(1)综合练习10、( 1) 8x6(x y)23(x y)222小2x y 5x y 6x x2 4xy 4y2 2x 24x 4xy 6x 3

7、y, 2 . 2 2(11.) abcx (a b五、换元法。例13、分解因式(1)(3)(5)(9)6y23y)15x27x3c2 )x10例10、把xy看作一个整体2 2x y113xy 27xy14y2(-1)+(-2)= -3解：原式=(xy 1)( xy 2)2 2(2) a x 6ax 82 2(2) 12x 11xy 15y(4) (a(6) m24y 3 y210abc(8)5(a(10)12(x y)b)2 4a 4b 324mn 4n 3m 6n 22 2 2 2b) 23(a b )10(a b)2 2 2 211(x y )2 (x y)2005x2(200521)x(

8、x 1)(x 2)(x3)(x解：(1)设 2005= a，则原式=ax2 (a2=(ax 1)(x20056) x21)x aa)= (2005x 1)( x 2005)（2）型如abed e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘2 2 2原式 =（x2 7x 6）（ x2 5x 6） x2设 x2 5x 6 A ，则 x 2 7x 6 A 2x二原式=(A 2x)A x2= A2 2Ax x22 2 2 =(A x)2=(x2 6x 6)2练习 13、分解因式（ 1） （x2xy22y)24xy(xy2)（2）(x23x2)(4x2 8x 3)90（3）(a21)2(a25)2 4

9、(a23)2六、添项、拆项、配方法 ,试根法，短除法。例 15、分解因式（ 1） x3 3x24解法 1拆项。解法 2添项。原式3=x13x23原式 = x33x24 x 4x4=(x1)(x2x1)3(x1)(x 1)= x(x23x4)(4x4)=(x1)(x2x1 3x3)= xx 1)(x4)4(x 1)2= (x 1)( x2 4x=(x1)(x24x4)=(x1)(x2)2=(x1)(x2)2（2）9xx6x33解：原式 =(x91)(x61)(x31)=(x31)(x6x31)(x31)(x31)(x3 1)=(x31)(x6x31x311)=(x1)(x2 x 1)(x6 2x

10、33)练习15、分解因式（1）3x9x8(2) (x 1)4(x21)2(x 1) 4（3）4x7x21(4) x4 x22ax12a（5）4x4 y(xy)4(6) 2a 2b 22a2e22b2e 2 a444 be七、待定系数法或双十字相乘法。例 16、分解因式 x2 xy 6y 2 x 13y6分析：原式的前 3 项 x2 xy 6y2 可以分为 （x 3y）（x2y） ，则原多项式必定可分为4)2xy 6y x 13y 6=(x 3y m)(x 2y n) x2 xy 6y2 X 13y6=x2 xy6y2 (mn) x(3nmn1m2对比左右两边相同项的系数可得3n 2m13，解得n3mn 6原式 = ( x 3y 2)( x 2 y3)练习 17、（ 1）分解因式 x23xy 10y2x9 y 2（2）分解因式 x23xy 2y25x7 y 61 在 ABC 中，三边 a,b,e 满足 a2 16b 2e26ab 10be02 x3y(x 3y m)( x 2 y n)解：设/ (x22m)( x 2y n) = x xy 6y (m n) x (3n2m) y mn2m) y mn求证：a c 2b2已知：x 1 2，则x3 丄xx3. 已知：x y 6, xy 1求：x3 y3的值4. 求证：n3 5n是6的倍数。(其中 n为整数)2 2